Matrici - teoria

matematica

Matrici

-teoria-

Detti m ed n due numeri interi positivi e considerati numeri reali, si chiama matrice di tipo (m;n) l'insieme degli numeri considerati, disposti ordinatamente su m righe ed n colonne.

A=

Se m=n la matrice si chiama quadrata.

Una matrice si chiama ma 525f51f trice riga o vettore riga se è formata da una sola riga; ha un ordine (1;n)

Una matrice si chiama ma 525f51f trice colonna o vettore colonna se è formata da una sola colonna; (m;1)

Una matrice si dice nulla o zero se ha gli elementi tutti pari a zero

Due matrici dello stesso tipo sono uguali (A=B) se hanno uguali tutti gli elementi corrispondenti.

Data la matrice A, la matrice opposta di A (-A) sarà la matrice dello stesso tipo di A i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di A

Data la matrice A di tipo (m;n), si definisce trasposta di A () la matrice che si ottiene da A scambiando le righe e le colonne; di ordine quindi (n;m)

Matrici quadrate

Prende il nome di diagonale principale l'insieme degli elementi che hanno i due indici uguali.

Prende il nome di diagonale secondaria l'insieme degli elementi che hanno indice pari a n+1

Una matrice si dice diagonale se ha tutti gli elementi nulli tranne quelli sulla diagonale principale

Una matrice si dice triangolare superiore se ha tutti gli elementi nulli tranne quelli al di sopra della diagonale principale

Una matrice si dice triangolare inferiore se ha tutti gli elementi nulli tranne quelli al di sotto della diagonale principale

Una matrice si chiama unità se è diagonale e i cui elementi sulla diagonale principale sono tutti pari a 1

Data la matrice A, la matrice inversa di A è anch'essa quadrata, (se esiste è unica) e tale che

Determinanti

Il minore complementare di un elemento della matrice è il determinante della sottomatrice che si ottiene cancellando la riga e la colonna alle quali l'elemento appartiene

Il complemento algebrico si un elemento è il minore complementare dell'elemento stesso seguito dal segno + se la somma degli indici dell'elemento è pari, dal segno - se è dispari.

Il determinante di una matrice di terzo ordine è la somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi, per i rispettivi complementi algebrici.

Proprietà dei determinanti:

1. Se tutti gli elementi di una linea sono nulli, il determinante è zero
2. Il determinante della matrice unità è 1
3. Moltiplicando tutti gli elementi di una linea per uno scalare, il determinante della matrice viene moltiplicato per lo scalare stesso
4. Se una matrice ha due linee uguali o proporzionali, il suo determinante è zero
5. Se si scambiano fra loro due righe o due colonne di una matrice, il determinante cambia segno
6. Se agli elementi di una linea si sommano gli elementi di un'altra linea a essa parallela, tutti moltiplicati per uno stesso numero, il determinante non cambia
7. Se una linea è combinazione lineare di due o più altre linee a essa parallele, il determinante è nullo

Concetto di Rango di una matrice (m;n)

Il rango di una matrice A è il massimo ordine dei minori non nulli.

Il minore è il determinante della sottomatrice ottenuta da A individuata da p righe e q colonne