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DERIVATE - Geometricamente

matematica


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DERIVATE



Data la funzione y=f(x) e preso x0 , un punto interno all'intorno reale I si ha che:

h = incremento di x (Dx) Dy = incremento di y ( f(x0 + h)-f(x0) )

Quindi il rapporto incrementale è: Dy/Dx = (f(x0+h)-f(x0))/Dx

DERIVATA = limite del rapporto incrementale con Dx




Geometricamente

Rapporto incrementale = coefficiente angolare della retta secante alla funzione nei punti P e P0 (cioè i punti di ascissa x0 e x0 + h ).

Derivata = coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel suo punto di ascissa x0

Una funzione si dice DERIVABILE in x0 se in tale punto essa ha derivata finita (cioè se esiste il limite del suo rapporto incrementale).

Una funzione derivabile in un punto x0 è anche CONTINUA in x0 (cioè il limite della funzione in quel punto è uguale alla funzione stessa) ma non viceversa.

PUNTO STAZIONARIO = punto x0 in cui la derivata della funzione f(x) è nulla.

La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni stesse.

La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda, sommato al prodotto della prima funzione per la derivata della seconda.

Derivata di una FUNZIONE INVERSA: sia data una funzione y=f(x) invertibile e derivabile in un intervallo I e la sua inversa x= g(y); allora la derivata di g(y) è uguale al reciproco della derivata della funzione di partenza y=f(x): g'(y) = 1/ f '(x)

DIFFERENZIALE di una funzione = incremento lungo la retta tangente (geometricamente)

(matematicamente) = è il prodotto della sua derivata per il differenziale della variabile indipendente dy = f '(x) dx          Quindi possiamo definire la derivata come il rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente f ' (x) = dy/dx

TEOREMA DI ROLLE = sia y = f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, di estremi a e b, è derivabile nei punti interni di tale intervallo; se la funzione assume valori eguali negli estremi a e b dell'intervallo, allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo in cui la derivata della funzione è nulla ( la retta tangente alla funzione nel punto di ascissa c è parallela all'asse x).

TEOREMA DI LAGRANGE = Data una funzione y = f(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabile nell'intervallo aperto (a;b), esiste almeno un punto c, interno all'intervallo [a;b], tale che risulti:           f(b) - f(a) f '(c) (significa che esiste un punto c interno ad [a;b] in cui

la derivata della funzione è uguale al coefficiente angolare

della corda passante per a e b f ' (c) = m ab )

TEOREMA DI CAUCHY = Siano date due funzioni y = f(x) e y = g(x) entrambe continue nell'intervallo [a;b] e derivabili in (a;b); inoltre la funzione g (x) ammetta derivata diversa da zero in tutti i punti dell'intervallo (a;b); esiste allora almeno un punto c, interno all'intervallo, nel quale si verifica che:             f (b) - f(a) f ' (c)


TEOREMA DI DE L'HOPITAL = Siano date due funzioni f (x) e g (x), che supponiamo definite e derivabili in tutti i punti di un intorno I del punto c (finito o infinito), escluso al più c stesso. Supponiamo inoltre che il limite del rapporto delle due funzioni (lim f(x)/g(x) con x c) si presenti in una forma indeterminata (0/0 o ) e infine sia g'(x) 0 in tutti i punti di I, escluso al più x =c. In tali ipotesi, se esiste il limite per x c del rapporto delle derivate (lim f '(x) / g' (x) con x c) allora esiste anche il limite del rapporto delle due funzioni e coincide con il limite del rapporto delle due derivate, cioè: lim f(x)/g(x) = lim f '(x) / g' (x) con x c

Quindi Hopital = il limite del rapporto di due funzioni, che si presenta nella forma indeterminata è uguale al limite del rapporto delle loro derivate (purché siano soddisfatte tutte le ipotesi).




FORMULA DI TAYLOR f(x) = f(x0) + f '(x0)(x- x0) + f " (x0) .( x- x0)2 + ..+ f n (x0) . (x- x0)n

Formula compatta f(x) . f i (x0) . (x- x0)i


FORMULA DI MAC-LAURIN (x=0)   f(x) = f(0) + f '(0)(x) + f " (0) . x2 +.. + f n (0) . xn

Formula compatta f(x) . f i (0) . xi            entrambe forniscono delle buone

approssimazioni dei valori di f(x)

INTEGRALI



PRIMITIVA = funzione la cui derivata è uguale a una funzione assegnata f(x)

INTEGRALE = insieme di tutte le primitive di una funzione (che si differenziano tra loro per una costante)

INTEGRALE INDEFINITO = operatore inverso della derivata f(x) dx = F(x)+C F'(x)= f(x)

Proprietà degli integrali indefiniti:

una costante moltiplicativa si può trasportare dentro o fuori dal segno di integrale indefinito

k f(x)dx = k f(x)dx



l'integrale di una somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni:            [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx

l'integrale indefinito è un operatore lineare, cioè l'integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle funzioni:

[k1 f(x) + k2 g(x)]dx = k1 f(x)dx + k2 g(x)dx

INTEGRALE DEFINITO = area sottesa dalla curva (in un determinato intervallo) a b f(x)dx

TEOREMA DELLA MEDIA = se la funzione f è continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b], allora esiste un punto c di tale intervallo per cui si ha: a b f(x)dx = (b-a) f(c) il valore f(c) viene detto VALORE MEDIO e si indica con Vm Vm = (a b f(x)dx) / (b-a)

FUNZIONE INTEGRALE = si chiama funzione integrale della funzione f in [a;b] la funzione così definita: F(x) = a x f(t)dt

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE = se la funzione f(x) è continua in [a;b] la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile e, "x [a;b], risulta: F '(x) = f(x) f(x)dx = a x f(x)dx + C

FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE = l'integrale definito di una funzione è uguale alla differenza dei valori assunti da una qualsiasi primitiva di tale funzione, rispettivamente nell'estremo superiore di integrazione e nell'estremo inferiore:a b f(x)dx = j(b)-j(a)


LUNGHEZZA DI UN SEGMENTO: a b 1 + f ' (x)2 dx

SOLIDI IN ROTAZIONE: - VOLUME       a b f(x)2 p dx

- SUPERFICIE LATERALE a b 2p f(x) dx






EQUAZIONI DIFFERENZIALI



DEL PRIMO ORDINE = relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y e la sua derivata prima y '      F(x;y;y')=0

DEL SECONDO ORDINE = relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y, la sua derivata prima y ' e la sua derivata seconda y" F(x;y;y';y")=0

DELL'N-ESIMO ORDINE = relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y e le sue derivate successive fino a quella di ordine n F(x;y;y'.; yn)=0

L'ORDINE di un'equazione differenziale è dato dall'ordine della derivata di ordine massimo che vi figura












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