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Lo studio delle proprietà degli archi associati può tornare molto utile nella risoluzione di problemi, equazioni e uguaglianze in cui compaiono angoli complessi, al fine di semplificare i calcoli. Ciò non è altro che l'esprimere grandezze (sen, cos, tg, cotg, sec, cosec) relative ad angoli composti in funzione di angoli semplici.
Si prenda un angolo a, di qualsiasi ampiezza. Si calcolino, in funzione di a, le grandezze di angoli composti come, ad esempio, (90° - a a a) e così via.
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a |
sen (90°- a) = cos a
cos (90°- a) = sen a
tg (90°- a) = 
= 
= cotg a
cotg (90°- a) = 
= 
= tg a
a
a
= 
= cosec a
cosec (90°- a) = 
= 
= sec a
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a |
sen (180°- a) = sen a
cos (180°- a) = - cos a
tg (180°- a) = 
= 
= - tg a
cotg (180°- a) = 
= 
= - cotg a
a
a
= 
= - sec a
cosec (180°- a) = 
= 
= cosec a
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a |
sen (270°- a) = - cos a
cos (270°- a) = - sen a
tg (270°- a) = 
= 
= cotg a
cotg (270°- a) = 
= 
= tg a
a
a
= 
= - cosec a
cosec (270°- a) = 
= 
= - sec a
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a |
sen (360°- a) = - sen a
cos (360°- a) = cos a
tg (360°- a) = 
= 
= - tg a
cotg (360°- a) = 
= 
= - cotg a
a
a
= 
= sec a
cosec (360°- a) = 
= = - cosec a
Questi sono solo alcuni esempi; si può utilizzare lo stesso metodo anche per calcolare angoli come (90° + a a a). : è sufficiente disegnare in una circonferenza goniometrica i due angoli a e (x + a), scrivere le evidenti corrispondenze che vi sono tra seno e coseno dei due e di conseguenza calcolare anche le altre grandezze.
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