MATEMATICA FINANZIARIA - CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

Risultano dallo scambio fra una sola    

prestazione e una controprestazione.

Le operazioni finanziarie sono sempre legate al fattore TEMPO.

La durata di un'operazione finanziaria è il tempo che intercorre tra la cessione del capitale e la sua completa restituzione.

L'anno si considera:

• anno civile: di 365 giorni
• anno commerciale:di 360 giorni, in cui i mesi si considerano tutti di 3° gg

CAPITALE INIZIALE (C) è il valore del capitale impiegato all'inizio dell'operazione finanziaria, cioè il capitale messo a frutto.

L'INTERESSE (I) è compenso che spetta a colui che presta un capitale per un certo tempo.

TASSO D'INTERESSE (i) è l'interesse prodotto dall'unità di capitale nell'unità di tempo.

MONTANTE (M) è il valore del capitale al tempo (t), cioè al termine dell'operazione finanziaria.

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

Interesse semplice

I = C * i * t da questa formula si possono ricavare altre formule:

C = I / i * t t = I / C * i i = I / C * t

Montante a interesse semplice la capitalizzazione viene effettuata solo una volta alla fine del periodo

M = C(1+i*t) FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

C = M / (1+ i*t)   t = M - C / C*i i = M - C / C*i

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

Montante composto: la capitalizzazione degli interessi è periodica

M =C(1+i) ⁿ FATTORE FINANZIARIO DI MONTANTE

C =M/(1+i)ⁿ = M*(1+i) ^{- n}   FATTORE FINALE DI SCONTO

C  M M* v ⁿ TRASFERIMENTO INDIETRO NEL TEMPO

C  M C* u ⁿ TRASFERIMENTO IN AVANTI NEL TEMPO

FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE u ⁿ = (1+i)ⁿ

FATTORE DI SCONTO v ⁿ = (1+i)^-n

I ⁿ √ (M/C) - 1

n = log M / C (applico i logaritmi perché l'incognita è all'esponente)

log(1+i)

CAPITALIZZAZIONE FRAZIONATA: operazioni finanziarie ad un tasso frazionato

TASSI EQUIVALENTI: due tassi sono equivalenti se, investendo lo stesso capitale per uno stesso periodo di tempo diversamente frazionato, si ottiene lo stesso montante

I_k = ^k√1+i -1 (ex: se si passa dai mesi agli anni)

I = (1+i_k)^k -1 ( ex: se si passa dagli anni ai mesi)

LA COSTITUZIONE DI CAPITALE

Volendo disporre, fra un certo numero di anni, di una somma per l'acquisto di un bene, è necessario accantonare periodicamente dei capitali affinché il loro montante sia pari alla somma stabilita.

Un'operazione finanziaria di questo tipo ha una durata piuttosto lunga e può essere utile sapere dopo un certo numero di anni l'entità dei versamenti effettuati fino a quella durata.

FONDO DI COSTITUZIONE: si indica con f_k, è il montante dei primi k versamenti effettuati.

Per visualizzare l'andamento nel tempo dell'operazione finanziaria, bisogna redigere un piano di costituzione.

Calcolo della rata:

versamenti anticipati versamenti posticipati

S = Ra i R = S S = Rs i R = S

s i s i

RENDITE FRAZIONATE: sono le rendite in cui il periodo che intercorre tra il pagamento di una rata e la successiva è una frazione costante di anno.

Una volta fissata la rata del periodo è possibile utilizzare uno dei seguenti tassi: i_k tasso periodale effettivo, j_k tasso nominale convertibile, i tasso annuo.

Per questo tipo di rendite è indispensabile uniformare le unità di misura delle varie grandezze riferendo tutto al periodo.

AMMORTAMENTO: pagamento periodico sia degli interessi maturati sia del   

Capitale.

AMMORTAMENTO uniforme o a quote costanti di capitale (chiamato anche italiano)

Questo metodo consiste nel restituire, ad ogni scadenza quote di capitale tutte uguali ed interessi maturati durante il periodo trascorso.

C = quote capitali

I_k = quote

E_k = debito estinto

D_k = debito residuo

NB. Le quote di capitali (C) sono costanti

Le quote decrescono in progressione aritmetica di ragione d = c * i

AMMORTAMENTO PROGRESSIVO (chiamato anche francese)

Le rate sono: tutte uguali fra loro

vengono pagate ad intervalli di tempo costanti

sono (di solito) annuali e posticipate

Le quote di capitale risultano crescenti in progressione geometrica di ragione (1+i)

C_k = R- I_k

E_k = somma delle C_k

D_k = S - E_k

AMMORTAMENTO AMERICANO (chiamato anche a due tassi)

con questo metodo il debitore deve costituire un capitale attraverso n versamenti periodici valutati ad un tasso i' (generalmente diverso da i), stipulato con una banca.

Ad ogni periodo, il debitore paga l'interesse al creditore e versa la rata (di costituzione del capitale) alla banca.

RENDITA è una successione di somme che si rendono disponibili in determinate scadenze;

RATA ciascuna somma versata

Rendita temporanea il numero delle rate è limitato

Rendita perpetua il numero delle rate è illimitato

Rendita anticipata: rendita nella quale ciascuna rata è esigibile all'inizio del periodo

Rendita posticipata: rendita nella quale ciascuna rata è esigibile alla fine del periodo

VALORE ATTUALE delle rendite è la somma dei valori attuali delle singole rate riferiti all'istante in cui viene costituita la rendita stessa

Va = R* 1-vn i

Valore attuale è la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione (v) 

Valore attuale di una rendita anticipata Va = R* 1-(1+i)^-n (1+i)

Valore della rendita all'atto del primo versamento    i

Valore attuale di una rendita posticipata Va = R* 1-(1+i)^-n

Valore della rendita un anno prima del primo versamento i

MONTANTE delle rendite è la somma dei montanti delle singole rate riferite alla fine dell'ultimo periodo

Montante è la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione (u)

	M = R* un -1 i

Montante di una rendita anticipata M = R* (1+i)ⁿ -1 (1+i)

Valore della rendita un anno dopo l'ultimo versamento    i

Montante di una rendita posticipata M = R* (1+i)ⁿ -1

Valore della rendita all'atto dell'ultimo versamento i

SUCCESSIONE è una funzione fra numeri naturali e numeri reali

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ .. a_n

progressionE aritmetica è ogni successione di tre o più numeri reali, tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante

I numeri della progressione si dicono termini

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ .. a_n

La differenza costante tra un termine e il precedente si indica con la lettera d ed indica la ragione

Se a_r e a_s sono due termini qualunque di una progressione aritmetica risulta che: a_n = a1+(n-1)*d

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è:

s_n = a₁+a_n   * n

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PROGRESSIONE GEOMETRICA ogni successione di tre o più numeri reali tali che il quoziente tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.

Il quoziente costante tra un termine e il precedente si indica con la lettera q e viene detto ragione

Relazione fra i termini di una progressione geometrica

a_n = a₁ * q ^n-1

Somma dei termini consecutivi di una progressione geometrica

Sn = a₁ 1- q ⁿ

1-q