A questo punto riordiniamo la tabella, ad esempio per valori crescenti del peso

E infine calcoliamo le frequenze relative di ciascuna coppia di valori argomentali della tabella a doppia entrata 

La somma delle frequenze relative di tutte le coppie sara' pari ad 1.

 

Rappresentazione grafica delle variabili satistiche a 2 dimensioni

Nel caso in cui la variabile assuma valori in un insieme discreto di punti, noti a priori, si puo' rappresentare graficamente il risultato dell'indagine riportando sul piano cartesiano xy le coppie di valori argomentali e in corrispondenza le frequenze relative di ciascuna coppia.

Il digramma cumulativo di frequenza in corrispondenza di ciascuna coppia di valori argomentali assumera' il valore della somma delle frequenze relative di tutte le coppie con ascissa e ordinata minori o uguali a quelle della coppia considerata.

Nel caso in cui la variabile statistica assume valori in un insieme continuo, si possono rappresentare i risultati dell'indagine tramite istogramma e funzione cumulativa di frequenza.

Sul piano xy si riporteranno rispettivamente in ascissa e in ordinata i valori delle le classi in cui sono suddivisi i valori argomentali della componente X e della componente Y della variabile doppia.

Nel caso dell'istogramma, poi, per ciascun areola Dx_i Dy_j si calcola l'altezza del diagramma h(x_i,y_j)=f_ij/(Dx_i Dy_j). Il volume di ciascun parallelepipedo con area di base Dx_i Dy_j  e altezza h_ij rappresenta la frequenza degli individui che hanno valori argomentali compresi contemporaneamente nei due intervalli. La somma di tutti i volumi sara' pari a 1.

La funzione cumulativa di frequenza, fissata la classe rappresentata da x_i e y_j, si ottiene sommando le frequenze relative di tutte le classi per cui e' contemporaneamente  la componente x e' minore o uguale a x_i e la componente y minore o uguale a y_j.

Ad esempio F(65,1.65)=F₂₂=f₁₁+f₁₂+f₂₁+f₂₂= 0.4.  Come nel caso monodimensionale F varia sempre da 0 a 1.

Distribuzioni marginali

Supponiamo di voler conoscere la distribuzione di una soltanto delle due componenti nella popolazione. Nel nostro esempio si tratterebbe di ordinare in una variabile statistica monodimensionale i valori della caratteristica che interessa trascurando l'altra.

Ad esempio se ci concentrassimo sulla componente X, ovvero il peso avremmo:

E analogamente potremmo ordinare la sola caratteristica y.

Vogliamo ricavare la stessa informazione, cioe' la distribuzione della caratteristica X nella popolazione a partire dalla variabile doppia in tabella.

Basta a tale scopo osservare che, ad esempio sulla riga i-esima sono registrate le frequenze relative allo stesso valore della caratteristica x_i, associata  al variare dell'indice j a valori diversi della caratteristica y. La somma di tutte le frequenze della riga i-esima dara' dunque la frequenza led valore x_i , indipendentemente dalla caratteristica y.

In altre parole, se, a partire dai dati non ordinati, vogliamo determinare la frequenza relativa della classe di peso 65, considereremo sia l'individuo con le caratteristiche (60,1.62), che quello con (68,1.75), che infine quello con caratteristiche (60,1.60), ottenendo frequenza 0.3. Di tali individui 2 appartengono alla classe congiunta delle due caratteristiche (65,1.65), f₂₂=0.2 e uno alla classe congiunta (65,1.75), f₂₃=0.1. Di tale di tale distinzione non mi accorgo se ordino solo la caratteristica x, viceversa ne tengo conto se ordino sulla base delle sue caratteristiche, come nella tabella. Per annullare la distinzione sulla caratteristica y, bastera' sommare f₂₂+f₂₃=0.3.

Chiameremo le frequenze marginali della componente X q_i, quelle della componente Y r_j. Si avra'

,  .

Le distribuzioni marginali sono variabili statistiche monodimensionali la cui somma delle frequenze relative e' pari a 1.

   

Distribuzioni condizionate

Supponiamo di voler conoscere come si distribuisca la variabile peso tra gli individui che presentano un valore di altezza pari a 1.65.

Dai nostri dati non ordinati, rileviamo che sono presenti 4 persone con altezza pari a 1.65, quelli evidenziati in tabella:

La distribuzione della variabile peso si otterra' estraendo le coppie di valori con y=1.65

e riordinandole sulla base della caratteristica peso:

Analogamente si puo' calcolare la distribuzione della componente Y , condizionata ad un certo valore della X.

Condizionare ad un valore di una delle due componenti, implica una restrizione della popoazione di partenza al gruppo di individui che posseggono il valore fissato della variabile che condiziona.

Sia N(x=55,y=1.65) , il numero di individui in possesso delle caratteristiche (x=55,y=1.65), sia N(y=1.65) il numero di individui che posseggono la caratteristica (y=65). Il numero di individui che presenta la caratteristica x=55, tra quelli che hanno caratteristica altezza pari a 1.65, sara' data da:

 

ovvero dal rapporto tra la frequenza relativa congiunta della coppia (x=55,y=1.65) e la frequenza relativa marginale  di y=1.65.

Tale frequenza condizionata si indica nella maniera seguente:

f(x=55|y=1.65)= .

Nell'esempio considerato essa e' pari a

f(x=55|y=1.65)=0.2/0.4=2/4