Studio del principio di conservazione della quantità di moto

Urto anelastico: urto in cui entrano in gioco forze dissipative, per cui si conserva la quantità di moto ma non l'energia cinetica.

Forza conservativa: forza il cui lavoro non dipende dal percorso seguito ma solo dalla posizione iniziale e la posizione finale.

I materiali utilizzati sono:

1. una rotaia graduata e forellata posizionata in piano.
2. un multitimer di cui vengono utilizzati tutti i 3 display.
3. una slitta lanciata da una elastico con elettrocalamita detta "proiettile" (p).
4. una slitta detta "bersaglio" (b) posta sul cammino della slitta precedente.
5. quattro fotocellule a 0.25 m di distanza l'una dall'altra.

Esecuzione dell'esperimento: vengono analizzati e sperimentati quattro diversi casi con relative considerazioni finali.

1° caso: le slitte hanno la stessa massa (195g), urto elastico.

La slitta (p) viene posizionata a inizio rotaia tenuta ferma dall'elettrocalamita; la si fa partire per prendere i relativi dati riguardanti la velocità di essa; dopo aver effettuato questa misurazione la slitta (b) viene posizionata sul cammino della precedente a pochi cm di distanza (prima della prima fotocellula posizionata) e la si lascia ferma: a questo punto all' elettrocalamità viene interrotto l'afflusso dell'elettricità così la slitta (p) parte, urtando la slitta (b); in questo istante il proiettile si ferma mentre il bersaglio inizia a muoversi. Dunque si ha:

M_p = M_b= 0.195 kg

t_p = 0.52 s

V_ib= 0 p_i  = m_p x v_p = m_p x ∆s / ∆t = 0.195 kg x 0.25 m / 0.52 s = 0.093 kg x m/s

P_f = p_p + p_b = 0 + m_b x ∆s / ∆t = 0.195 x 0.25 / 0.52 = 0.093 kg x m/s

Come è possibile riscontrare dai calcoli, la quantità di moto iniziale è uguale alla quantità di moto finale. Trattandosi di un urto elastico, è possibile dimostrare che l'energia cinetica del sistema si conserva in questo modo:

K_i = K_p = ½ m_p x v_p² = ½ m_p x (∆s / ∆t) ²

K_f = K_b = ½ m_b x v_b² = ½ m_b x (∆s / ∆t) ²

m_p = m_b k_i = k_f

2° caso: le slitte hanno massa diversa (m_p =195g ; m_b =295 g), urto elastico.

La slitta (p) viene posizionata a inizio rotaia tenuta ferma dall'elettrocalamita; la si fa partire per prendere i relativi dati riguardanti la velocità di essa; dopo aver effettuato questa misurazione la slitta (b) viene posizionata sul cammino della precedente a pochi cm di distanza (prima della prima fotocellula posizionata) e la si lascia ferma: a questo punto all' elettrocalamità viene interrotto l'afflusso dell'elettricità così la slitta (p) parte, urtando la slitta (b); in questo istante il proiettile rallenta la sua corsa mentre il bersaglio inizia a muoversi. Dunque si ha:

M_p = 0.295 kg

M_b = 0.195 kg

t_p1 = 0.62 s

t_p2 = 2.43 s

t_b = 0.53 s

V_ib= 0 p_i  = m_p x v_p = m_p x ∆s / ∆t_p1 = 0.295 kg x 0.25 m / 0.62 s = 0.12 kg x m/s

P_f = p_p + p_b =  m_p x ∆s / ∆t_p2 + m_b x ∆s / ∆t_b = 0.295 kg x 0.25 / 2.43 + 0.195 x 0.25 / 0.53 = 0.093 kg x m/s

Come è possibile riscontrare dai calcoli, la quantità di moto iniziale è uguale alla quantità di moto finale. Trattandosi di un urto elastico, è possibile dimostrare che l'energia cinetica del sistema si conserva in questo modo:

K_i = K_p = ½ m_p x v_p1² = ½ m_p x (∆s / ∆t_p1) ² = ½ x 0.295 x (0.25 / 0.62) ² = 0.023 J

K_f = K_p + K_b= ½ m_p x v_p2² + ½ m_b x v_b² = ½ m_p x (∆s / ∆t_p2) ² + ½ m_b x (∆s / ∆t_b) ² = ½ x 0.295 x (0.25 / 2.43) ² + ½ x 0.195 x (0.25 / 0.53) ² = 0.023 J

3° caso: le slitte hanno massa diversa (m_p =295g ; m_b =195 g), urto elastico.

La slitta (p) viene posizionata a inizio rotaia tenuta ferma dall'elettrocalamita; la si fa partire per prendere i relativi dati riguardanti la velocità di essa; dopo aver effettuato questa misurazione la slitta (b) viene posizionata sul cammino della precedente a pochi cm di distanza (prima della prima fotocellula posizionata) e la si lascia ferma: a questo punto all' elettrocalamità viene interrotto l'afflusso dell'elettricità così la slitta (p) parte, urtando la slitta (b); in questo istante il proiettile torna indietro accelerando mentre il bersaglio inizia a muoversi. Dunque si ha:

M_p = 0.195 kg

M_b = 0.295 kg

t_p1 = 0.51 s

t_p2 = 2.74 s

t_b = 0.66 s

V_ib= 0 p_i  = m_p x v_p = m_p x ∆s / ∆t_p1 = 0.195 kg x 0.25 m / 0.51 s = 0.096 kg x m/s

P_f = p_b - p_p = m_b x ∆s / ∆t_b - m_p x ∆s / ∆t_p2= 0.295 kg x 0.25 / 0.66 - 0.195 x 0.25 / 2.74 = 0.094 kg x m/s

Come è possibile riscontrare dai calcoli, la quantità di moto iniziale è uguale alla quantità di moto finale (la differenza di 0.002 è dovuta dall'errore sistematico). Trattandosi di un urto elastico, è possibile dimostrare che l'energia cinetica del sistema si conserva in questo modo:

K_i = K_p = ½ m_p x v_p1² = ½ m_p x (∆s / ∆t_p1) ² = ½ x 0.195 x (0.25 / 0.51) ² = 0.023 J

K_f = K_p + K_b= ½ m_p x v_p2² + ½ m_b x v_b² = ½ m_p x (∆s / ∆t_p2) ² + ½ m_b x (∆s / ∆t_b) ² = ½ x 0.195 x (0.25 / 2.74) ² + ½ x 0.295 x (0.25 / 0.66) ² = 0.022 J

4° caso: le slitte hanno la stessa massa (195 g), urto anelastico.

Volendo analizzare un urto anelastico, viene agiunta alla slitta (p) una punta metallica di massa trascurabile e alla slitta (b) un cilindretto con del mastice dentro, anch'esso di massa trascurabile, per fare in modo che il proiettile si conficchi all'ainterno del bersaglio con l'urto.

La slitta (p) viene posizionata a inizio rotaia tenuta ferma dall'elettrocalamita; la si fa partire per prendere i relativi dati riguardanti la velocità di essa; dopo aver effettuato questa misurazione la slitta (b) viene posizionata sul cammino della precedente a pochi cm di distanza (prima della prima fotocellula posizionata) e la si lascia ferma: a questo punto all' elettrocalamità viene interrotto l'afflusso dell'elettricità così la slitta (p) parte, urtando la slitta (b); in questo istante il proiettile si conficca all'interno del bersaglio e i due, formando un corpo unico,iniziano a muoversi. Dunque si ha:

M_p = 0.195 kg

M_b = 0.195 kg

t_p1 = 0.51 s

t_f(b+p) = 1.05 s

V_ib= 0 p_i  = m_p x v_p = m_p x ∆s / ∆t_p1 = 0.195 kg x 0.25 m / 0.51 s = 0.096 kg x m/s

P_f = (m_b + m_p)x ∆s / ∆t_f(b+p) = (0.195 x 2) kg x 0.25 / 1.05 = 0.093 kg x m/s

Come è possibile riscontrare dai calcoli, la quantità di moto iniziale è uguale alla quantità di moto finale (la differenza di 0.002 è dovuta dall'errore sistematico). Trattandosi di un urto anelastico, è possibile dimostrare che l'energia cinetica del sistema non si conserva in quanto durante la penetrazione entra in gioco la forza di attrito, che non è una forza conservativa:

K_i = K_p = ½ m_p x v_p1² = ½ m_p x (∆s / ∆t_p1) ² = ½ x 0.195 x (0.25 / 0.51) ² = 0.023 J

K_f = ½ (m_p + m_b) x (∆s / ∆t_f(b+p)) ² = ½ x 2 x 0.195 x (0.25 / 1.05) ² = 0.011 J