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NUMERI NATURALI
Simbolo: N
Rappresentazione su semiretta orientata
L'insieme dei numeri naturali è un insieme:
ordinato
discreto
LE QUATTRO OPERAZIONI
I simboli usato per le operazioni ( + , - , x , : ) si chiamano operatori.
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OPERAZIONE |
1° OPERANDO |
2° OPERANDO |
RISULTATO |
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Addizione |
Addendo |
Addendo |
Somma |
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Sottrazione |
Minuendo |
Sottraendo |
Differenza |
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Moltiplicazione |
Fattore |
Fattore |
Prodotto |
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Divisione |
Dividendo |
Divisore |
Quoziente |
Addizione e moltiplicazione sono operazioni interne in
La differenza fra due numeri è quel nume 656h74g ro che, addizionato al sottraendo, da come somma il minuendo.
Esempio. 5 - 3 = 2 , perché 2 + 3 = 5
Il quoziente fra due numeri è quel nume 656h74g ro che, moltiplicato per il divisore, da come prodotto il dividendo. Quindi, perché la divisione abbia senso il divisore deve essere sempre diverso da 0.
Esempio. 18 : 3 = 6 , perché 6 x 3 = 18
Divisione non esatta = divisione con il resto.
Divisione esatta = divisione senza resto.
Il numero 0
elemento neutro dell'addizione. Esempio. 8 + 0 = 0 + 8 = 8
elemento assorbente della moltiplicazione. Esempio. 7 x 0 = 0 x 7 = 0 5 x 4 x 0 x 200 = 0
Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori.
6 : 0 = impossibile (non esiste alcun numero che moltiplicato per 0 dia 6)
0 : 0 = indeterminata (tutti i numeri moltiplicati per 0 daranno sempre 0)
Il numero 1
elemento neutro della moltiplicazione. Esempio. 16 : 1 = 16 perché 16 x 1 = 16
I MULTIPLI E I DIVISORI
Un numero naturale è multiplo di un altro se la divisione del primo per il secondo da come resto 0.
Un numero naturale diverso da 0 è divisore di un altro numero naturale se la divisione fra quest'ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione da come resto 0.
Esempio. 6 è divisore di 18, perché 18 : 6 = 3 con resto 0;
7 non è divisore di 18, perché 18 : 7 = 2 con resto 4.
Mentre i multipli di un numero sono infiniti, i suoi divisori sono un numero finito.
Esempio. I divisori di 40 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Criteri di divisibilità
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UN NUMERO è DIVISIBILE PER |
QUANDO |
ESEMPIO |
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L'ultima cifra è pari. |
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L'ultima cifra è 0 o 5. |
; 31006 |
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4 e 25 |
Il numero formato dalle ultime due cifre a destra lo è oppure queste cifre sono 00. |
; 3105 |
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La somma delle cifre è divisibile per 3. |
(7+4+3+9+1=24=3x8) |
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La somma delle cifre è divisibile per 9. |
(6+5+6+8+2=27=9x3) |
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Sommando le cifre di posto dispari e poi quelle di posto pari, la differenza fra il risultato maggiore e quello minore è 11 oppure un multiplo di 11. |
24 - 2 = 22 = 11 x 2 |
LE POTENZE
2 è la base
3 è l'esponente
Se l'esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall'esponente, tutti uguali alla base.
A0 = 1
A1 = A
00 = non ha significato
LE ESPRESSIONI CON I NUMERI NATURALI
Semplificare un'espressione significa sostituirla con una più semplice che abbia lo stesso valore.
Ordine delle operazioni
addizioni e sottrazioni
moltiplicazioni e divisioni
Ordine delle parentesi
tonde
quadre
graffe
LE PROPRIETA' DELLE OPERAZIONI
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OPERAZIONE |
PROPRIETà |
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Addizione |
Commutativa a + b = b + a Associativa (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c |
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Sottrazione |
Invariantiva a - b = (a ± c) - (b ± c) |
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Moltiplicazione |
Commutativa a x b = b x a Associativa (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c Distributiva rispetto all'addizione a x (b + c) = a x b + a x c |
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Divisione |
Invariantiva a : b = (a : c) : (b : c) = (a x c) : (b x c) Distributiva rispetto all'addizione (a + b) : c = a : c + b : c |
LE PROPRIETà DELLE POTENZE
Prima proprietà delle potenze
Il prodotto di potenze di uguale base è una potenza con la stessa base avente come esponente la somma degli esponenti.
Esempio. 42 x 43 = 42+3 = 45
Seconda proprietà delle potenze
Il quoziente di potenze di uguale base (con l'esponente della seconda minore o uguale all'esponente della prima e con la base diversa da 0) è una potenza con la stessa base che ha come esponente la differenza degli esponenti.
Esempio. 47 : 43 = 47 - 3 = 44
Terza proprietà delle potenze
La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Esempio. (4²)³ = 42x3 = 46
Quarta proprietà delle potenze
Il prodotto di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Esempio. 4² x 6² = (4 x 6)²
Quinta proprietà delle potenze
Il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Esempio. 12³ : 4³ = (12 : 4)³
Si dicono primi i numeri naturali, diversi da 0 e da 1, che hanno come divisori soltanto 1 e se stessi.
Esempio. 2, 3, 5, 7, 11, etc.
Quando un numero non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi (fattorizzazione)
Esempio. 12 = 22 x 3
IL MASSIMO COMUNE DIVISORE E IL MINIMO COMUNE MULTIPLO
M.C.D. = il massimo comune divisore di due o più numeri naturali, diversi da zero, è il più grande fra i divisori comuni.
m. c. m. = il minimo comune multiplo di due o più numeri naturali, diversi da zero, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.
Esempio.
40 = 23 x 5
30 = 2 x 3 x 5
MCD = 2 x 5
Mcm = 23 x 3 x 5
I SISTEMI DI NUMERAZIONE
Il nostro sistema di numerazione è:
a base decimale ( vengono utilizzate 10 cifre diverse: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0)
posizionale
ogni numero può essere scritto in forma polinomiale, come somma di prodotti costituiti da un numero di una cifra e una potenza di 10.
Esempio.
= 4000 + 600 + 30 + 7 = 4 x 10³ + 6 x 10² + 3 x 101 + 7 x 100.
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