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MATEMATICA FINANZIARIA - CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

matematica


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MATEMATICA FINANZIARIA

 

OPERAZIONI FINANZIARIE: le operazioni in cui avviene uno scambio di capitali, intesi come somme di denaro, riferiti a epoche diverse, in condizioni di certezza.

Risultano dallo scambio fra una sola  o  più prestazioni e una sola o più controprestazioni.

 
Operazioni finanziarie semplici                   Operazioni finanziarie complesse



Risultano dallo scambio fra una sola                            

prestazione e una controprestazione.

 

Le operazioni finanziarie sono sempre legate al fattore TEMPO.

La durata di un'operazione finanziaria è il tempo che intercorre tra la cessione del capitale e la sua completa restituzione.

L'anno si considera:

  • anno civile: di 365 giorni
  • anno commerciale:di 360 giorni, in cui i mesi si considerano tutti di 3° gg

 

CAPITALE INIZIALE (C) è il valore del capitale impiegato all'inizio dell'operazione finanziaria, cioè il capitale messo a frutto.

L'INTERESSE (I) è compenso che spetta a colui che presta un capitale per un certo tempo.

TASSO D'INTERESSE (i) è l'interesse prodotto dall'unità di capitale nell'unità di tempo.

MONTANTE (M) è il valore del capitale al tempo (t), cioè al termine dell'operazione finanziaria.

 

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

 

Interesse semplice

I = C * i * t  da questa formula si possono ricavare altre formule:

     C = I / i * t             t = I / C * i                  i = I / C * t

 

Montante a interesse semplice: la capitalizzazione viene effettuata solo una volta alla fine del periodo

M = C(1+i*t) FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

    C = M / (1+ i*t)           t = M - C / C*i             i = M - C / C*i

CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA

Montante composto: la capitalizzazione degli interessi è periodica

M =C(1+i) n    FATTORE FINANZIARIO DI MONTANTE

C =M/(1+i)n = M*(1+i) - n   FATTORE FINALE DI SCONTO

C                          M     M* v n    TRASFERIMENTO INDIETRO NEL TEMPO

C                          M     C* u n     TRASFERIMENTO IN AVANTI NEL TEMPO

FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE     u n = (1+i)n        

FATTORE DI SCONTO                         v n = (1+i)-n        

I = n √ (M/C)  - 1

n =  log M / C      (applico i logaritmi perché l'incognita è all'esponente)

       log(1+i)

 

CAPITALIZZAZIONE FRAZIONATA: operazioni finanziarie ad un tasso frazionato

 

TASSI EQUIVALENTI: due tassi sono equivalenti se, investendo lo stesso capitale per uno stesso periodo di tempo diversamente frazionato, si ottiene lo stesso montante

Ik = k√1+i -1 (ex: se si passa dai mesi agli anni)

I = (1+ik)k -1 ( ex: se si passa dagli anni ai mesi)

LA COSTITUZIONE DI CAPITALE

Volendo disporre, fra un certo numero di anni, di una somma per l'acquisto di un bene, è necessario accantonare periodicamente dei capitali affinché il loro montante sia pari alla somma stabilita.

Un'operazione finanziaria di questo tipo ha una durata piuttosto lunga e può essere utile sapere dopo un certo numero di anni l'entità dei versamenti effettuati fino a quella durata.

FONDO DI COSTITUZIONE: si indica con fk, è il montante dei primi k versamenti effettuati.

Per visualizzare l'andamento nel tempo dell'operazione finanziaria, bisogna  redigere un piano di costituzione.

anni

Fondo inizio anni

rata

interessi

Fondo fine anno

Calcolo della rata:

versamenti anticipati                                             versamenti posticipati

S = Ra  i      R =   S                                      S = Rs  i      R =   S                                                 

                        s   i                                                                                                  s  i

                                                       

          

RENDITE FRAZIONATE: sono le rendite in cui il periodo che intercorre tra il pagamento di una rata e la successiva è una frazione costante di anno.

Una volta fissata la rata del periodo è possibile utilizzare uno dei seguenti tassi: ik tasso periodale effettivo, jk tasso nominale convertibile, i tasso annuo.

Per questo tipo di rendite è indispensabile uniformare le unità di misura delle varie grandezze riferendo tutto al periodo.

                                            

 

 

AMMORTAMENTO: pagamento periodico sia degli interessi maturati sia del                   

                               Capitale.

1.    AMMORTAMENTO uniforme o a quote costanti di capitale (chiamato anche italiano)

Questo metodo consiste nel restituire, ad ogni scadenza quote di capitale tutte uguali ed interessi maturati durante il periodo trascorso.

C = quote capitali

anni

C

Ik

R (C+Ik)

Ek

Dk

O

-

-

-

-

A

Ik = quote

Ek = debito estinto

Dk = debito residuo

Text Box: C = A/n




NB. Le quote di capitali (C) sono costanti

      Le quote decrescono in progressione aritmetica di ragione d = c * i

2.    AMMORTAMENTO PROGRESSIVO (chiamato anche francese)

Le rate sono: tutte uguali fra loro

                    vengono pagate ad intervalli di tempo costanti

                    sono (di solito) annuali e posticipate

Le quote di capitale risultano crescenti in progressione geometrica di ragione (1+i)

anni

rata

quota

Debito

Interes Ik

Capitali Ck

Estinto Ek

Residuo Dk

0

-

-

-

-

A

 

Ck = R- Ik

Ek = somma delle Ck

Dk = S - Ek

3.    AMMORTAMENTO AMERICANO (chiamato anche a due tassi)

con questo metodo il debitore deve costituire un capitale attraverso n versamenti periodici valutati ad un tasso i' (generalmente diverso da i), stipulato con una banca.

Ad ogni periodo, il debitore paga l'interesse al creditore e versa la rata (di costituzione del capitale) alla banca.

RENDITA: è una successione di somme che si rendono disponibili in determinate scadenze;

 

RATA: ciascuna somma versata

Rendita  temporanea: il numero delle rate è limitato

Rendita perpetua: il numero delle rate è illimitato

Rendita anticipata: rendita nella quale ciascuna rata è esigibile all'inizio del periodo

Rendita posticipata: rendita nella quale ciascuna rata è esigibile alla fine del periodo

VALORE ATTUALE delle rendite è la somma dei valori attuali delle singole rate riferiti all'istante in cui viene costituita la rendita stessa

Va = R* 1-vn

             i

 
Valore attuale è la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione (v) 

 

 

 

Valore attuale di una rendita anticipata                 Va = R* 1-(1+i)-n (1+i)

Valore della rendita all'atto del primo versamento                                              i

 

 

Valore attuale di una rendita posticipata                Va = R* 1-(1+i)-n

Valore della rendita un anno prima del primo versamento                                 i

 

MONTANTE delle rendite è la somma dei montanti delle singole rate riferite alla fine dell'ultimo periodo

Montante è la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione (u)

M = R* un -1

             i

 

 


Montante di una rendita anticipata                 M = R* (1+i)n -1 (1+i)

Valore della rendita un anno dopo l'ultimo versamento                            i

 

 

Montante di una rendita posticipata                M = R* (1+i)n -1

Valore della rendita all'atto dell'ultimo versamento                                   i

                                

 

SUCCESSIONE: è una funzione fra numeri naturali e numeri reali

                

 a1  a2  a3  a4  a5  ..  an

 

progressionE aritmetica: è ogni successione di tre o più numeri reali, tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante

I numeri della progressione si dicono termini

       

÷ a1  a2  a3  a4  a5  ..  an

La differenza costante tra un termine e il precedente si indica con la lettera d ed indica la ragione

·        Se ar e as sono due termini qualunque di una progressione aritmetica risulta che: an = a1+(n-1)*d

·        La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è:

sn = a1+an   * n

          2

PROGRESSIONE GEOMETRICA: ogni successione di tre o più numeri reali tali che il quoziente tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.

Il quoziente costante tra un termine e il precedente si indica con la lettera q e viene detto ragione

·        Relazione fra i termini di una progressione geometrica

an = a1 * q n-1

·        Somma dei termini consecutivi di una progressione geometrica

Sn = a1  1- q n

             1-q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







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