I
NUMERI REALI
§1.
La definizione di numero
Definizione
fondamentale. Un
insieme A= si dice insieme numerico, ed i suoi elementi a, b, c,... si chiamano numeri,
se all'interno di A sono definite
I)
una relazione interna, detta uguaglianza
=, con le proprietà delle relazioni di equivalenza
1) riflessiva: a=a;
2) simmetrica: a=b Û b=a;
3) transitiva: a=b Ù b=c Þ a=c;
II)
due
relazioni d'ordine, minoranza < e maggioranza >, con le
loro proprietà:
4) antisimmetrica: a>b Û b<a;
5) transitiva: a<b Ù b<c Þ a<c;
6) " a>b Ù b>c Þ a>c;
III)
4
operazioni (chiamate addizione +, sottrazione -, moltiplicazione
× e divisione /) con le proprietà
formali:
Addizione:
7)
chiusura: a+bÎA, "a,bÎA;
8)
commutativa: a+b=b+a;
9)
associativa: (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c;
10) esistenza dell'elemento neutro (detto zero) 0: a+0=a;
Sottrazione:
11) inversa dell'addizione: a-b=c Û c+b=a;
12) invariantiva: a-b=(a±c)-(b±c);
Moltiplicazione:
13) chiusura: a×bÎA, "a,bÎA;
14) commutativa: a×b=b×a;
15) associativa: (a×b)×c=a×(b×c)=abc;
16) distributiva: a×(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac;
17) esistenza elemento neutro (detto unità) 1: 1×a=a;
18) esistenza elemento assorbente (zero): 0×a=0;
19) annullamento del prodotto: a×b=0 Þ
a=0 Ú
b=0;
Divisione:
20) inversa della moltiplicazione: a/b=c Þ c×b=a;
21) invariantiva: a/b=(a×c)/(b×c), "c¹0.
Uguaglianza,
maggioranza e minoranza si chiamano le 3
relazioni d'ordine; addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione si
chiamano le 4 operazioni aritmetiche.
Si
può facilmente verificare che:
-
l'insieme
N= dei numeri naturali è un insieme numerico;
-
l'insieme
Z= dei numeri
interi relativi è un insieme numerico;
-
l'insieme
Q=, dove le classi [m/n]= si chiamano numeri razionali, è un insieme numerico.
Osserviamo
che questi insiemi numerici si costruiscono tutti a partire dall'insieme
fondamentale N: Z è infatti definito direttamente tramite N, mentre Q è definito tramite Z
che è definito tramite N. L'allargamento procede dunque
nella direzione
N ®Z ®Q
Osserviamo inoltre che, tramite prima una
corrispondenza biunivoca « tra un insieme numerico ed un
sottoinsieme del successivo e poi un processo di astrazione, N diventa sottoinsieme di Z
N =
N «Z+ : | |
| ... (corrispondenza 1-1)
Z+= ;
Þ N = Z+; (astrazione)
Þ N Ì Z.
Allo stesso modo, una corrispondenza 1-1
ed un'astrazione fanno diventare Z sottoinsieme di Q. Detto Qi l'insieme delle frazioni apparenti, si ha:
Z =
Z «Qi : | | | | | à
(corrispondenza
1-1)
Qi=;
Þ Z = Qi; (astrazione)
Þ Z Ì Q.
ottenendo finalmente la catena di
inclusioni
N Ì Z Ì Q.
L'astrazione
è resa possibile non solo perché esiste la corrispondenza 1-1 tra due insiemi,
ma anche perché la somma, la differenza, il prodotto ed il quoziente di due
elementi in un insieme ha per corrispondente nell'altro insieme rispettivamente
la somma, la differenza, il prodotto ed il quoziente degli elementi
corrispondenti. Lo stesso vale per le relazioni d'ordine: a questo punto,
matematicamente, i due insiemi si dicono isomorfi e i loro oggetti sono
indistinguibili a meno della simbologia. Per questo i due insiemi vengono identificati.
Osserviamo
infine che quelle date nella definizione di numero sono le condizioni minime, e
sono tutte soddisfatte nell'insieme N
dei numeri naturali. Altri insiemi numerici possono soddisfare ulteriori
condizioni: per es., l'insieme dei numeri interi relativi Z ha anche la proprietà di chiusura per la sottrazione
(mentre in N la sottrazione si può eseguire
solo se il minuendo non è minore del sottraendo), e la proprietà nell'addizione
dell'esistenza per ogni numero del suo opposto: Z è un insieme numerico che ha la struttura ulteriore di anello;
ancora, per es., l'insieme dei numeri razionali Q ha tutte le proprietà di Z, ed inoltre la proprietà di chiusura della divisione (con
l'unica eccezione dello 0), e la proprietà nella moltiplicazione di esistenza
per ogni numero ¹0
del suo inverso: Q è un anello che ha la struttura ulteriore di campo.
L'anno
scorso avevamo anche accennato all'insieme Q* dei numeri irrazionali (Ö2, p,
ecc.), e li avevamo definiti come "numeri decimali illimitati non periodici".
Questa definizione non è però soddisfacente matematicamente
a) perché è negativa: usando gli aggettivi "illimitati" (=non
limitati) e "non periodici" essa dice che cosa i numeri irrazionali
non sono, piuttosto di indicarne le caratteristiche positive;
b) perché è deficitaria: non dimostra che quelli sono numeri, né tantomeno
insegna a stabilire le relazioni d'ordine e ad eseguire le 4 operazioni
dell'aritmetica.
I
numeri irrazionali sono troppo importanti perché ci possiamo permettere il
lusso di ignorarli (dovremmo altrimenti rinunciare a misurare la diagonale dei
quadrati, o la lunghezza di una circonferenza, ecc.). D'altra parte però
dobbiamo trovare una maniera positiva di costruirli, a partire dagli unici
insiemi numerici che al momento conosciamo (N, Z e Q), ed imparare ad eseguire su di essi le 4 operazioni
dell'Aritmetica. Per fare questo, dovremo prenderla un po' alla larga.
§2.
Classi contigue di numeri razionali
Definizione. Due insiemi A e B di numeri razionali si dicono coppia di classi separate di
numeri razionali se ogni numero della classe A è minore di ogni numero della classe B.
Dunque
le due classi A e B si dicono separate se "aÎAÌQ, "bÎBÌQ, si ha a<b. Per es., le
classi
A=,
B= A 8 17 B Q
sono separate.
Definizione. Una coppia di classi
separate A e B di numeri razionali si dice coppia di classi contigue di
numeri razionali - e la indicheremo con la scrittura (A, B) - se, scelto un
numero razionale positivo e piccolo quanto si vuole, esiste
un numero aÎA ed un numero bÎB, tali che b-a<e. La coppia (A, B) dell'es.
precedente non è una coppia di classi contigue, perché qualunque siano i numeri
a e b scelti nelle due classi, la loro differenza è evidentemente sempre
maggiore di 17-8=9, e quindi se noi scegliamo un numero e<9,
la definizione di classi contigue non può essere soddisfatta. Invece, le due
classi di numeri razionali
C=,
D=: C 7/3 D
sono non solo separate, com'è evidente;
ma anche contigue, perché se scegliamo per es. e=0,0001,
possiamo trovare in C il numero a=(7/3)-0,00002 ed in D il numero b=(7/3)+0,00005 la cui differenza è
b-a=0,00007<e.
Definizione. Data una coppia di classi
contigue (A, B), se esiste un numero razionale s maggiore
o uguale a tutti gli elementi di A e
allo stesso tempo minore o uguale a tutti gli elementi di B, esso si chiama elemento separatore di (A, B).
Dunque,
per definizione di elemento separatore
s³a, "aÎA,
s£b, "bÎB.
Nell'es. della coppia (C, D)
un elemento separatore era evidentemente s=7/3. Ce ne
sono altri? in generale, quanti elementi separatori possono avere due classi
contigue? Vale intanto il seguente
Teorema. 'Una coppia di classi contigue
di numeri razionali non può avere più di un elemento separatore.'
Dimostrazione (ad absurdum). Supponiamo
che una coppia (A, B) abbia 2 elementi separatori, s ed s', e poniamo per fissare le idee s<s'. Chiamiamo d la
differenza tra s' e s:
d=s'-s. Allora, poiché "aÎA, "bÎB, si ha per definizione di
elemento separatore
b-a
a£s<s'£b, | | s'-s | |
a s s' b
ne deriva che
b-a³s'-s=d.
Se scegliamo perciò e<d, non troveremo nessuna coppia di
numeri razionali nelle due classi la cui differenza sia minore di e; e ciò è in contraddizione col fatto che le due classi sono
contigue. Quindi la premessa (esserci due elementi separatori) è falsa. C.v.d.
A questo punto, sono possibili solo due casi:
-
o
una coppia di classi contigue di numeri razionali possiede un solo elemento
separatore (v. l'es. (C, D));
-
o
una coppia di classi contigue di numeri razionali non ha nessun elemento
separatore. Prima di dare un es. di questo secondo caso, diamo il seguente
Lemma. Non esiste in Q la Ö2, cioè non esiste un numero
razionale x, tale che x²=2.
Dimostrazione. Questo x evidentemente non può essere un numero
intero, perché 1²=1 e 2²=4: dunque, se esiste un tale x in Q, è una frazione compresa tra 1 e
2. Ammettiamo che sia già ridotta ai minimi termini, m/n=Ö2. Allora (m/n)²=2; cioè m²/n²=2.
Ma se m/n è ridotta ai minimi termini, vuol dire che m ed n sono primi tra
loro. In questo caso anche m² ed n² sarebbero primi tra loro e quindi il
loro rapporto non può essere 2! Quindi non esiste un numero razionale uguale
alla Ö2. C.v.d.
Esiste
tuttavia un algoritmo con cui è possibile scrivere un numero razionale che
approssima, per difetto o per eccesso, la Ö2 bene quanto si vuole; con
questo vogliamo dire che, scelto un numero e>0
piccolo quanto si vuole, è possibile trovare un numero razionale a tale che |a²-2|<e. A questo punto consideriamo la
seguente coppia di classi di numeri razionali:
F=,
G=.
Anche F e G sono evidentemente
separate. Sono anche contigue perché possiamo trovare un numero razionale che
approssima la Ö2
tanto quanto vogliamo: per es., posto e=0,0001,
possiamo scegliere
f=1,41421 (fÎF perché f²=1,9999899241<2),
g=1,41422 (gÎG perché g²=2,0000196226>2),
g-f=0,00001<e.
Questa volta, però, non esiste un numero
razionale che sia ³ di
tutti i numeri di F e £ di tutti i numeri di G, proprio perché non esiste un numero
razionale =Ö2 e
tuttavia possiamo con i numeri razionali approssimare per difetto o per eccesso
la Ö2 bene quanto vogliamo: quindi
queste due classi contigue non hanno nessun elemento separatore. Osserviamo
anche che, in questo es., FÈG=Q.
Definizione. Una coppia di classi
contigue di numeri razionali (A, B), tale che AÈB=Q,
si chiama sezione razionale.
Poiché
due classi contigue sono necessariamente separate, abbiamo anche AÇB=Æ; quindi una sezione è una partizione di Q. Vale ora il seguente
Teorema fondamentale. 'L'insieme R di tutte le sezioni razionali è un
insieme numerico, anzi un campo.'
Per
dimostrare questo teorema, dovremmo
a) riuscire a costruire 3 relazioni
=, < e > e 4 operazioni +, -, × e / in R; e poi
b) dimostrare che queste relazioni
ed operazioni godono delle proprietà formali d'un campo.
Una dimostrazione così
dettagliata si esegue nei corsi universitari; noi, per farcene un'idea,
considereremo l'es. di due particolari sezioni razionali ed eseguiremo su di
esse l'operazione di addizione e moltiplicazione. Consideriamo queste due
sezioni razionali: la precedente a=(F, G) - i matematici
scrivono a=Ö2 - e la sezione razionale b=(H, K) così definita:
H=,
K=.
Anche b
è una sezione razionale, com'è facile dimostrare: i matematici la indicano col
simbolo Ö5.
Dunque Ö5=b=(H, K). Costruiamo ora con quelle classi la
seguente nuova coppia di classi
M=,
N=:
È facile dimostrare che queste nuove
classi sono una sezione razionale g=(L, M), che i matematici
chiamano somma delle due sezioni a e ß:
g=a+b.
Si potrebbe anche dimostrare che questa
operazione gode di tutte le proprietà formali dell'addizione. Sempre con le
sezioni originarie, potremmo costruire un'altra coppia di classi:
V=,
W=.
Si può dimostrare che anche la coppia (V, W)
è una sezione razionale d, che i matematici chiamano prodotto delle due sezioni originarie a e ß ed indicano
d=ab.
Si può anche dimostrare che questa
operazione tra sezioni razionali gode delle proprietà formali della
moltiplicazione. In maniera analoga si possono costruire sulle sezioni a e ß le operazioni di sottrazione e divisione nonché le
relazioni dell'ordine, le une e le altre con le loro proprietà, e dimostrare
così il teorema fondamentale.
Definizione. L'insieme R di tutte le sezioni razionali si
chiama campo reale ed i suoi elementi (le sezioni razionali) si chiamano
numeri reali.
Abbiamo visto che ci sono 2 tipi
di sezioni razionali, quelle aventi uno ed un solo elemento separatore (che è
un numero razionale s), per es.
(I,
L)=(,); s=5,1
e quelle non aventi elemento separatore,
per es.
3Ö5=f=(S, T),
S=,
T=.
Il campo reale R viene così ripartito in due sottoinsiemi:
R'=,
R"=,
R'ÈR"=R,
R'ÇR"=Æ.
Noi possiamo stabilire una corrispondenza
biunivoca ed isomorfica tra Q ed R', Q~R': basta associare ad ogni numero
razionale pÎQ la sezione razionale (A, B)
avente p come elemento separatore.
Poi, con un processo di astrazione, identifichiamo
Q=R'
e possiamo così dire che i numeri
razionali Q coincidono con i numeri reali
del tipo R' (cioè con le sezioni
razionali aventi elemento separatore); di qui
Q Ì R.
Quanto ad R", diamo la seguente
Definizione. Si chiama numero irrazionale
un elemento di R", cioè una
sezione razionale priva di elemento separatore. D'ora in poi, invece di R", scriveremo Q*.
Dunque,
la sezione a=(F, G) dell'es. di sopra
è un numero irrazionale, il numero Ö2; ß=(H, K)=Ö5 è un altro numero reale irrazionale;
g=Ö2+Ö5 un altro numero reale irrazionale
ancora; d=Ö2×Ö5 è un altro irrazionale ancora,
ecc. Abbiamo
Q*ÌR;
QÈQ*=R; L'universo
R
QÇQ*=Æ.
Q Q*
A questo punto conosciamo 4
insiemi numerici, uno incluso nell'altro:
N Ì Z Ì Q Ì R.
Q* è un insieme numerico? La risposta è
no: non vale, per es., la proprietà di chiusura dell'addizione e della
moltiplicazione. Non sempre infatti, il prodotto o la somma di due numeri
irrazionali sono un numero irrazionale:
3Ö2, 3Ö4, (Ö3-5), (1-Ö3) ÎQ*, ma:
3Ö2×3Ö4=2 ÎN!
(Ö3-5)+(1-Ö3) =-4 ÎZ!
Quindi Q* non è un insieme numerico perché l'addizione e la
moltiplicazione non godono della proprietà di chiusura. Ancora, più
semplicemente, chi è l'elemento neutro dell'addizione? 0, ma questo non è un numero
irrazionale! Quindi Q* non ha nemmeno l'elemento
neutro dell'addizione. Né quello neutro della moltiplicazione, 1...
Nel
prossimo anno la nostra conoscenza si allargherà ad un nuovo tipo di numeri
ancora: il campo C dei numeri complessi. Ma per
intanto tutti i nostri studi matematici avranno come universo numerico il campo
reale:
U=R.
§3.
Il campo reale R
Rivediamo le relazioni e le proprietà
formali delle operazioni definite in R.
I) Le 3 relazioni d'ordine
1) LA RELAZIONE DI
UGUAGLIANZA. Gode di 3 proprietà:
a) riflessiva: p=p, "pÎ R;
b) simmetrica: p=q Û q=p;
c) transitiva: (p=q Ù q=r) Þ p=r.
2) LE RELAZIONI DI
MAGGIORANZA E DI MINORANZA. Godono di 2 proprietà:
a) antisimmetrica: p> q Û q< p;
b) transitiva: (p> q Ù q> r) Þ p> r e (p<
q Ù q< r) Þ p< r.
II) Le operazioni aritmetiche
1) L'ADDIZIONE.
Gode di 5 proprietà:
a) chiusura: p+qÎR, "p,
qÎR;
b) commutativa: p+q=q+p;
c) associativa: (p+q)+r=p+(q+r)=p+q+r;
d) esistenza
dell'elemento neutro,
0: p+0=p;
e) esistenza
dell'elemento opposto -p:
"p
$-p:
p+(-p)=0 .
2) LA SOTTRAZIONE.
Gode di 2 proprietà:
a) chiusura: p-qÎR, "p,
qÎR;
b) invariantiva: p-q=(p+k)-(q+k),
"p, q, kÎR;.
3) LA
MOLTIPLICAZIONE. Gode di 8 proprietà:
a)
chiusura: pqÎR, "p, qÎR;
b) commutativa: pq=qp;
c) associativa: (pq)r=p(qr)=pqr;
d) esistenza
dell'elemento neutro, 1:
1p=p1=p;
e) esistenza
dell'elemento assorbente,
0: 0p=p0=0;
f)
annullamento del prodotto: pq=0 Þ (p=0 Ú q=0);
g) distributiva: p(q+r)=pq+pr;
h) esistenza
dell'elemento inverso, 1/p: "p¹0 $1/p: p(1/p)=1.
4) LA DIVISIONE.
Gode di 2 proprietà:
a) chiusura: p/q ÎR, "p,
qÎR, q¹ 0;
b) invariantiva: p/q=pk/qk, "p, q, kÎR, q, k¹ 0.
Insomma, come Q, anche R è un campo. Come Q, anche R
-
è
un insieme infinito,
-
è
un insieme ordinato,
-
è
un insieme denso.
R tuttavia ha una struttura matematica più complessa di Q, perché gode di una quinta proprietà non
esistente in Q:
-
R è un insieme continuo.
Che cosa significa? Vediamo. Come abbiamo
costruito sezioni razionali, potremmo ora costruire sezioni reali:
Definizione. Si chiama sezione reale
una coppia di insiemi di numeri reali (L, P) tali che:
-
ogni
numero reale della classe L è minore di ogni numero reale
della classe P (cioè, L
e P sono separate);
-
dato
un numero reale e>0,
piccolo quanto si vuole, esiste un numero reale a
in L ed un numero reale ß in P tali che b-a<e (cioè, L
e P sono contigue);
-
l'unione
di L e P dà R: LÈP=R (cioè, essendo anche LÇP=Æ, L
e P sono una partizione di R).
Un
es. di sezione reale è il seguente: (L, P) con
L=,
P=.
Chiameremo
elemento separatore d'una sezione reale (L, P)
un numero reale s, se c'è, ³ di tutti i numeri della prima
classe è e £ di
tutti i numeri della seconda classe. Con riferimento all'es. precedente,
abbiamo evidentemente s=3. Quanti elementi separatori
reali può avere una sezione reale? Nel caso delle sezioni razionali, abbiamo
visto che esse erano di due specie: quelle che avevano uno (ed un solo)
elemento separatore razionale e quelle che non ne avevano nessuno. Con le
sezioni reali invece, la situazione è differente. Si potrebbe dimostrare
infatti il seguente
Teorema. 'Ogni sezione reale ammette
sempre uno, ed un solo, elemento separatore, che è un numero reale.'
Affermare
la continuità di R significa proprio questo, che
ogni sezione reale ha un elemento separatore reale. Un significato più
intuitivo del termine sarà dato in geometria.
