i modelli discreti e continui

I modelli discreti e continui da noi studiati comprendono :

MODELLO UNIFORME;

MODELLO BERNOULLIANO

MODELLO GEOMETRICO;

MODELLO POISSONIANO.

MODELLO GAUSSIANO.

modello uniforme

Si definisce variabile casuale con distribuzione uniforme la variabile casuale che assume i valori :

1, 2, 3,.., n

con probabilità:

p₁, p₂, p₃,. ., p_n

essendo:

p₁=p₂=p₃=p_n=1/n

Come si vede tutte le probabilità sono uguali ed è proprio per questo motivo che si parla di variabile casuale con distribuzione uniforme.

Evidentemente, si ha:

p₁+p₂+p₃+..+p_n = n*(1/n)=1

Graficamente la distribuzione uniforme è rappresentata :

Determinazione del valor medio

Si ha:

M(X)=1*1+2*1+3*1+.. +n*1= 1*(1+2+3+..+n)

n n n n n

Osserviamo quindi che:

1+2+3+.+n=1+n*n

2

in quanto si tratta della somma di n termini in progressione aritmetica di primo termine e ragione uguale a 1 (somma dei primi n numeri naturali), sostituendo si ottiene:

M(X)=1*1+n*n=1+n

n 2 2

Determinazione della varianza

Essendo:

var(X) = M(X²) - [M(X)]²

si ha:

var(X)= (n+1)(2n+1) - (1+n)²

6 2

Sviluppando, si ottiene:

var(X)= 2n²+3n+1 - 1+2n+n^{2 =}4n²+6n+2-3-6n-3n²

6 4 12

cioè:

var(X) = n²-1

12

Riassumendo:

X_i ≥

i=(1, 2, 3,.,n)

P(X_i)=1/n

P_i=1

M(X)=(n+1)/2

var(X)=(n²-1)/12

σ(X)= √ (n²-1)/12

modello bernoulliano

Probabilità che un evento ripetibile si verifichi k volte su n prove

Consideriamo un evento E ripetibile e supponiamo di fare con esso n prove, tutte nelle stesse condizioni. Indichiamo quindi con:

'p ' la probabilità che in una prova si verifichi E;

'q '= 1- p la probabilità che in una prova si verifichi E, cioè non si verifichi E.

La probabilità che indichiamo con p_n,k è:

P_n,k= n *p^k *q^n-k

k

Graficamente è rappresentata con funzione di distribuzione:

Riassumendo:

X_i>0

P(k)= n *p^k *q^n-k con k ≤ n (p+q)ⁿ=1ⁿ=1

k

P(k)=1

M(k)=np

Var(k)=npq

σ(k)= √var(k)= √npq

modello Geometrico

Consideriamo la variabile casuale X che assume tutti i valori interi da O a + ∞, cioè:

0 1 2 .. k ..

con probabilità rispettivamente uguali a:

p    pq pq^{2 .. pqk..}

essendo:

p=1-q    e 0<q<1

Le probabilità considerate sono variabili in progressione geometrica di primo termine p (probabilità che la variabile casuale assuma il valore zero) e ragione q: proprio per questo motivo si parla di variabile casuale con distribuzione geometrica.

Determinazione del valor medio

M(X)= Σk*Pk

M(X)=0pq⁰+ 1pq+ 2pq²+ 3pq³+ ..+npqⁿ=

=p[0+q+2q²+3q³+..+nqⁿ]=

=p* q =p* q=q

(1-q)² p² p

Determinazione della varianza

var(X)= Σk ²*P(k) - [Σkp(k)]²

var(X)= q / (1-q)²

Funzione di distribuzione è decrescente ed è un grafico a bastoni:

Funzione di ripartizione:

Riassumendo:

Σp(k)=1

P(k)=p q^k

M(X)=q/p

var(X)=q/ (1-q)²

σ(X)= √q/ (1-q)

modello poissoniano

Consideriamo la variabile casuale X che assume i valori interi da O a + ∞, cioè:

O 1 2 .. k ..

e sia:

p_k=e^- * λ^k

k!

la probabilità che essa assuma un generico valore k, dove è una costante positiva ed e=2,71828 è il valore approssimato della base dei logaritmi neperiani. Si parla in questo caso di variabile casuale con distribuzione di Poisson.

I valori di e^- sono tabulati in corrispondenza di certi valori di

Caratteristica di una variabile casuale con distribuzione poissoniana è di avere valor medio e varianza uguali. Precisamente si ha:

M(X)=var(X)=

Riassumendo:

p_k=e^- * λ^k

k!

Σp(k)=1

M(k)=var(k)=

σ(k)= √

modello gaussiano

La distribuzione di Gauss è una variabile casuale continua che assume qualsiasi valore x compreso fra -∞ e +∞ e la cui funzione di densità, che indichiamo con il simbolo p(x), è definita come segue:

p(x)=

dove: π=4,14159    e=2,71828

mentre m, σ²e σ sono rispettivamente il valor medio, la varianza e lo scarto quadratico medio.

La distribuzione gaussiana è anche detta distribuzione normale, oserviamo quanto segue :

a) La funzione di densità assume il valore massimo in corrispondenza di x=m essendo m il valore medio.

b) La curva che essa rappresenta è simmetrica rispetto a una parallela all'asse y.

c) La curva che essa rappresenta si avvicina indefinitamente all'asse x

Funzione di distribuzione:

ALCUNE NOTIZIE SULLA VITA

POISSON

Poisson, Siméon-Denis, fisico-matematico francese (Pithiviers 1781-Parigi 1840). Entrato nel 1798 all'Ecole Polytechnique, fece rapida carriera, divenendovi professore nel 1806. Astronomo presso il Bureau des Longitudes nel 1808, assunse l'anno seguente la cattedra di meccanica razionale alla Facoltà di Scienze di Parigi. La sua duttilità matematica lo fece apprezzare sia nel campo dell'analisi sia nel calcolo delle probabilità di cui estese l'applicabilità ai comportamenti umani e ai gruppi sociali. Ma l'importanza maggiore di P. risiede nell'impulso da lui dato alla matematizzazione della fisica con la teoria del potenziale, che collegava le leggi formalmente analoghe della gravitazione, dell'elettrologia e del magnetismo: a questo scopo sviluppò la nota equazione che porta il suo nome e che descrive il comportamento del potenziale all'interno di una distribuzione di particelle o di cariche. Contribuì alla meccanica celeste studiando la stabilità delle orbite planetarie e stimolando la magistrale trattazione di G. L. Lagrange. Da quest'ultimo egli divergeva a proposito del trattamento fisico e non analitico della meccanica, programma questo che egli cercò di sviluppare nel celebre Trattato di Meccanica rimasto incompiuto.

BERNOULLI

Bernoulli, famiglia di celebri matematici e scienziati originaria di Anversa, ma stabilitasi a Basilea verso la fine del XVI secolo.

Jocob (Basilea 1654-1705), studioso di astronomia e di meccanica, acquistò familiarità con l'ambiente scientifico cartesiano, indirizzando progressivamente le sue ricerche a questioni prettamente matematiche. Professore di matematica presso l'Università di Basilea (1687-1705), sviluppò, col fratello Johann, il calcolo infinitesimale, introdotto da Leibniz e Newton, indicandone numerose applicazioni alla meccanica e alla geometria. Fondamentali furono i suoi studi sulle proprietà di curve particolari (isocrona, catenaria, lemniscata, ecc.) e la soluzione del problema degli isoperimetri. A lui si devono inoltre l'introduzione delle coordinate polari nella geometria analitica e lo studio della somma delle potenze dei numeri naturali. E altresì l'autore del primo completo trattato di calcolo delle probabilità Arte delle congetture, pubblicato postumo nel 1713, in cui è enunciata e dimostrata la legge dei grandi numeri (teorema di B.). Johann (Basilea 1667-1748), fratello e allievo del precedente, fu anch'egli matematico, pur coltivando anche interessi medici nell'indirizzo iatromeccanico di spiegazione fisico-matematica dei fenomeni fisiologici. Legato alla scuola leibniziana e al pensiero cartesiano, ottenne importanti risultati nello studio della funzione esponenziale e nella semplificazione del procedimento di integrazione dell'equazione differenziale. Professore di matematica all'Università di Groninga (1695-1705), maturò una aperta rivalità scientifica col fratello Jacob, a cui successe, alla morte, nella cattedra di Basilea. Daniel (Groninga 1700-Basilea 1782), figlio del precedente, insegnò matematica a Pietroburgo (1725-32), dove collaborò con Eulero. Occupatosi dapprima di problemi di iatromeccanica inerenti alla respirazione e, successivamente, di meccanica razionale e di matematica, pubblicò nel 1738 un trattato sulla meccanica dei fluidi Hydrodynamica, ove si mostrava che se aumenta la velocità di un fluido la sua pressione diminuisce (principio di B.). Per primo tentò inoltre di spiegare il comportamento dei gas al mutare della temperatura e della pressione per mezzo di un modello dinamico della struttura particellare dei gas. Nel 1732 ritornò a Basilea dove ricoprì successivamente la cattedra di anatomia e botanica, quella di fisiologia e, dal 1750, quella di fisica. Oltre che di problemi fisiologici, la sua attività scientifica lo portò a interessarsi di calcolo delle probabilità: in quest'ultimo campo egli introdusse l'uso del calcolo infinitesimale e propose l'applicazione delle probabilità alla statistica dei fenomeni medici e sociali.

GAUSS

Gauss, Karl Friedrich, matematico, astronomo e fisico tedesco (Brunswick 1777-Gottinga 1855). Di modeste origini, rivelò ancora fanciullo doti matematiche tanto eccezionali che il duca di Brunswick si interessò personalmente al proseguimento dei suoi studi. Nel 1795 si iscrisse all'Università di Gottinga dove l'anno seguente ottenne il primo successo risolvendo un difficile problema di ciclotomia e iniziò la redazione di un diario scientifico ricco di una quantità di risultati che non pubblicò mai. Si laureò a Heimstadt nel 1799 con una dissertazione che contiene la prima dimostrazione esatta del teorema fondamentale dell'algebra sul numero delle soluzioni di un'equazione di grado n. Fecero seguito altre opere, tutte scritte in latino perché destinate a un ristretto pubblico accademico, su argomenti non solo di matematica per i quali è giustamente famoso (ebbe l'appellativo di Priceps mathematicorum), ma anche di geodesia, astronomia e fisica. Le Disquitiones aritmeticae (1801) contengono importanti risultati nella teoria dei numeri, tra cui le proprietà delle congruenze, il metodo dei minimi quadrati, la scomposizione di un numero in fattori primi e la rappresentazione geometrica dei numeri complessi, da cui, decenni dopo, si sviluppò la teoria degli "interi di Gauss". Più tardi la scoperta degli asteroidi Cerere e Pallade lo indusse a studiare il principio della distribuzione degli errori per un calcolo più preciso delle orbite non solo ellittiche ma anche iperboliche; questi studi furono pubblicati nella Theoria motus corporum coelestium del 1809.