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RACCOLTA DI ESERCIZI SULLE VARIABILI CASUALI DOPPIE DISCRETE DA TEMI D'ESAME DI MATEMATICA B

tecnica


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Raccolta di esercizi sulle variabili casuali Doppie discrete da temi d'esame di matematica b

Esercizio 1

E' data la variabile doppia in tabella


X\Y
















Calcolare:

a)      le distribuzioni marginali delle componenti X e Y, la loro media e la loro covarianza;

b)      la curva di regressione e la curva di variabilità di Y|X.

Esercizio 2

Qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché le componenti di una variabile discreta doppia siano stocasticamente indipendenti?

Esercizio3

E' data la variabile doppia in tabella


X\Y












Calcolare:

a)      le distribuzioni marginali delle componenti X e Y, la loro media e la loro matrice di varianza-covarianza;

b)      la curva di regressione e la curva di variabilità di Y|X.


Esercizio 4

Riempire la seguente tabella 747e42h nell'ipotesi di indipendenza stocastica delle componenti e dire quanto vale la curva di regressione di Y su X


X\Y




qi











rj






Esercizio 5

E' data la variabile doppia in tabella


X\Y










- dire se X e Y sono stocasticamente indipendenti, giustificando la risposta;

- calcolare le distribuzioni marginali delle componenti X e Y, la loro media e la loro matrice di varianza-covarianza;

- calcolare la curva di regressione e la curva di variabilità di Y|X.


Esercizio 6

Data la variabile doppia discreta (X,Y) in tabella



X\Y

























determinare le distribuzioni di probabilita' marginali di X e di Y;

calcolare il vettore media di (X,Y).


Data la trasformazione

determinare la distribuzione di probabilita' della variabile doppia (V,W);

calcolare il vettore media di  (V,W) nei due modi seguenti:
a) utilizzando la distribuzione di (V,W) ricavata;
b) utilizzando il teorema della media.

Esercizio 7

Data la variabile doppia discreta (X,Y) in tabella



X\Y




































determinare le distribuzioni di probabilita' marginali di X e di Y;

calcolare il vettore media di (X,Y) e la matrice di covarianza ;

la distribuzione di Y condizionata al valore di X=1.


Esercizio 8

E' data la seguente variabile casuale doppia:


X\Y



































Determinare:

la probabilita' del punto (1,1) e quella  dell'insieme dei due punti (1,1), (1,2);

le distribuzioni marginali delle componenti e dire il significato di tali distribuzioni;

il vettore media e la matrice di varianza covarianza.

A partire dalle marginali della variabile doppia data costruire la distribuzione di probabilita' di una nuova variabile doppia le cui componenti siano tra loro stocasticamente indipendenti.

Calcolare la matrice di covarianza e far vedere che nel caso di indipendenza stocastica delle componenti essa e' sempre diagonale. sXY Sij xiyjpij-mXmY

La variabile casuale W e' ottenuta a partire dalla variabile doppia (X,Y) tramite la seguente trasformazione: W = X2 + Y2.

Calcolare la media di W applicando il teorema della media.

Esercizio 9

Data la variabile doppia discreta in tabella,


X\Y


















calcolare:

le distribuzioni marginali;

il vettore media e la matrice di covarianza;

la distribuzione di Y condizionata al valore x=1;

la media e la varianza della distribuzione condizionata.


Esercizio 10

Data la variabile casuale bidimensionale discreta in tabella,


X\Y




















calcolare:

le distribuzioni marginali;

il vettore media e la matrice di covarianza.


Data la trasformazione  V = X + Y, W = X · Y, trovare la distribuzione della variabile doppia (V, W) e calcolarne il vettore media nei 2 modi seguenti:

utilizzando la distribuzione trovata;

utilizzando il teorema della media.


Esercizio 11

Data la variabile casuale doppia (X,Y) in tabella


X\Y


















calcolare:

le distribuzioni marginali;

il vettore media e la matrice di covarianza;

la curva di regressione e la curva di variabilità di Y su X.


Data la trasformazione V = 2Y2 + X , W = 3XY

determinare la distribuzione della variabile casuale doppia (V,W);

determinare il vettore media e la matrice di covarianza di (V, W) utilizzando la distribuzione trovata e il teorema della media.


Esercizio 12

Data la variabile casuale doppia (X,Y) in tabella


X\Y

















calcolare:

le distribuzioni marginali;

il vettore media e la matrice di covarianza;

la distribuzione di Y|x=2

la media e la varianza della distribuzione condizionata ricavata

le seguenti probabilita':
P(x = -2), P(y =0), P(x = -2,y = -1).

Data la trasformazione Z= X+3Y, ricavare:

la media e la varianza di Z.


Esercizio 13

Determinare la probabilita' congiunta della variabile casuale (X,Y), a partire dalle marginali, nell'ipotesi di indipendenza stocastica delle componenti.


X\Y




q
















r






Dopo aver dimostrato che nel caso di indipendenza stocastica sXY e' necessariamente nulla,

calcolare la media e la matrice di covarianza di (X,Y).

Data la trasformazione  Z=5X+Y, calcolare la media e la varianza di Z utilizzando il teorema della media. Calcolare, infine, la distribuzione di W=X+Y2.


Esercizio 14

Data la variabile casuale doppia  discreta in tabella


X\Y

















Calcolare il vettore media e la matrice di covarianza.

Calcolare la distribuzione di Y|x=-1 la sua media e la sua varianza.


Sapendo che la variabile doppia (U,V) e' legata alla variabile (X,Y) dalle seguenti relazioni

U=4X+5Y

V=3X+7Y,

Calcolare il vettore media e la matrice di covarianza di (U,V), utilizzando le formule di propagazione.







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