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Fondamenti di termodinamica - Primo principio (conservazione dell'energia)

tecnica




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Fondamenti di termodinamica


Primo principio (conservazione dell'energia)


Criterio lagrangiano


La conservazione dell'energia in una trasformazione elementare è espressa da:


                    (1)


= è il calore netto che il sistema riceve dall'esterno

= è il lavoro compiuto dalle forze trasmesse al sistema per contatto superficiale con l'es 555b18f terno

=è la variazione di energia  del sistema conseguente al calore e al lavoro ricevuti


Nota: queste quantità sono scritte in lettere corsive; quando invece sono scritte in lettere non corsive, indicano le stesse grandezze, ma riferite all'unità di massa.


                      (2)





= è il calore netto che il sistema riceve dall'esterno per unità di massa:

= è il lavoro compiuto dalle forze trasmesse al sistema per contatto superficiale con l'es 555b18f terno per unità di massa:

=è la variazione di energia  del sistema conseguente al calore e al lavoro ricevuti per unità di massa:

L'energia E si può scomporre in diversi tipi di energia:


                       


U=energia interna, U=energia interna per unità di massa

Ec=energia cinetica, Ec= energia cinetica per unità di massa

Eg=energia potenziale, Eg= energia potenziale per unità di massa

Ew energia rotazionale, Ew= energia rotazionale per unità di massa


Integrando lungo una trasformazione generica tra due stati, otteniamo:



(dQe e dL non sono differenziali)


            (3)


trascurando l'energia potenziale e rotazionale:


(4)


Gli attriti inevitabili in ogni trasformazione danno origine alle perdite per resistenze passive, indicate con Lw o Lw. Questa quantità non compare esplicitamente nella (3) o (4).

Si può dimostrare che il bilancio dell'energia meccanica massica (cioè riferita all'unità di massa) del sistema elementare è:


                                (5)


Sostituendo questa relazione nella (2) si ottiene:


    (6)


dove i è l'entalpia del sistema:  


Per una trasformazione reversibile, cioè priva di attriti, Lw=0.


Criterio euleriano


Indichiamo con

 la potenza termica fornita al sistema attraverso le pareti del volume di controllo non attraversate dal fluido

la potenza meccanica (Pi) fornita al sistema dagli organi mobili

la portata in massa di un fluido


Nota: sono vere le seguenti relazioni:

           e (7)


Si dimostra che il primo principio, scritto in forma euleriana, con riferimento all'unità di massa, è:


    (8)


Siccome i due criteri si equivalgono quando l'intervallo di tempo considerato tende a zero, possiamo ricavare dalla (6), integrare e sostituire nella (8), ottenendo:


                                  (9)


Secondo principio


Definizione di rendimento di un ciclo termodinamico diretto


Un ciclo diretto ha lo scopo di produrre lavoro meccanico, e il suo rendimento è:


                      (10)


dove L è il lavoro (massico) svolto nel ciclo e Q1 è la quantità di calore (massico) fornita al fluido nel ciclo.

In un ciclo, la variazione di energia DE è nulla, perché E è una funzione di stato; dal primo principio:


 


nota che abbiamo utilizzato la convenzione di segno dei fluidi motori, cioè dei fluidi che fanno lavoro positivo sull'esterno,



dove Q1 è il calore fornito al fluido e Q2 è il calore sottratto al fluido nel ciclo; quindi possiamo scrivere:


  (11)


Principio di Carnot


Il lavoro massimo ottenibile da un sistema, assegnati i livelli di temperatura T1 e T2, si ottiene fornendo dall'esterno calore al sistema tutto alla temperatura massima T1, sottraendo calore al sistema tutto alla temperatura minima T2, con trasformazioni intermedie adiabatiche e senza attrito.


Postulati di Carnot:

il rendimento del ciclo dipende solo da T1 e T2

il rendimento del ciclo reversibile è:

Per ciclo reversibile si intende dire che le due adiabatiche sono reversibili

 
La trasformazione adiabatica garantisce la mancanza di scambio di calore nelle trasformazioni intermedie.









Il rendimento del ciclo reversibile è superiore a quello del ciclo irreversibile:



Entropia


Si dimostra che la quantità  è un differenziale esatto; in altre parole il suo integrale definito non dipende dagli estremi di integrazione. Quindi, integrando questa quantità su due trasformazioni termodinamiche differenti ma con identici estremi, si ottiene lo stesso risultato.

Come già accade con l'energia interna U, funzione di stato il cui differenziale esatto è , anche qui abbiamo una funzione di stato che chiamiamo entropia:


                    (12)


dQ tiene conto del calore scambiato netto e del calore (sempre positivo) introdotto dall'interno del fluido a causa dell'attrito:



Nel caso di trasformazione reversibile abbiamo Lw=0 e quindi:


                  (13)


Come succede per l'energia interna U, la variazione di entropia in un ciclo reversibile è nulla:



invece in un ciclo irreversibile è negativa:



Combinando la (6) con la (12) otteniamo:



                          (14)





Gas perfetti, quasi perfetti e reali


Un gas perfetto soddisfa la seguente equazione di stato:


                                (15)


dove:

p è la pressione del gas

v è il volume massico del gas

R è una costante che dipende dal tipo di gas

T è la temperatura del gas


Capacità termiche massiche


Per un gas perfetto le capacità termiche massiche a pressione e a volume costante non dipendono né dalla pressione né dalla temperatura, e sono così definite:


(16)


La capacità termica massica in una trasformazione generica è così definita (vedi la (6)):



In una trasformazione isocora la variazione di volume dv è nulla:


                (17)


In una trasformazione isobara la variazione di pressione dp è nulla:


                    (18)




Nota bene: la (17) e la (18) hanno validità generale, cioè sono vere per qualunque tipo di trasformazione; infatti qualunque trasformazione può essere ricondotta a un'isoterma più un'isocora, oppure a un'isoterma più un'isobara; infatti nell'isoterma non si ha variazione di energia interna U né di entalpia i.


Possiamo dimostrare che :


Nota: R è una costante positiva, quindi cp > cv.


Un gas quasi perfetto è un fluido che soddisfa l'equazione di stato dei gas perfetti, ma le capacità termiche massiche dipendono dalla temperatura.


Un gas reale è viscoso e soddisfa ad un'equazione del tipo:



dove z è una funzione che dipende dal tipo di fluido e vale 1 per i gas perfetti e quasi perfetti.


Trasformazioni dei gas perfetti


Per una trasformazione generica vale la relazione:



trasformazione

caratteristiche

m

c

isobara

p=cost


cp

isocora

v=cost


cv

isoterma

T=cost



isoentropica

pvk=cost

k=cp/cv


politropica

pvm=cost

altro

costante


isoentropica = adiabatica reversibile, quindi ,  quindi

politropica = trasformazione con capacità termica massica costante


Per ricavare l'equazione della isoentropica si procede in questo modo:


                      ma , quindi:



Integrando:



               


Vediamo le 4 trasformazioni sul diagramma di Clapeyron:


m=0 isobara

m=1 isoterma

m=k isoentropica

m= isocora


isoterma: è un' iperbole equilatera:

pv=cost


 

p

 












Vediamo le 4 trasformazioni sul diagramma entropico:


T

 

isobara

quindi l'isobara è un esponenziale:

isocora

 




















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