DEFINIZIONE DI «NUMERO NATURALE»

I. Ogni numero naturale è ottenuto da 1 aggiungendo successivamente 1.

Per capire meglio facciamo un esempio: 1,5 è un numero naturale? Per rispondere verifichiamo se può essere ottenuto da 1 aggiungendo successivamente 1. Ma 1+1 = 2, e 2 è sicuramente più grande di 1,5; da ciò concludiamo che 1,5 non è un numero naturale; è infatti un numero decimale. Facciamo un'altra osservazione importante che segue facilmente da quanto abbiamo detto:

II. Se a un qualunque numero naturale aggiungiamo 1 otteniamo ancora un numero naturale.

Infatti 5, poiché è ottenuto da 1 ponendo 5 = 1+1+1+1+1, è un numero naturale; per quanto abbiamo detto nel punto I, anche il numero 6 = 5+1 è un numero naturale, poiché è ottenuto aggiungendo successivamente 1.

Un numero naturale ottenuto aggiungendo 1 a un altro numero naturale si dice successore di quest'ultimo numero. Ad esempio: dato 10, formiamo il successore di 10, che sarà 10+1 = 11. Lo stesso numero 10 può essere visto come successore di 9, ponendo 9+1 = 10. Se approfondiamo quest'ultima osservazione e notiamo che il numero 2 può essere visto come successore di 1, il numero 3 come successore di 2, eccetera, possiamo concludere che ogni numero naturale è successore di un numero più piccolo.

Ma risulta vera proprio per tutti i numeri questa frase? Per la precisione: è vera per il numero 1? In altre parole: il numero 1 di che numero è successore? Se partiamo con 1 nel nostro processo di formare nuovi numeri, allora dobbiamo arrenderci e dire che 1 non è il successore di nessun numero, poiché in base al punto I abbiamo detto che ogni numero naturale è ottenuto da 1, senza spiegare da dove esso viene. Per fare in modo che anche 1 sia un successore, sia cioè ottenuto da un numero precedente aggiungendo 1, non ci rimane altra soluzione che quella di considerare anche lo zero come numero naturale: abbiamo allora 0+1 = 1, cioè 1 è il successore di zero. A questo punto si ripresenta lo stesso problema: 0 è il successore di qualche numero? La risposta è no, perché non c'è alcun numero naturale che, aumentato di 1, dia 0. Inoltre abbiamo bisogno di un inizio per partire nell'operazione di formare i numeri. Fissiamo questo punto dicendo che:

III. 0 non è il successore di alcun numero.

- Abbiamo appena visto che 0 è il numero iniziale da cui formare 1 e tutti gli altri. Esiste anche un numero finale, cioè l'ultimo numero naturale? Poniamoci la stessa domanda in un'altra forma: quanti sono i numeri naturali? Sappiamo che dato un numero naturale se ne può sempre formare un altro aggiungendo 1; anche immaginando un numero grandissimo, per esempio 19.683.345, se aggiungiamo 1 ne otteniamo uno ancora più grande, che è esso stesso numero naturale. La risposta è allora:

IV. I numeri naturali sono illimitati.

Questo vuol dire che non si può mai portare a termine il processo di aggiungere 1 a un numero dato. Può essere comodo rappresentare i numeri naturali su di una semiretta che comincia con zero e non ha mai fine.

Immediatamente alla destra di ogni numero c'è il suo successore. Solo lo 0 non è alla destra di nessun numero: il che vuol dire, come abbiamo detto in III, che 0 non è successore di alcun numero.

LE OPERAZIONI: LA SOMMA

La somma è un'operazione che ci fa passare da due numeri naturali a un altro numero naturale.

Come ulteriori esempi: dati i due numeri 5 e 6, la loro somma è 5+6, cioè il numero 11; dati i due numeri 20 e 10, la loro somma è 20+10, cioè il numero 30. Per brevità scriviamo: 5+6 = 11; 20+10=30; 15+17 = 32. I numeri dati, di cui si deve fare la somma, sono detti addendi; così 5 e 6, 10 e 20, 15 e 17 sono gli addendi delle somme che abbiamo eseguito.

Per mettere in evidenza il fatto che la somma è un'operazione che ci fa «passare» da due numeri noti a un altro, possiamo indicare tra i segni [ ] i due addendi, e con una freccia sbarrata il passaggio; sopra la freccia scriviamo il segno della somma (+), per affermare che è il + che ci fa passare al risultato:

[5,6] +® 5 + 6 oppure [5,6] +® 11

[20,10] +® 20 + 10 oppure [20,10] +® 30

[15,17] +® 15 + 17 oppure [15,17] +® 32

La somma di più numeri non presenta difficoltà. Supponiamo che il padre di Marisa disegni altre 8 vignette su fondo rosso: quanti fotogrammi si trovano ora sul suo tavolo? Per rispondere a questa domanda basta contare prima quelli gialli e azzurri, e poi contare i rossi: esprimendo con i numeri quello che abbiamo detto a parole, si ha 5+4+8 = (5+4)+8=9+8 = 17. In questo modo abbiamo ricondotto la somma di tre numeri alla somma di due usando le parentesi. Come abbiamo già detto, le parentesi servono a indicare qualcosa che si conosce già, oppure una operazione che va compiuta prima delle altre. Sommiamo ad esempio i tre numeri 5, 6, 11: 5+6+11 = (5+6)+11 = 11+11 = 22. Nello stesso modo ci comportiamo con somme di più di tre numeri. Ad esempio:

Le parentesi sono utili perché servono a dare un ordine di precedenza alle operazioni. Ma quando ci troviamo di fronte alla stessa operazione, come ci è successo prima, per fare il calcolo più in fretta basta sommare i numeri successivamente senza usare le parentesi.

Proprietà della somma. Marisa mette in tasca prima quattro palline poi tre gomme, infine due monete da 100 lire; quanti oggetti ha in tasca? La risposta è facile: basta fare la somma 4+3+2 = 9: ha in tasca 9 oggetti. Contiamo prima le palline e le gomme e poi le monete indicando questa precedenza con le parentesi: (4+3)+2 = 9. Cambia il risultato se contiamo le palline e poi aggiungiamo il risultato ottenuto contando le gomme e le monete? Indichiamo quest'altra precedenza così: 4+(3+2). Se eseguiamo le somme vediamo che il risultato è ancora 9. Si ha quindi che: (4+3)+2 = 4+(3+2). Questa proprietà dei numeri naturali si chiama proprietà associativa; cioè:

Cambiando il posto delle parentesi la somma di più numeri dà lo stesso risultato.

Consideriamo per esempio la somma 8+5+3+2. In quanti modi possono essere messe le parentesi?

primo modo (8+5)+(3+2)

secondo modo 8+(5+3)+2

terzo modo [8+(5+3)]+2

quarto modo 8+[(5+3)+2]

In tutti e quattro i casi sono indicate delle precedenze; nel primo: esegui prima la somma 8+5 e 3+2 e poi la somma totale; nel secondo esegui prima la somma 5+3; nel terzo: esegui prima la somma 8+(5+3); nel quarto: esegui prima la somma (5+3)+2. Verificate voi stessi che si ottiene sempre lo stesso risultato. Abbiamo adoperato la parentesi quadra per non confonderci con quelle tonde.

Abbiamo detto che la somma di più numeri si riduce alla somma di due numeri, usando le parentesi. Vediamo come ciò avviene, scrivendo tale somma come «passaggio».

Esempio: 8+5+1. Decidiamo di eseguire prima la somma di 8 e 5; indicando ciò con le parentesi abbiamo: (8+5)+1; le parentesi indicano che la somma compresa tra esse è stata fatta, quindi (8+5) è un numero, precisamente il numero 13. Usando il nostro modo di indicare il passaggio: [(8+5), 1] +® (8+5)+1 = 14; oppure [13, 1] +® 13+1 = 14. Così la somma di tre numeri è stata ridotta alla somma di due.

Già abbiamo visto che se ai fotogrammi gialli aggiungiamo quelli azzurri, eseguiamo la somma 5+4=9. Se ora procediamo al contrario, se cioè ai fotogrammi azzurri aggiungiamo quelli gialli, che risultato otteniamo? Facciamo l'operazione 4+5 = 9 e scopriamo che il risultato è lo stesso.

Questa importante proprietà dell'addizione si chiama proprietà commutativa:

Cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

Possiamo ora rappresentare questo fatto con la nostra idea della somma come passaggio: [5,4] +® 5+4 = 9 [4,5] +® 4+5 = 9

Osserviamo che se cambio l'ordine (prima 5 poi 4, prima 4 poi 5) avviene che passiamo sempre allo stesso numero. La proprietà commutativa ha un'applicazione molto utile nel calcolo: come fare per essere sicuri che una certa somma sia giusta? Voi risponderete: basta contare gli oggetti. Ma se abbiamo somme con numeri molto grandi, ad esempio 1.528+306 = 1.834? Un metodo è di applicare la proprietà commutativa ed eseguire la somma cambiando l'ordine degli addendi: 306+1.528 = 1.834.

Se ai fotogrammi di Marisa non aggiungiamo nulla, essi restano quanti erano; si ha cioè 5+0 = 5. Concludiamo che:

Se a un numero naturale qualunque aggiungiamo lo 0, si ottiene sempre il numero di partenza.

IL PRODOTTO O MOLTIPLICAZIONE

Un prodotto è un'operazione che da due numeri naturali qualsiasi fa passare a un altro numero naturale.

Abbiamo definito il prodotto allo stesso modo della somma, ma esso agisce diversamente. Prendiamo per esempio i due numeri 5 e 6; la somma ci fa passare al numero 11 e rappresentiamo questo passaggio con una freccia: [5,6] +® 11; il prodotto invece ci fa passare al numero 30; rappresentiamo anche questo passaggio con una freccia, sulla quale scriviamo il segno . al fine di distinguere le operazioni: [5,6] .® 30. Riassumendo, prodotto e somma hanno in comune la caratteristica di farci passare, dati due numeri, a un altro; differiscono però per l'effetto del passaggio, poiché individuano numeri differenti. Nel prodotto 3.7 = 21, che possiamo anche rappresentare come [3,7] .® 21, i due numeri 3 e 7 si chiamano fattori.

Proprietà del prodotto. Vogliamo ampliare la nostra biblioteca personale: compriamo allora un altro mobile uguale al precedente. in cui cioè possono trovare posto 10 libri per scaffale.

Quanti libri posso metterci? L'operazione da fare è molto semplice: 10.3.2 = 60. Ma posiamo ragionare in due modi differenti per arrivare allo stesso risultato, usando le parentesi. Poiché i mobili sono uguali e il primo conteneva 30 libri, posso fare (10.3).2; oppure posso ragionare in termini di scaffali che ho a disposizione: se prima ne avevo 3, adesso ne ho 3.2 = 6. Poiché i in uno scaffale stanno 10 libri, eseguo il prodotto 10.(3.2) = 60. Anche per il prodotto si ha che 10.(3.2) = (10.3).2; vale cioè la proprietà associativa:

Cambiando il posto delle parentesi il prodotto non cambia.

Consideriamo 10 donne al supermercato. Esse possono disporsi in 2 file di 5 donne ciascuna, oppure in 5 file di 2 ciascuna; in ogni caso restano sempre 10 donne. Coi numeri, questo vuol dire 5.2 = 2.5 = 10: anche il prodotto di numeri naturali gode cioè della proprietà commutativa.

Cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.

Scritto col nostro modo di intendere l'operazione come passaggio, abbiamo: [5,2] .® 5.2 = 10, [2,5] .® 2.5 = 10.

E' chiaro che se non abbiamo libri da mettere negli scaffali, il numero totale dei libri è 0; infatti 0.3 = 3.0 = 0. Abbiamo che:

Se uno dei fattori di un prodotto è 0, l'intero prodotto è uguale a 0.

Questa proprietà si chiama principio di annullamento del prodotto.

Il prodotto 3.6.2.0 dà come risultato 0, il che si vede subito usando le parentesi, in modo da ottenere 36.0 = 0. Invece notiamo: 5.1 = 5, 1.7 = 7.

Moltiplicando per 1 qualsiasi numero naturale, si ottiene sempre quel numero naturale.

Il numero 1 si comporta, rispetto al prodotto, come il numero 0 si comportava rispetto alla somma: entrambi, nelle rispettive operazioni, lasciano immutato il numero. Per questo motivo 1 viene detto elemento neutro rispetto al prodotto, mentre 0 è detto elemento neutro rispetto alla somma. «Neutro» vuol dire, appunto, che non ha influsso sul numero. Col nostro modo di scrivere le operazioni, «neutro» significa che non si compie alcun passaggio:

[5,1] .® 5.1 = 5; [6+0] +® 6+0 = 6

C'è infine un'ultima proprietà che mette in rapporto la somma con il prodotto. Possiamo disporre 21 fiammiferi in due modi diversi: o formiamo 7 file di 3 fiammiferi ciascuna, tenendo conto che 7 è uguale a 5+2; oppure formiamo prima un gruppo di 6 fiammiferi, disponendoli in file di 3 fiammiferi l'una, poi un secondo gruppo di 15 fiammiferi disposti in 5 file sempre di 3 fiammiferi l'una. Ciò equivale a scrivere in numeri: 3.(5+2) nel primo modo, e 3.2+3.5 nel secondo. Otteniamo sempre lo stesso numero, 21 fiammiferi. Arriviamo così alla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

Il prodotto di un numero per la somma di altri due o più numeri è uguale alla somma del prodotto del numero per ciascuno degli addendi.

Facciamo osservare che nell'esempio di sopra il 3 può essere scritto anche alla destra della somma, poiché il prodotto gode della proprietà commutativa e quindi il risultato non cambia. Abbiamo infatti (5+2).3 = 5.3+ 2.3 = 15+6 = 21.