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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

matematica


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IL SISTEMA

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

    ax²+bx+c ≥ 0

Con il delta maggiore di zero Δ>0

L'equazione associata ha due soluzioni!

Se il termine in a è positivo c'è concordanza e tengo i valori ESTERNI se il termine in a è negativo c'è discordanza e tengo i valori INTERNI. Questo se voglio che l'equazione sia maggiore di zero. Se l'equazione deve essere minore di zero si invertisce il tutto quindi con -a ho i valori ESTERNI e con +a ho i valori INTERNI.

Con il delta uguale a zero Δ=0

L'equazione associata ha due soluzioni coincidenti!

Se c'è concordanza i valori da tenere sono TUTTI mentre se c'è discordanza o ho il numero stesso se non devo tenere l'uguaglianza o ho l'insieme vuoto.

Con il delta minore di zero Δ<0

L'equazione associata siccome il delta è negativo non ha soluzioni!

Perciò se c'è concordanza è PER OGNI X, se c'è discordanza l'INSIEME VUOTO.

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON I VALORI ASSOLUTI

Qualunque valore ci sia dentro al valore assoluto, sia negativo o positivo, il risultato è SEMPRE POSITIVO.

|a| ≥ 0   Per ogni a

|a| = |-a|  Per ogni a

|a| x |b| = |a x b|   Per ogni a e b

|a|ⁿ = |aⁿ|   Per ogni a

                                                                                                               Se il valore assoluto si trova all'interno di un'equazione bisogna esaminare DIVERSI CASI perciò la soluzione dell'equazione iniziale sarà l'unione delle soluzioni dei casi studiati.

Esempio

|x-1|+x = 2x -1      

                                                  - - - - - - - - - - - - - - -    + + + + + + + + + + +

Caso 1


      x-1 ≥ 0                                    x ≥ 1

      x-1+x = 2x-1                          0x = 0              S = [1; +∞]

Caso 2

  

       x-1 ≤ 0                                     x ≤ 1

      -(x-1) +x = 2x-1                       x = 1              S =

| A | = k                 A = qualsiasi espressione in x      K = numero

Se k < 0 allora S =

Se k = 0 allora A deve essere uguale a zero

Se k > 0 allora l'equazione è equivalente a A = +/- k

OSSERVAZIONE: quando ho più di un modulo devo studiare ogni singolo modulo ma in uno stesso diagramma dei segni!!!

Quando ho un valore dentro a un altro inizio con lo studio del più interno!!!

DISEQUAZIONI CON I VALORI ASSOLUTI   

Con le disequazioni con i valori assoluti si segue lo stesso procedimento adottato con le equazioni!!!

Osservazioni importanti:

| A | >/< k

Supponiamo k < 0   

Primo caso: | A | > k allora   A > k o a < -k

Secondo caso: | A | < k allora   -k < A < k

METODO ALTERNATIVO

Quando k è positivo posso elevare alla seconda quindi:

| A | >/< k   elevo alla seconda ambo i membri A² >/< k²

EQUAZIONI IRRAZZIONALI (equazioni in cui l'incognita è sotto radice)

ⁿ√A = B

se n è DISPARI allora l'equazioni è equivalente a A = Bⁿ

se n è PARI devo fare un sistema a due equazioni      B ≥ 0

                                                                                     A = Bⁿ

DISEQUAZIONI IRRAZZIONALI

ⁿ√A >/< B

se n è dispari allora l'equazione è equivalente a: A >/< Bⁿ

se n è pari ho due possibilità: √A > B  o √A < B

consideriamo se la radice è minore dell'altra equazione; devo formare un sistema a tre equazioni cioè:


       A ≥ 0  condizione di esistenza

       B > 0  condizione di concordanza

       A < B² elevazione alla seconda

Ora consideriamo il caso quando la radice è maggiore dell'equazione; devo procedere considerando due casi: B ≥ 0 e B < 0

Caso 1                                                                      Caso 2

      

       B ≥ 0                           U                               B < 0

       A ≥ 0                                                             A ≥ 0

       A > B²

OSS. Se c'è il maggiore uguale lo aggiungo all'elevazione

CHE COS' E' IL PIANO CARTESIANO?

Consideriamo un piano e disegniamo due rette, le orientiamo, le chiamiamo e fissiamo un unità di misura. Il sistema che noi usiamo può essere: CARTESIANO, ORTOGONALE, MONOMETRICO.

Ora avendo questo piano posso costruire una funzione con corrispondenza BIUNIVOCA tra un oggetto geometrico e un oggetto algebrico.

DISTANZA TRA DUE PUNTI

Dobbiamo considerare due punti distinti; ora possiamo ricavare la formula della distanza.

FORMULA GENERALE


AB = √ (Xb - Xa + (Yb - Ya    

CASI PARTICOLARI

Quando i due punti hanno la stessa ascissa o la stessa coordinate si f il modulo della differenza della coordinate diversa.

FORMULA DEL PUNTO MEDIO


M       Xa + Xb        ;        Ya + Yb

                2                             2


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