applicando il logaritmo naturale a entrambi i membri:

 derivando:

Quest'ultima relazione è vera anche per il vapore, considerando un opportuno valore di k.

Proprietà di ristagno

Le proprietà di ristagno o proprietà totali di una corrente fluida in moto permanente sono i valori che le proprietà della corrente acquisterebbero se la corrente fosse decelerata adiabaticamente, isoentropicamente e senza scambiare lavoro 656c23g , fino a velocità nulla.

Scriviamo la legge di conservazione dell'energia in forma euleriana per questa decelerazione:

 

Q_e=0    perché la decelerazione è adiabatica

Li=0 perché il fluido non fa lavoro 656c23g

Abbiamo indicato con i⁰ l'entalpia finale, con E_c⁰ l'energia cinetica finale (che è nulla), con i e con E_c l'entalpia e l'energia cinetica iniziale:

  (1)

Otteniamo in questo modo l'espressione dell'entalpia totale del fluido, cioè il valore di entalpia posseduto dal fluido al termine della decelerazione.

In una trasformazione adiabatica in cui non c'è scambio di lavoro 656c23g abbiamo che:

(2)

cioè l'entalpia totale si conserva.

Se il fluido è un gas perfetto abbiamo che:

  (3)

Nelle stesse condizioni della (2) anche la temperatura totale si conserva:

   (4)

Durante la decelerazione del fluido l'entropia rimane costante, perché abbiamo detto che la decelerazione deve essere isoentropica. Quindi, indicando con S₁ l'entropia prima della decelerazione e con S₁⁰ l'entropia dopo la decelerazione , abbiamo:

In una trasformazione generica in cui c'è un variazione di entropia S₂ - S₁ , si ha che:

   (5)

Inoltre, se il fluido è un gas perfetto abbiamo che:

   

e se la trasformazione è adiabatica e senza scambio di lavoro 656c23g , cioè è vera la (4), abbiamo che:

Da questa relazione si deduce che, in una trasformazione adiabatica, senza scambio di lavoro 656c23g e isoentropica (S₂=S₁), la pressione totale si conserva:

Flusso adiabatico, isoentropico e stazionario di una corrente unidimensionale

Partiamo dall'equazione di continuità:

    (6)

la portata in massa è costante perché stiamo trattando una corrente stazionaria; calcoliamo il logaritmo di questa espressione e poi deriviamo (derivata logaritmica):

  (7)

Dall'equazione di conservazione dell'energia:

quindi otteniamo:

(8)

Se scriviamo l'equazione di conservazione dell'energia in quest'altra forma:

introducendo questa espressione nella (8):

Ora, ricordando la definizione di velocità del suono:

  (9)

Introduciamo questo termine nell'equazione di continuità:

introduciamo il numero di Mach:

(quando M_a>1 la velocità c è maggiore del suono ).

Quindi otteniamo:

(10)

Possiamo scrivere la (10) in una forma diversa in cui compaia la pressione:

Riprendendo la (9), possiamo scrivere:

sostituendo nella (10):

   (11)

Queste espressioni valgono sia per un condotto accelerante, effusore o ugello, nel quale un fluido comprimibile subisce un'espansione con un aumento della velocità, sia per un condotto decelerante, diffusore, nel quale il fluido subisce una diminuzione di velocità e corrispondentemente un aumento di pressione.

Ugelli

Consideriamo il percorso di un fluido attraverso un ugello, dall'ambiente 1 all'ambiente 2:

All'ingresso dell'ugello il fluido si trova ad una pressione p₁, ad una temperatura T₁ e possiede una velocità c₁; all'uscita dell'ugello abbiamo una pressione p₂ minore di p₁, una temperatura T₂ e una velocità c₂ maggiore di c₁.

Tenendo conto delle equazioni (10) e (11), facciamo le seguenti considerazioni.

Se la velocità c del fluido è subsonica, cioè c<c_s, si ha M_a<1; noi vogliamo ottenere una accelerazione del fluido, cioè vogliamo che sia ; dalla (10) segue che dobbiamo avere , ma allora dalla (11) deduciamo che . In conclusione, per ottenere un'accelerazione occorre avere un condotto convergente e otteniamo una diminuzione di pressione.

Se la velocità c del fluido è supersonica, cioè c>c_s, si ha M_a>1; noi vogliamo ottenere una accelerazione del fluido, cioè vogliamo che sia ; dalla (10) segue che dobbiamo avere , ma allora dalla (11) deduciamo che . In conclusione, per ottenere un'accelerazione occorre avere un condotto divergente e otteniamo una diminuzione di pressione.

Se la velocità c del fluido è molto vicina quella del suono (corrente transonica), cioè c=c_s, si ha M_a=1; dalla (10) segue che dobbiamo avere , e dalla (11) deduciamo che . In conclusione il fluido si muove con sezione costante e non c'è variazione di pressione.

In generale, a seconda dei valori iniziali e finali di pressione e velocità, utilizzeremo un condotto solo convergente, o solo divergente, o convergente e divergente, ecc.

Diffusori

Consideriamo il percorso di un fluido attraverso un diffusore, dall'ambiente 1 all'ambiente 2:

All'ingresso del diffusore il fluido si trova ad una pressione p₁, ad una temperatura T₁ e possiede una velocità c₁; all'uscita del diffusore abbiamo una pressione p₂ maggiore di p₁, una temperatura T₂ e una velocità c₂ minore di c₁.

Tenendo conto delle equazioni (10) e (11), facciamo le seguenti considerazioni.

Se la velocità c del fluido è subsonica, cioè c<c_s, si ha M_a<1; noi vogliamo ottenere una decelerazione del fluido, cioè vogliamo che sia ; dalla (10) segue che dobbiamo avere , ma allora dalla (11) deduciamo che . In conclusione, per ottenere una decelerazione occorre avere un condotto divergente e otteniamo un aumento di pressione.

Se la velocità c del fluido è supersonica, cioè c>c_s, si ha M_a>1; noi vogliamo ottenere una decelerazione del fluido, cioè vogliamo che sia ; dalla (10) segue che dobbiamo avere , ma allora dalla (11) deduciamo che . In conclusione, per ottenere un decelerazione occorre avere un condotto convergente e otteniamo un aumento di pressione.

Se la velocità c del fluido è molto vicina quella del suono (corrente transonica), cioè c=c_s, si ha M_a=1; dalla (10) segue che dobbiamo avere , e dalla (11) deduciamo che . In conclusione il fluido si muove con sezione costante e non c'è variazione di pressione.

Rapporto critico delle pressioni

Studiamo un fluido che in una sezione generica del condotto possiede una velocità c e una pressione p. Come ipotesi iniziale poniamo che la velocità iniziale del fluido (all'ingresso del condotto) sia zero. Partiamo dalla legge di conservazione dell'energia, ricordando che parliamo di flussi adiabatici e isoentropici:

infatti, come abbiamo detto, c₁=0. Otteniamo quindi:

    (12)

Dall'equazione dei gas perfetti per una trasformazione isoentropica sappiamo che:

Sostituendo quest'ultima espressione nella (12):

Da questa relazione ricaviamo la velocità del fluido:

Dall'equazione di continuità sappiamo che la sezione del condotto è inversamente proporzionale a rc:

ricordando che:

otteniamo che la sezione A è inversamente proporzionale alla quantità:

Il massimo di rc, che corrisponde al minimo di A, si ottiene derivando quest'ultima espressione rispetto a  ; il risultato che si determina è il seguente:

Questo significa che, quando il rapporto tra la pressione del fluido e la sua pressione iniziale è pari al rapporto critico, la sezione del condotto è minima e la velocità è massima. Nota che il rapporto critico dipende solo da k e nei casi reali ha un valore intorno a 0,5.

Se, come abbiamo supposto all'inizio, la velocità iniziale c₁ non è pari a zero, otteniamo la stessa espressione, in cui però al posto della pressione p₁ c'è la pressione totale p₁⁰ e al posto del volume massico c'è il volume massico totale:

    (13)

							Se rappresentiamo la velocità c in funzione del rapporto p/p1 otteniamo la curva a sinistra. In prossimità del rapporto critico si ha la massima velocità. Analogo grafico si ottiene sostituendo le grandezze in gioco con le rispettive grandezze totali.
					p/p1
		p/p1 critico

Caratteristica di un ugello semplicemente convergente

Consideriamo un ugello semplicemente convergente:

				ambiente 2

Quando la pressione all'uscita del condotto, p_u, è uguale alla pressione dell'ambiente 2, parliamo di ugello adattato; se ci poniamo in questa condizione, possiamo riscrivere l'equazione di continuità in questo modo:

(14)

r_u è la densità del fluido alla sezione di uscita, A_u è la sezione di uscita, c_u è la velocità del fluido alla sezione di uscita. Infatti, riprendendo la (13), e ponendo p=p_u:

L'espressione (14) ci fornisce la portata in massa alla sezione di uscita nel caso di ugello adattato.

Ora vogliamo vedere cosa succede quando facciamo variare la pressione nell'ambiente 2, p₂, mantenendo costanti p₁⁰ e r

Se tracciamo il diagramma relativo alla (14), otteniamo una curva di questo tipo:

			Studiamo il valore di p2 nell'intervallo [0-p10]; ai due estremi di tale intervallo la portata è nulla, come si deduce dalla (14).

In realtà il fluido non si comporta nel modo descritto dal grafico.

Partendo da p₂= p₁⁰, e diminuendo p₂ verso 0, la velocità (quindi la portata) del fluido aumenta fino a raggiungere il valore massimo. In questo tratto l'ugello è adattato, cioè abbiamo che p₂=p_u. Il massimo è raggiunto quando p₂/p₁⁰ è pari al rapporto critico, cioè quando:

In corrispondenza di questa pressione, nella sezione di uscita si realizza la velocità critica, pari alla velocità del suono; in questo punto la portata in massa è pari a:

Diminuendo ancora p₂, la perturbazione che si crea in conseguenza di questa diminuzione, si muove verso l'ambiente 1 con la velocità del suono, ma il fluido si muove verso l'ambiente 2 con la stessa velocità, quindi l'ambiente 1 non avverte le modifiche che avvengono nel 2 e la velocità del fluido non cambia; nel tratto a sinistra del massimo l'ugello non è più adattato, cioè la pressione alla sezione di uscita rimane costante, mentre la pressione dell'ambiente 2 diminuisce:

			A sinistra del rapporto critico la portata in massa mantiene il valore massimo dato dalla (15).

Ugello convergente - divergente (effusore)

Proviamo a diminuire la pressione p₂, a partire dal valore p₂ = p₁⁰ , mantenendo costanti le condizioni a monte dell'ugello:

			a: p2 = p10 , la pressione è uguale a p10 in tutto il condotto; non c'è movimento perché non c'è differenza di pressione tra monte e valle; b,c: p2 < p10 , il flusso è ovunque subsonico: accelera nella prima sezione e decelera nella seconda; la pressione all'uscita è pari a p2 (adattato);

d: il valore p/p₁⁰ raggiunto all'uscita è detto discriminante: se , l'ugello è subsonico, se  in almeno un punto dell'ugello il flusso raggiunge la velocità del suono. Nel caso della curva d il flusso raggiunge la pressione critica e la velocità del suono solo nel punto più stretto, dopodiché si ha una diffusione e il flusso ritorna subsonico.

Se continuiamo a diminuire p₂, il flusso nella prima sezione sarà, per un tratto, supersonico, poi avverrà un salto di pressione (urto retto o obliquo) nella seconda sezione o, al limite, sulla sezione di uscita:

			Nella figura è mostrato cosa succede quando avviene un urto: : tratto supersonico : urto : tratto subsonico Se p2 è minore della pressione di adattamento, l'espansione non avviene più nel condotto ma al di fuori di esso, oltre la sezione d'uscita.

Riassumendo, l'ugello convergente - divergente diventa critico quando:

Vediamo ora l'andamento della portata:

			Come si vede dal grafico, fino a che la pressione p2 rimane superiore alla pressione discriminante, la portata del flusso aumenta secondo l'equazione (14) (semiellisse). In questa situazione la pressione all'uscita è pari alla pressione p2; quando p2 raggiunge la pressione discriminante, e da quel punto in poi, la portata rimane costante, con un valore dato dalla (15) (retta orizzontale).