LE DERIVATE - I MASSIMI E I MINIMI - I FLESSI

----- = rapporto incrementale = ----- ----- -------------- lim   ----- ----- --------------- (indica la variabile dell'ordinata x rispetto alle ascisse y)

ΔX (Xo + h) - (Xo) h h

La derivata di una somma algebrica è uguale alla somma delle derivate.

La derivata di un numero senza x è 0.

Se risolvendo un limite mi viene 0 su 0 o ∞ su ∞ cioè se il risultato è una forma indeterminata uso il teorema di De L'Hopital. Il risultato è dato dal rapporto delle derivate.

La derivata di una funzione composta è uguale al prodotto delle funzioni componenti.

I MASSIMI E I MINIMI

m > 0 curva decrescente, retta tangente ascendente.

m < 0 curva decrescente, retta tangente discendente.

I punti che si trovano(X1, X2, .) delle ascisse si chiamano punti stazionari cioè i possibili numeri di max e di min. per calcolare eventuali punti di max e di min si usano qst 2 metodi ke sn:

1) metodo delle derivate successive

- si annulla la derivata prima cioè si pone uguale a zero

- si cercano gli eventuali punti stazionari

- per determinare se si tratta di un max o di un min si calcola la derivata 2^a e/o le derivata successive. Se la prima derivata, diversa da zero, di ordine pari è maggiore di 0 si avrà un min altrimenti un max se fosse 0 nn si può dire niente e qnd continua a calcolare le derivate successive.

2) studio della derivata prima

- si determinano gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

- se prima nell'incontro dei punti stazionari (intervallo che comprende il punto stazionario) la funzione prima cresce e poi decresce si avrà un max altrimenti un min, se continua a crescere o decrescere nn è ne un max ne un min.

I FLESSI

È il punto in cui la curva cambia concavità.

1) metodo delle derivate successive:

- si pone la derivata 2° uguale a zero e si trovano gli eventuali punti di flesso

- si calcolano in ciascuno dei probabili punti le derivate successive fino a trovarne una che nn si annulla (sostituendo a x i valori che ho trovato)

- se la prima derivata successiva che nn si annulla è di ordine dispari allora si ha un flesso altrimenti nn si ha.

Si avrà un flesso ascendente se la derivata di ordine dispari è positiva e un flesso discendente se se la derivata di ordine dispari è negativa.

Il flesso sarà a tangente obliqua se la derivata 1° è diversa da 0, a tangente orizzontale se la derivata 1° è uguale a 0 e a tangente verticale se la derivata 1° è infinita.

2) metodo dello studio della derivata seconda:

serve per vedere se c'è il flesso.

- si pone la derivata 2° uguale a 0e si trovano gli eventuali punti di flesso

- si studia disequazione (Y^II > 0). Tale studio ci consente di determinare gli eventuali punti in cui la derivata è positiva e quindi la funzione è concava verso l'alto o negativa e qnd la funzione è concava verso il basso.

Se nell'intorno del probabile punto di flesso di ascissa X la funzione cambia concavità si avrà un flesso. Sarà ascendente se da concava verso il basso diventa concava verso l'alto, discendente del caso opposto.

GLI ASINTOTI

L'asintoto è una retta a cui una funzione si avvicina indefinitamente.

è verticale quando lim f(x) = ± ∞   è orizzontale quando lim f(x) = numero è obliquo quando lim f(x) = ± ∞

x numero    x x

LA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Il modo per rappresentare le funzione a 2 variabili non avendo la 3 dimensione o quota (altezza) sono le linee di livello. La linea di livello è l'insieme di tutte le combinazioni delle variabili x e y che hanno la stessa quota in z.

Il dominio è R² xkè ci sn due variabili. È l'insieme delle coppi x e y che hanno un corrispondente in z. (denominatore ≠ 0, radicando ≥ 0 quando l'indice della radice è pari, l'argomento del logaritmo deve essere positivo (log fx > 0)) 

MASSIMI E MINIMI LIBERI NELLA FUNZIONE A 2 VARIABILI

Il punto di sella è un punto ke in base a come lo guardi può essere u max o un min.

L'Hessiano è il determinante della matrice che ha nella diagonale principale le derivate 2° pure e nell'altra diagonale le derivate 2° miste.

Se H > 0 se Zxx < 0 = max se Zxx > 0 = min

Se H < 0 punto di sella

Se H = 0 non posso dire niente