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LE DERIVATE - I MASSIMI E I MINIMI - I FLESSI

matematica


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LE DERIVATE

La derivata il coefficiente angolare della retta tangente. Dove i coefficiente positivo la retta sale dove e negativo la retta scende.

Coeff < 0 decrescente

Coeff > 0 crescente

Coeff = 0 max o min

ΔY f (Xo + h) - f (Xo) f (Xo + h) - f (Xo)




----- = rapporto incrementale = ------------------------ lim ------------------------- (indica la variabile dell'ordinata x rispetto alle ascisse y)

ΔX (Xo + h) - (Xo) h0 h

La derivata di una somma algebrica uguale alla somma delle derivate.

La derivata di un numero senza x 0.

Se risolvendo un limite mi viene 0 su 0 o ∞ su ∞ cio se il risultato una forma indeterminata uso il teorema di De L'Hopital. Il risultato dato dal rapporto delle derivate.

La derivata di una funzione composta uguale al prodotto delle funzioni componenti.

I MASSIMI E I MINIMI

m > 0 curva decrescente, retta tangente ascendente.

m < 0 curva decrescente, retta tangente discendente.

I punti che si trovano(X1, X2, .) delle ascisse si chiamano punti stazionari cio i possibili numeri di max e di min. per calcolare eventuali punti di max e di min si usano qst 2 metodi ke sn:

1) metodo delle derivate successive

- si annulla la derivata prima cio si pone uguale a zero

- si cercano gli eventuali punti stazionari

- per determinare se si tratta di un max o di un min si calcola la derivata 2a e/o le derivata successive. Se la prima derivata, diversa da zero, di ordine pari maggiore di 0 si avr un min altrimenti un max se fosse 0 nn si pu dire niente e qnd continua a calcolare le derivate successive.

2) studio della derivata prima

- si determinano gli intervalli in cui la funzione crescente e decrescente.

- se prima nell'incontro dei punti stazionari (intervallo che comprende il punto stazionario) la funzione prima cresce e poi decresce si avr un max altrimenti un min, se continua a crescere o decrescere nn ne un max ne un min.

I FLESSI

il punto in cui la curva cambia concavit.

1) metodo delle derivate successive:

- si pone la derivata 2 uguale a zero e si trovano gli eventuali punti di flesso

- si calcolano in ciascuno dei probabili punti le derivate successive fino a trovarne una che nn si annulla (sostituendo a x i valori che ho trovato)

- se la prima derivata successiva che nn si annulla di ordine dispari allora si ha un flesso altrimenti nn si ha.

Si avr un flesso ascendente se la derivata di ordine dispari positiva e un flesso discendente se se la derivata di ordine dispari negativa.

Il flesso sar a tangente obliqua se la derivata 1 diversa da 0, a tangente orizzontale se la derivata 1 uguale a 0 e a tangente verticale se la derivata 1 infinita.

2) metodo dello studio della derivata seconda:

serve per vedere se c' il flesso.

- si pone la derivata 2 uguale a 0e si trovano gli eventuali punti di flesso

- si studia disequazione (YII > 0). Tale studio ci consente di determinare gli eventuali punti in cui la derivata positiva e quindi la funzione concava verso l'alto o negativa e qnd la funzione concava verso il basso.



Se nell'intorno del probabile punto di flesso di ascissa X la funzione cambia concavit si avr un flesso. Sar ascendente se da concava verso il basso diventa concava verso l'alto, discendente del caso opposto.

GLI ASINTOTI

L'asintoto una retta a cui una funzione si avvicina indefinitamente.

verticale quando lim f(x) = ∞ orizzontale quando lim f(x) = numero obliquo quando lim f(x) = ∞

x numero x x

LA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Il modo per rappresentare le funzione a 2 variabili non avendo la 3 dimensione o quota (altezza) sono le linee di livello. La linea di livello l'insieme di tutte le combinazioni delle variabili x e y che hanno la stessa quota in z.

Il dominio R2 xk ci sn due variabili. l'insieme delle coppi x e y che hanno un corrispondente in z. (denominatore ≠ 0, radicando ≥ 0 quando l'indice della radice pari, l'argomento del logaritmo deve essere positivo (log fx > 0))

MASSIMI E MINIMI LIBERI NELLA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Il punto di sella un punto ke in base a come lo guardi pu essere u max o un min.

L'Hessiano il determinante della matrice che ha nella diagonale principale le derivate 2 pure e nell'altra diagonale le derivate 2 miste.

Se H > 0 se Zxx < 0 = max se Zxx > 0 = min

Se H < 0 punto di sella

Se H = 0 non posso dire niente







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