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Relazione sull'area di progetto Calcolo e Matematica interpolazione con funzioni spline naturali

matematica




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Relazione sull'area di progetto Calcolo e Matematica

interpolazione con funzioni spline naturali


Definiamo le funzioni Spline, come funzioni polinomiali interpolatrici che ci consentono di passare tra i vari punti basi nella maniera più dolce possibile.

Se i punti base subiscono delle variazioni molto brusche utilizzeremo polin 646g65g omi d'ordine più basso raccordandoli opportunamente nei punti d'incontro, ottenendo così un'approssimazione più adeguata. Per utilizzare le curve spline dobbiamo suddividere gli n+1 punti dati in gruppi di m+1, e interpolare ogni gruppo con polinomi di grado m senza discontinuità e raccordando i tratti in modo che nelle unioni non si abbiano << Punti Angolosi >>.

Possiamo distinguere le Spline in tre ordini:


Primo Ordine:




Utilizzando spline del primo ordine, per m=1 otteniamo segmenti di retta, cioè nei nodi sono presenti punti angolosi. In altre parole la funzione approssimatrice non è <<regolare>> nei nodi perché la derivata prima non è continua, perciò il loro impiego risulta limitato.


L'espressione generale di queste funzioni è:


f(x)=f(xi)+mi(x-xi)


Grafico della funzione


f(x)


Spline del 1° Ordine

2



0 x


Secondo Ordine:

- Se invece utilizziamo spline del secondo ordine, per m=2, otteniamo segmenti di parabola. L'espressione generale di queste funzioni è:


fi(x)=aix2+bix+ci



Per n+1 punti base vi sono n intervalli, pertanto bisogna determinare tre n costanti per tre n condizioni, o equazioni.


1° condizione

I valori delle curve spline devono essere uguali in corrispondenza dei nodi interni:


ai-1 Xi-12 + bi-1-1Xi-1 + ci-1=f(xi-1)

ai-1 Xi-12+ bi-1Xi-1 + c =f(xi-1)    per i=1,2,..,n

2° condizione

La prima e l'ultima curva spline devono passare per i corrispondenti punti esterni:


a1 X02+ b1X0 + c1 =f(x0)

aN XN2+ bN XN + cN =f(xN)


3° condizione


Le derivate prime delle coppie di spline adiacenti devono essere uguali nei nodi:


2ai-1 Xi + bi-1=2ai Xi + bi    per i=2,..,n



4° condizione


La derivata seconda è nulla in corrispondenza del punto X0 cioè a1=0.

Otterremo la soluzione dell'interpolazione risolvendo il sistema un sistema lineare 3n*3n; una volta risolto il sistema, notaremo due aspetti negativi:

i primi due punti sono uniti da una retta e l'ultima spline tende verso l'alto. Per questo motivo le spline del secondo ordine non hanno molta importanza.

Spline del 2° Ordine



f(x)



2


x

0


Terzo Ordine:

- Le Curve spline del terzo ordine, dette anche cubiche naturali, sono quelle che più ci interesano, che collegano i nodi delimitanti ogni intervallo con una funzione polinomiale del terzo ordine del tipo:


fi(X)=aiX3+b1X2+ciX+di con Xi-1<=X<Xi


Come per le spline quadratiche il calcolo delle incognite richiede cinque condizioni; le condizioni 1, 2 e 3 che abbiamo visto nelle spline quadratiche devono essere soddisfatte anche in quelle cubiche e inoltre per le condizioni di raccordo le spline adiacenti nei punti comuni devono avere non solo la stessa tangente, ma anche la stessa curvatura, cioè le derivate seconda delle spline adiacenti devono essere uguali in corrispondenza dei nodi comuni. Infine imporremo le condizioni affinchè la Spline degli estremi sia una retta o sia una <<spline naturale>>.


Così le condizioni I°,II°,III°,IV°,V° in totale daranno:


2(n-1)+ 2 + (n-1) + (n-1) + 2= 4n


equazioni indipendenti sufficienti per determinare i 4n coefficienti degli n polinomi di terzo grado.

Il sistema lineare 4n*4n ha una e solo una soluzione e permette di ottenere le spline richieste.

Ma noi per ovviare questo problema seguiremo un altro procedimento, il quale richiede la soluzione di un sistema di solo n-1 equazioni.



f(x)

Spline Cubica

Polinomiale Cubica Interpolante




x

0



Nell'analisi numerica le funzioni Spline, oltre che nell' interpolazione,  sono anche usate nella risoluzione di problemi al limite per equazioni ordinarie o alle derivate parziali.







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