Posizioni di una Retta su un piano cartesiano - Sistema Lineare - Modello e finalità applicative

Il luogo geometrico è fondamentale per l'algebra. Infatti il luogo geometrico è l'insieme dei punti che hanno una stessa caratteristica. Prendiamo gli assi cartesiani: dalla definizione di luogo siamo partiti per trovare il modello matematico di una retta passante per il punto di ordinata h. La retta y=h è per definizione il luogo di tutti i punti che hanno ordinata uguale ad h.

Posizioni di una Retta su un piano cartesiano.

Le possibili posizioni di una retta sono sei. Per trovare i rispettivi modelli matematici siamo partiti dal concetto di luogo geometrico (come visto sopra). Infatti il luogo geometrico, per definizione, è un insieme di punti che hanno una stessa caratteristica in comune. Per esempio prendiamo l'asse delle x è y=0, ogni punto che prendiamo sull'asse delle ascisse, ha l'ordinata sempre zero. La retta delle ascisse, quindi, è il luogo dei punti del piano cartesiano che hanno ordinata nulla (0). La figura rappresenta le sei posizione di una retta nel piano cartesiano.

Sistema Lineare.

Un sistema lineare è formato da due equazioni in due incognite ed è di primo grado. Ha forma del tipo: . La soluzione è una coppia di numeri che soddisfa contemporaneamente le due equazioni; interpretando le due equazioni del sistema lineare come due rette del piano, la soluzione rappresenta l'eventuale punto di incontro tra le due rette. Infatti, due rette del piano possono anche non incontrarsi.

Esistono più metodi per risolvere un sistema.Il metodo più rapido è quello di Kramer. Questo metodo si riferisce all'interpretazione geometrica del sistema; infatti calcolando il determinante () si hanno vari casi:D>0 le rette sono incidenti (sistema determinato); D=0 le rette sono parallele(sistema impossibile); D<0 le rette sono coincidenti (sistema indeterminato). Anche analizzando le due equazioni ci possiamo accorgere d'alcune cose. Se il rapporto a/a' è diverso dal rapporto b/b' le due rette sono incidenti; con le due rette sono parallele; se i rapporti tra i coefficienti sono tutti uguali() allora le due rette sono coincidenti. Gli altri metodi di risoluzione dei sistemi lineari sono: riduzione, confronto e sostituzione; questi hanno in comune lo scopo di eliminare una variabile.

Modello e finalità applicative.

Una disequazione di 2° grado si può ricondurre ad una curva del 2° ordine, per l'esattezza ad una parabola. Infatti ponendo la disequazione come equazione di una parabola,, forse riesco ad ottenere alcune informazioni su questa disequazione. Metto successivamente l'equazione a sistema con l'equazione rappresentativa delle ascisse y
=0 , ed avrò una equazione di 2° grado in x che risolvo con la formula: . Trovate le due/una soluzione/i, le analizzo graficamente. (infatti potrà accadere che con non si hanno soluzione nel campo dei reali; con avremo due soluzioni reali e coincidenti; otterremo le due soluzioni reali e distinte). Vediamo per esempio la figura qui sotto. Ricordando che la parabola avrà concavità verso l'alto se a>0, concavità verso il basso se a<0. La figura riporta l'esempio di una parabola con a>0, e due 434i86e soluzioni reali e distinte. In questo caso avremo che la disequazione è verificata se era , mentre era verificata per se le disequazione di partenza era .

Circonferenza.

è l'equazione di una conica di 2° grado. La circonferenza è il luogo geometrico dei punti che è equidistante da un punto fissato detto centro. I coefficienti delle x², y² devono essere uguali, inoltre per dire che l'equazione di secondo grado in x e y rappresenti una circonferenza nel piano, deve mancare il termine misto. Altra condizione per risultare che l'equazione sia una circonferenza è che sia verificata la condizione di realtà del raggio: . La realtà del raggio deve essere maggiore di zero, infatti se è uguale a zero la circonferenza degenera in un punto e se è minore di zero la circonferenza è impossibile. C'è un equazione cartesiana che ci fornisce subito il raggio , dove sono le coordinate del centro. Per risalire alla formula abbiamo utilizzato il luogo geometrico. CP lo poniamo uguale al raggio quindi avrò elevando al quadrato che , quindi con e svolgendo i quadrati ho: . Ponendo , ottengo la formula vista in partenza. . Le coordinate del centro della circonferenza sono: .

Le Funzioni.

La funzione è una applicazione di due insiemi X e Y non vuoti. Essa è una relazione che ad ogni xiX fa corrispondere uno ed un solo yiY. L'insieme X è il dominio dell'applicazione, mentre l'insieme Y si chiama condominio o insieme delle immagini. Le funzioni possono essere algebriche e trascendenti. A sua volta le funzioni algebriche si dividono in: funzioni razionali intere, quando le operazioni su x siano addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni ed elevamento a potenza con esponente intero positivo; funzioni razionali fratte, quando in aggiunta vi è anche l'operazione di divisione; funzioni irrazionali, quando compaiono estrazioni di radice n-esima. Le funzioni trascendenti sono quelle che non sono algebriche; tra esse vi sono le funzioni goniometriche e loro inverse, le funzioni esponenziali e logaritmiche.

L'intorno di un numero.

Si chiama intorno completo di un numero reale c un qualsiasi intervallo al quale appartenga c come elemento interno. In generale per intorno completo di c si intende l'intervallo , con numeri positivi. Si definisce l'interno sinistro del numero reale c l'insieme di tutti i numeri di un intervallo aperto avente c com'esterno destro.

Il Limite di un numero: i 4 casi.

CASO 1.

. La scrittura, riportata di fianco, ha un significato ben preciso; la verifica della stessa richiede l'esame della disequazione in modulo ; che se soddisfatta per un intorno effettivo del punto c dell'insieme di esistenza della funzione in esame prova l'esattezza della scrittura di partenza.

CASO 2.

La scrittura ottenuta attraverso l'esame di un tabulato segue la disequazione in modulo , che se soddisfatta per un intorno effettivo del punto c in cui la funzione perde di significato trova l'esattezza della scrittura di partenza. Quindi se allora, se allora .

CASO 3.

Per si deve verificare che la disequazione in modulo ; sia soddisfatta solo da valori facenti parte dell'intorno completo dell'infinito.

CASO 4.

La scrittura ha senso di esser scritta quando la disequazione è verificata nell'intorno completo dell'infinito con M positivo e arbitrariamente grande.

Teoremi ed Operazioni sui Limiti.

Se una funzione f(x) ammette il limite finito l, allora la funzione -f(x) ammette il limite -l.

Se la funzione ha per limite l, la funzione f(x)-A ha per limite l-A.

Se, per x c, la funzione f(x) ammette un limite, questo è unico.

Se, per x c, la funzione f(x) tende al limite finito l diverso da zero, esiste un intorno di c per tutti i punti del quale, escluso al più c, i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite.

Se in un intorno del punto c, escluso al più x=c, la funzione f(x) è positiva o nulla ed ammette limite l per x c, allora lS

Se in un intorno del punto c, escluso al più x=c, la funzione f(x) è negativa o nulla ed ammette limite l per x c, allora lR

Se due funzioni g(x) e (x) tendono allo stesso limite l per x c ed una terza funzione f(x) è tale che, in un certo intorno di c, escluso al più c, si abbia g(x) Rf(x) R (x) allora è anche .

Se due funzioni f(x) e g(x) sono tali che |f(x)| R|g(x)| per tutti gli x di un intorno di C e se g(x) 0 per x c, allora anche f(x) 0 per x c.

Se f(x) e g(x) sono due funzioni che in un intorno ci c soddisfano la condizione |f(x)| S|g(x)|e se inoltre , allora risulta .

Se per x c la funzione f(x) tende al limite finito l, allora , ossia il limite del modulo di una funzione è il modulo del limite.

Il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei limiti. .

La differenza di due funzioni ha per limite la differenza dei limiti.

Il limite della somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti delle singole funzioni.

Il limite del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione. .

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni: .

Il limite della potenza, con esponente n intero positivo di una funzione che tende a un limite finito è la potenza n-esima del limite : .

Se, per x c, f(x) tende al limite finito l diverso da zero, la funzione inversa , , tende sempre per x c, al limite 1/l.

Quando la funzione f(x) tende a zero, la funzione tende all'infinito.

Quando la funzione f(x) tende all'infinito , la funzione tende allo zero.

Il limite del quoziente di due funzioni, la seconda delle quali tenda ad un limite finito diverso da zero, è uguale al quoziente dei limiti. .

Se f(x) tende al limite l ed è l>0, allora ; se lR0 vale solo se n è dispari.

Limiti Notevoli.

. Nella scrittura riportata di fianco va tolta ogni forma di indecisione del tipo oppure , e così via. Per fare ciò bisogna mettere in evidenza la x, al massimo grado, sia al numeratore che al denominatore. Applicando i vari teoremi visti in precedenza, avremo che la scrittura di partenza si riduce al semplice studio del limite: . Si avranno tre casi allora:

Con m>n ; mentre sarà uguale a se m-n è dispari, se m-n è pari.

Con m=n .

Con m<n

. Dalla trigonometria si ha che: , rapportato ai limiti si ha: . Siccome , con x=0, tutto si riduce a: .

Il rapporto tra il seno di un arco e l'arco stesso, espresso in radianti, tende ad 1, quando l'arco tende a zero, cioè .

, ha insieme di esistenza . Si dimostra che la funzione sopraindicata ha per limite, per un numero irrazionale trascendente che si suole indicare con la lettera e, quindi .

Forme Indeterminate.

I limiti di una somma, di un prodotto e di un quoziente, perdono validità quando il limite dato si presenta sotto una delle seguenti forme: . Queste si dicono forme indeterminate o di indecisione in quanto in questi casi, non si può dire subito se esiste il limite e quale ne sia il valore.

Disequazioni Irrazionali.

Quando l'indeterminata x appare sotto il segno di radice la disequazione dicesi irrazionale. Una disequazione di tal genere può essere ridotta a una delle seguenti formule dette canoniche , dove bisogna distinguere due casi fondamentali a seconda dell'indice del radicale n, a seconda che sia intero dispari o intero pari. Se n è un intero dispari la risoluzione non presenta nessuna difficoltà, non essendoci limitazioni all'esistenza di radicali per n dispari; basterà, dopo aver elevato a potenza ambo i membri per l'ennesima potenza, risolvere la disuguaglianza irrazionale che seguirà. Se invece n è un radicale pari bisognerà distinguere due casi:

I) . Questa disequazione irrazionale può essere risolta, mettendo a sistema le tre disequazioni: ; che derivano dalle seguenti considerazioni. Perché il radicale esista deve essere B(x) maggiore o uguale a zero, da cui segue che A(x) deve essere maggiore di zero. Con queste due posizioni diciamo che i due membri siano positivi. Imponendo che la potenza ennesima del primo membro sia maggiore della potenza del secondo concludiamo che deve essere maggiore di .

II) . In questo caso la soluzione è data dall'unione dell'insieme soluzione dato dai due sistemi: . Nel 1° sistema la prima disequazione esprime la realtà del radicale, la seconda esprime la condizione che la disequazione data è verificata per A(x)<0;nel secondo sistema la prima disequazione esprime il fatto che è anche verificata per valori non negativi di A(x) a condizione che sia verificata la disequazione razionale ottenuta elevando i due membri a potenza.

Funzioni Goniometriche.

Definiamo cosa è una circonferenza goniometrica: è una circonferenza avente per raggio l'unità di misura e avente il centro nell'origine degli assi (quindi OA=1). Le coordinate del punto P sono: .

Definiamo allora cosa sono il coseno e il seno di un angolo. Il seno di una angolo è l'ordinata dell'estremo dell'arco corrispondente nella circonferenza goniometrica. Il coseno è l'ascissa dell'estremo dell'arco corrispondente nella circonferenza goniometrica. Studiamo ora le due funzioni separatamente.

Il seno. La funzione seno è una funzione periodica limitata continua. Limitata perché il seno è compreso tra -1 e 1. . Periodica perché dopo il periodo principale (2 oppure 360°) i valori della funzione si ripetono; quindi siamo autorizzati a scrivere . Inoltre è simmetrica rispetto all'origine (funzione dispari). La figura riportata di fianco rappresenta il seno. Il coseno. La funzione coseno anch'essa ha le stesse caratteristiche del seno, quindi possiamo scrivere . L'unica differenza sta nel fatto che la funzione coseno è simmetrica rispetto all'asse y (funzione pari). La figura riportata di fianco rappresenta il coseno. La tangente. La tangente di un arco circolare è l'ordinata del punto d'incontro della tangente geometrica, condotta nell'origine dell'arco alla circonferenza a cui esso appartiene, col prolungamento del raggio passante . Possiamo osservare che dopo (180°) si ripropongono gli stessi valori; quindi il periodo della tangente, anch'essa funzione periodica, è . Si può dire che . La funzione tangente è simmetrica rispetto all'origine (funzione dispari). Esistono alcune relazioni fondamentali tra le tre funzioni trigonometriche. Per il criterio di similitudine dei triangoli ottengo: AT : CB = 1 : OC , e cioè . Per il teorema di Pitagora inoltre si ottiene: OB²= OC² + BC², tradotto in funzioni trigonometriche: .

Angoli Funzioni
Seno
Coseno
Tangente

Archi Associati.

Gli archi associati sono quegli archi che hanno uguali in valore assoluto le funzioni goniometriche, per la proprietà degli angoli tra una retta che interseca due rette parallele. (vedi esempio).

Per il punto P sulla figura è:

P	P'	P''	P'''
cos a	cos (180° - a) = - cos a	cos (180° + a) = - cos a	cos ( 360° - a) = cos a
sin a	sin (180° - a) = sin a	sin (180° + a) = - sin a	sin ( 360° - a) = - sin a

Per il punto Q sulla figura è:

Q	Q'	Q''	Q'''
sin (90° - a) = cos a	sin (90° + a) = cos a	cos (270° - a) = - cos a	cos (270° + a) = sin a
cos (90° - a) = sin a	cos (90° + a) = - sin a	sin (270° - a) = - sin a	sin (270° + a) = cos a

Formule goniometriche.

Ci sorge il problema sul come trovare il valore di seno e coseno di una somma e differenza di un arco. Riportandoci alla figura soprastante. Allora introduciamo le formule di somma e differenza di due archi noti. . Si vuole trovare la distanza AB e poi quella MN. , . Ponendo le due misure uguali, ed elevando tutto al quadrato in modo di eliminare le radici; in seguito svolgo i quadrati, mi rimane così la FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO: . Sostituendo b con -b si ha: , che è la FORMULA DI ADDIZIONE DEL COSENO. da queste ottengo tutte le altre formule relative al seno e alla tangente.

Esistono poi altre formule fondamentali per le risoluzioni di problemi goniometrici. .

Funzione Esponenziale e Logaritmica.

La funzione esponenziale è un esempio di funzione trascendente, ed ha forma del tipo: . Per aver senso di parlare di equazione esponenziale bisogna puntualizzare due cose: che a>0 e a 1. Per cui avrò che la base deve essere: . Nel primo caso la curva sarà asintotica quando la x diminuisce, mentre nel secondo caso sarà asintotica quando la x aumenta. Il dominio della funzione sarà: e il condominio .

L'equazione ammette una sola soluzione sempre che a e q siano positivi e a diverso 1. il numero x che soddisfi l'equazione esponenziale si dice logaritmo del numero q, in base a e scrive: . Quindi possiamo dire che il logaritmo di un numero (positivo), in una base (positiva, diversa da 1), è l'esponente che bisogna dare alla base per ottenere il numero dato. Ci sono due casi particolari del logaritmo: .

Risoluzione approssimata d'equazioni trascendenti ed algebriche.

Per risolvere una equazione, sia algebrica che trascendente, bisogna averla nella forma f(x)=0 oppure x=g(x); questo non è limitativo perché ci si può ricondurre ad una di queste forme. La risoluzione approssimata viene usata qualora ci troviamo di fronte ad equazioni algebriche e trascendenti non facili: cioè equazioni algebriche con grado superiore al 2° grado non riconducibili a un prodotto di polinomi di 1° e 2° grado, mentre quando dobbiamo risolvere equazioni trascendenti non riconducibili ad equazioni semplici (equazioni esponenziali: dove non si possono applicare i teoremi sulle potenze e sui logaritmi, oppure usare una variabile di appoggio; equazioni logaritmiche; equazioni goniometriche). La risoluzione approssimata si compone di due fasi distinte:

q Separazione delle radici, cioè il calcolo dell'intervallo in cui cade sicuramente una e una sola radice.

q Calcolo vero e proprio delle radici, applicando uno dei metodi studiati (tangenti, corde e punto medio).

Analizziamo più in specifico le due fasi. Il problema della separazione delle radici reali si può risolvere procedendo con il metodo grafico. Data l'equazione f(x)=0 si considera la funzione come equazione soluzione del sistema formato da . Quindi si passa a fare il grafico orientativo della funzione e se il grafico è rappresentato bene si possono separare bene le radici, e quindi trovare gli intervalli in cui cade una e una sola radice. Si può procedere con un altro metodo, qualora la ha un grafico difficile da tracciare, che consiste nello scomporre la in modo opportuno, in modo tale che sia facile da ricavare l'intervallo in cui cade una e una sola radice.

Che cos'è un'equazione differenziale? E perché le abbiamo introdotte?

Un'equazione differenziale è una relazione che lega una variabile indipendente, una variabile dipendente e le sue derivate d'ordine n. è un'equazione differenziale del primo grado perché il grado massimo della derivata presente nell'equazione è uno. Le abbiamo introdotte e quindi imparate a risolvere perché spesso in problemi fisici, elettronici; possiamo incontrare equazioni in cui compaiono le variabili e così via. Risolvere un'equazione differenziale significa trovare la funzione che, con le derivate (dipendenti dall'ordine dell'equazione differenziale), per ogni x soddisfi l'equazione data. Fondamentale dal punto di vista fisico è saper risolvere un problema di Cauchy. Un problema di Cauchy è formato da un'equazione differenziale d'ordine n e da n condizioni iniziali; risolverlo significa prima di tutto trovare l'integrale generale dell'equazione differenziale e poi a quest'ultimo applicare le condizioni iniziali in modo tale da avere una soluzione particolare dell'equazione differenziale di partenza.

Esiste una formula di risoluzione dell'equazione differenziale?

No, non esiste. L'unica formula, che conosciamo, risolutiva d'equazioni è quella per le equazioni di 2° grado. Per le equazioni differenziali dobbiamo fare una casistica, secondo l'ordine e del tipo, in cui racchiuderemo i casi che incontreremo più di frequente. Vediamo alcuni esempi di tipi d'equazioni differenziali:

Come si risolve un'equazione differenziale lineare non omogenea?

Si risolve in due parti:

A. Si determina la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare omogenea corrispondente, che si risolve riportandola ad un'equazione differenziale a variabili separate o separabili.

B. Si procede attraverso l'applicazione del metodo di Lagrange. Cioè si pensa la costante c della soluzione dell'equazione differenziale omogenea come variabile della x. Quindi si applica il concetto di funzione soluzione e si sostituisce nell'equazione differenziale di partenza. Avremo un'equazione in, integrando poi, e sostituendo la ottenuta nella soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata, avremo la soluzione dell'equazione differenziale di partenza.

Che cosa sono gli integrali impropri?

Come sappiamo un integrale definito è valido solo quando l'intervallo è chiuso e limitato; e la funzione deve essere continua nell'intervallo. Quando non sussistono queste due condizioni o almeno una non possiamo risolvere un integrale definito di una funzione . Bisogna allora introdurre il concetto d'integrale improprio, che sono distinti dal tipo di condizione non verificata:1° Tipo: intervallo non limitato;

2° Tipo: funzione non continua.

Vediamo il 1° Tipo. Si ha questo tipo quando siamo nella situazione oppure . Bisogna quindi limitare l'intervallo d'integrazione, con l'introduzione di nuovi intervallioppure , e con l'aiuto dell'operatore limite. L'integrale diventerà .

Per il secondo tipo di problemi si usa anche qui l'operatore limite. Ad esempio: ; sappiamo che il logaritmo a zero non ha senso di esser posto. E quindi lavoriamo nell'intorno destro di zero. L'integrale di partenza si ricondurrà al seguente calcolo: .

Come si risolve un'equazione differenziale lineare non omogenea del 2° ordine?

Un'equazione differenziale del 2° ordine lineare non omogenea si risolve con un procedimento che ci porterà ad una soluzione del tipo . O meglio , ove z è la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata, e è la soluzione particolare dell'equazione completa. La soluzione può essere trovata con il metodo di Lagrange, che però risulta molto complesso a causa della presenza di due costanti. Quindi la risoluzione anche qui prevede lo sviluppo di due fasi: nel calcolo della z sono molto importanti due teoremi che ci dicono che se una funzione è soluzione dell'equazione differenziale allora anche è soluzione; inoltre se e sono soluzioni dell'equazioni differenziali allora anche sarà soluzione. Attraverso la combinazione di questi due teoremi possiamo dire che con soluzioni dell'equazione differenziale e linearmente indipendenti (il loro rapporto diverso da una costante) la z sarà uguale a . Diventa quindi molto importante la ricerca di e per tale motivo ricerco tali funzioni nell'infinità . Applico il concetto di funzione soluzione, calcolo la derivata prima e la derivata seconda, e mi accorgo che una funzione sarà soluzione solo quando è soddisfatta l'equazione , in cui p e q sono gli stessi coefficienti dell'equazione differenziale data. A seconda del tipo di (le soluzioni) avrò un diverso tipo di . E vediamo in particolare:

Per il calcolo di invece va fatto un attento esame della funzione al secondo membro:

a) Polinomio di grado n

allora

d) , allora

Funzioni in due variabili.

Una funzione in due variabili reali è una legge, f, di natura qualsiasi, che permetta di associare, ad ogni coppia di numeri reali, appartenenti ad un dominio D, sottoinsieme di, un numero reale z. di una funzione in due variabili non si può dare un grafico, ma si può fare solo uno studio. Per approfondire lo studio si devono seguire i seguenti passi:

Si individua il legame tra le variabili.

Si ricerca il dominio: spesso tale operazione può portare alla risoluzione di equazione, disequazioni oppure di sistemi. Si traccia il dominio su una coppia di assi cartesiani; associando alle equazioni, disequazioni il modello algebrico rappresentativo. Disegnando la funzione e scegliendo attraverso il punto indagine la porzione di piano in cui è valido o verificato il legame.

Calcolo il limite doppio o superficiale: si utilizza il metodo di far tendere il punto P al punto lungo una qualsiasi direzione del piano; si dimostra che il esiste se tale limite non dipende dal modo in cui si tende a ; altrimenti non esiste.

Si calcolano le derivate parziali;

Calcolo di eventuali punti di massimo e minimo: e si trovano .

Si calcola l'essiano: e si ottengono le seguenti informazioni a secondo del valore dell'essiano: ; ; ;.

Teorema di Rolle.

Sia una funzione continua nell'intervallo chiuso e derivabile in ; se essa assume agli estremi a e b dell'intervallo valori uguali allora esiste almeno un punto c all'interno all'intervallo nel quale la derivata della funzione è nulla.

Teorema di Cauchy.

Siano date due funzioni e entrambe continue nell'intervallo chiuso e derivabile in ; inoltre la funzione ammette derivata diversa da zero in tutti i punti dell'intervallo ; esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, nel quale si verifica che .

Teorema di Lagrange o del valor medio.

Sia data una funzione continua nell'intervallo e derivabile in ; esiste allora almeno un punto c, interno all'intervallo, nel quale si verifica che :

Il teorema di Lagrange dal punto di vista geometrico si può interpretare così: "Si consideri il grafico della funzione , sia l'arco AB quello compreso tra a e b. Si conduca la corda AB; possiamo pensare che sull'arco AB esiste almeno un punto P nel quale la tangente sia parallela alla corda AB.

Teorema di De L'Hopital.

Il limite del rapporto di due funzioni, che si presenta sotto la forma inderminata , è uguale al limite del rapporto delle loro derivate. Si può dimostrare che la regola di De L'Hopital si può applicare anche per la forma indeterminata . Quindi si trova: .

Studio di una funzione.

Avendo una funzione y=f(x), per studiare la funzione devo seguire il seguente algoritmo:

Riconoscere il tipo di funzione;

v Trovare il dominio d'esistenza della funzione;

Trovare le eventuali intersezioni con gli assi;

v Cercare la variabilità della funzione;Riportare i dati ottenuti sugli assi cartesiani per tracciare un grafico orientativo della funzione.

Teorema d'esistenza della radice.

Se la funzione è continua nell'intervallo chiuso , e se risulta allora l'equazione ha almeno una radice all'interno di tale intervallo.

Teoremi d'unicità della soluzione.

1° Teorema: Sia una funzione derivabile e continua nell'intervallo chiuso . Sia e la diversa da zero nell'intervallo allora esiste una soluzione all'interno dell'intervallo.

2° Teorema: Sia una funzione derivabile e continua nell'intervallo chiuso e derivabile almeno due volte. Sia e la sempre positiva o sempre negativa allora esiste una soluzione all'interno dell'intervallo.

Che cosa è una serie?

Data una successione di numeri è possibile dare un significato alla scrittura che si può chiamare serie numerica. Come è ben noto la somma d'infiniti termini rappresenta un'espressione priva di significato e quindi è necessaria un'apposita definizione. Per questo si utilizza l'algoritmo limite: si incomincia a sommare i termini uno ad uno , ,, ., . Queste si chiameranno le ridotte della serie o somme parziali e formeranno una successione detta appunto successione delle somme parziali associata alla serie. Il termine è detto somma parziale n-esima di indice n. Passando al limite . Questo limite avrà tre casi distinti:

Se esiste il limite ed è finito; e affermeremo che la serie è convergente ed ha per somma s;

Se il limite è infinito affermeremo che la serie è divergente;

Se il limite non esiste sosterremo che la serie è indeterminata.

L'importante per una serie è stabilirne il carattere, e per fare ciò si confronta con le serie principali, di cui conosciamo sia le caratteristiche sia il carattere, oppure con i criteri di confronto. I criteri del confronto sono diversi a secondo del tipo di serie che ci troviamo di fronte: le serie si dividono in quelle a termini di segno costante (a sua volta in quelle di segno positivo e in quelle di segno negativo) e in quelle di segno alterno(anche qui ci sono quelle di segno alterno e quelle di segno qualunque). Vediamo alcune serie fondamentali.

Serie di Mengoli.

La serie ha come termine generale . Si ha , il termine generale può anche essere scritto come , quindi la somma diventa. Riducendo si ottiene , calcolando il limite . Potremo concludere che la serie di Mengoli è convergente ed ha per somma il valore 1.

Serie geometrica.

. La caratteristica della serie geometrica sta nel fatto che tra un termine e il suo precedente il loro rapporto vale sempre q. A secondo del valore di q la serie avrà diversi comportamenti. Con la serie converge ed ha per somma il valore uno. allora si ottiene . Mentre con la serie diverge, e con la serie diventa indeterminata. Nel caso in cui e ci sono termini che non fanno parte della serie geometrica, ad esempio , la somma per diventa .

Serie Armonica.

. La serie armonica è formata dai reciproci dei numeri naturali. La serie armonica è sempre divergente, anche se la condizione necessaria per la convergenza di una serie è rispettata: è un infinitesimo per .

Serie Armonica Generalizzata.

Tale serie risulta divergente per e convergente per . Questo ci è stato permesso grazie al criterio integrale che ci ha permesso di individuare la discussione sulla convergenza. Sapendo che la serie è la serie armonica, che sappiamo essere sempre divergente, consideriamo , per e ,continua e decrescente, tale che . Possiamo applicare il criterio integrale: . Se allora se invece allora . Quindi giungiamo alla conclusione che per la funzione è finita e la serie converge; la funzioneè infinita e la serie diverge.

Osserviamo ora i criteri di confronto delle serie a termini positivi.

1° Criterio Del Confronto.

Date due serie di termini positivi , sia per e .

Se la serie maggiorante è convergente allora anche la serie è convergente.

Se la serie minorante è divergente, allora anche l'altra serie è divergente.

2° Criterio Del Confronto.

Date due serie di termini positivi , si supponga che esista il limite .

Se la serie è convergente ed il limite è finito () allora anche la serie è convergente.

Se la serie è divergente e il limite l è non nullo allora anche l'altra serie è divergente.

Criterio Del Confronto O Di D'Alambert.

Data la serie a termini positivi e se esiste finito il limite allora:

La serie converge per ;

La serie diverge per ;

Se il limite vale il criterio di D'Alambert non fornisce alcun'indicazione sul carattere della serie.

Criterio Della Radice O Di Cauchy.

Data la serie a termini positivi se esiste finito il limite allora si ha:

la serie converge per ;

la serie diverge per ;

se il limite vale il criterio di Cauchy non fornisce alcuna indicazione sul carattere della serie.

I teoremi descritti sopra possono essere applicati alle serie a termini di segno negativo. Per stabilire il carattere di una serie di segno alterno si usa il criterio di Leibniz che dice:

"Se i termini di una serie di segno alterno sono decrescenti in valore assoluto (), e il termine generale è un infinitesimo per , allora la serie convergente ed ha per somma s, che è positiva ed è minore del primo termine ."

Per una serie a termini di segno qualunque si usa stabilire il carattere con il seguente teorema:

"Data una serie di segno qualunque si dice assolutamente convergente quando la serie formata dai valori assoluti dei suoi termini è convergente."

Le serie di funzioni.

Per le serie di funzioni possono essere ripetute le considerazioni dette in precedenza per le serie numeriche, quindi: , diremo che la serie è convergente nel punto , se risulta la serie numerica formata dai valori delle funzioni della serie, per , è convergente. Lo studio di una serie di funzioni comporta lo svolgimento di un preciso algoritmo:

stabilire se la serie converge o meno;

individuare il dominio di convergenza;

stabilire se si tratta di semplice o uniforme convergenza;

determinare se possibile la somma della serie.

Il punto 1 si risolve utilizzando i criteri usati per stabilire il carattere di una serie numerica: 1° e 2° criterio del confronto, D'Alambert, Cauchy. Nel punto 2 si procede calcolando il dominio di convergenza ovvero l'insieme di tutti quei valori in cui la serie è convergente. Per stabilire se una serie di funzioni converge semplicemente oppure converge uniformemente bisognerà ricorrere a particolari criteri. È importante che una serie di funzioni sia uniformemente convergente perché solo in questo caso è possibile applicare i teoremi del limite, di continuità, di integrazione, di derivazione. Bisognerà quindi distinguere cosa si intende per convergenza puntuale e convergenza uniforme.

Convergenza Puntuale.

Considerando la serie di funzioni e sia definita in D. Al variare della x si avrà una serie numerica convergente, ciascuna della quale avrà per somma una diversa funzione . Diremo che la serie converge in D ed ha per somma quando fissato un generico ed un arbitrario numero reale , è possibile determinare un indice , dipendente da e da x tale che per ogni si abbia: .

Convergenza Uniforme.

La convergenza uniforme si ha quando: è possibile determinare un indice , che dipende solo da , tale che per ogni si abbia: . Per stabilire se si tratta di convergenza uniforme ci aiutano due teoremi:

Teorema Di Weierstrass.

Sia data una serie di funzioni ed una serie numerica, a termini positivi, convergente, . Se per tutti gli x di un certo insieme risulta allora la serie è uniformemente convergente.

Teorema Di Cauchy.

Sia data una serie di funzioni , il cui termine generale possa essere scritto nella forma ; se è una funzione limitata in un insieme E, e se la serie è uniformemente convergente in E, allora anche la serie data è uniformemente convergente.

Quali sono i teoremi applicabili ad una serie uniformemente convergente?

Continuità Della Somma D'Una Serie.

Sia una serie di funzioni uniformemente convergente, in un intervallo E, verso la funzione . Se, per ogni n, le funzioni sono continue in E, allora anche la funzione somma è continua in E.

Integrazione Per Serie.

Sia data una serie di funzioni continue, uniformemente convergente nell'intervallo verso la funzione . Allora si ha ovvero .

Derivazione Per Serie.

Sia data la serie di funzioni convergente in verso la funzione : . Le funzioni siano, per ogni n, derivabile e dotate di derivata continua nell'intervallo di convergenza; la serie derivata sia uniformemente convergente in , allora la funzione risulta derivabile.

Le trasformate di Laplace.

La trasformata di Laplace è un operatore funzionale, molto importante per la risoluzione di particolari problemi scientifici e tecnici. Le trasformate vengono utilizzate per la risoluzione particolare di alcuni integrali impropri. La trasformata è definita come: . Per applicare ad una f(x) la trasformata di Laplace bisogna che vengano rispettate le seguenti condizioni:

continua nell'intervallo e integrabile nell'integrale con ;

La x sia una variabile di tipo reale;

La p sia, anch'essa una variabile di tipo reale.

La variabile p può essere interpretata, per il fisico e per l'elettronico, come una variabile complessa nello studio di sistemi con ingresso periodico.

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