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Laboratorio di fisica - Studio della caduta di un grave

fisica




Politecnico di Torino






Corso di laurea in Ingegneria Mec./Asp.  I


Fisica I

Laboratorio di fisica - 1°relazione

















Studio della caduta di un grave









Scopo della relazione

L'esperienza di laboratorio è servita per la determinazione dell'accelerazione di gravità attraverso rilevamenti sperimentali.





Strumenti

Durante l'esperienza di laboratorio abbiamo utilizzato i materiali forniti:

Personal computer Olivetti PCS286

Software dedicato realizzato da un ex studente del Politecnico

Fotocellula per la determinazione dei tempi

Grave, costituito da una sbarretta di plexiglass

Supporto per il lancio del grave






Descrizione dell'esperienza

La seduta di laboratorio è stata aperta da una spiegazione dell'argomento trattato da parte dei coadiutori che hanno illustrato esaurientemente i fondamenti teorici della ricerca.

La descrizione dei calcoli da eseguire con i dati raccolti è stata la parte più complessa, infatti la mole di sommatorie, indici e tabelle è notevole, inoltre le piccole lavagne del laboratorio non agevolano di certo gli allievi, soprattutto quelli che come il nostro gruppo si trovava in ultima fila.

Terminata la spiegazione, dai cui sono st 717e48h ati volutamente stralciati molti fondamenti di statistica relativi ai calcoli, sono stati distribuiti i dischetti contenenti il programma per il pc.

L'elaboratore è infatti lo strumento che ci ha permesso di rilevare tempi ed eseguire alcuni calcoli.

La fotocellula costituita da un emettitore laser di forma cilindrica lungo circa 40 cm. interfacciata con il computer ha permesso di rilevare il passaggio del grave.

Questo oggetto lasciato cadere da una determinata altezza, grazie alle sue caratteristiche, interrompeva il raggio laser per un certo tempo, determinando gli elementi di calcolo usati da noi e dall'elaboratore.

Il grave è costituito da una sbarretta di plexiglass trasparente della lunghezza di 17cm.Le altre dimensioni, di minore rilevanza erano circa 5cm e 1,5cm.

Le estremità del grave lungo l'asse maggiore terminano con due profili di ottone (almeno a vista), avvitati nel plexiglass, con funzione di rinforzo e di riparo dagli urti.

Proprio questi profili rappresentano i punti di contatto del grave col tavolo una volta terminata la caduta.

Il grave presentava dei pezzi di nastro isolante nero dell'altezza di circa 1cm attaccati lungo i 17cm del lato maggiore, ed intervallati tra loro di 1cm.

Questa partizione consente 7 rilevazioni di tempi da parte del computer ad ogni caduta del grave. Il nastro nero impedendo il passaggio del raggio dava il dato all'elaboratore.

Settato il sistema di riferimento dall'altezza di lancio dalla fotocellula, cioè dal punto di acquisizione dei tempi, abbiamo cominciato le rilevazioni.

Una persona disponeva il grave nell'apposita cava ricavata nel supporto per stabilire con la maggior precisione possibile il punto di partenza del grave.

Particolare attenzione è stata rivolta alla traiettoria del grave, infatti un non corretto posizionamento iniziale avrebbe potuto falsare le rilevazioni e soprattutto compromettere l'integrità del plexiglass.

Effettuata la rilevazione il computer analizzava i dati producendo una tabella contenente spazi e tempi.

Eseguite differenti rilevazioni, cioè distinti lanci da differenti altezze abbiamo raccolto i dati necessari per i nostri conti.

Spento il computer e riconsegnati ai coadiutori dischetto e grave ci siamo allontanati dal laboratorio.





Dati raccolti

Abbiamo effettuato tre successivi "lanci" da due differenti altezze.

Nella prima rilevazione il corpo anisotropo è stato posto ad una altezza di 30cm dal riferimento del diodo laser (tuttavia il primo riferimento ha incontrato il diodo dopo aver percorso uno spazio inferiore ovvero 30-17 cm, cioè l'altezza di lancio meno la dimensione del grave); i dati rilevati dal pc sono stati i seguenti:




Tabella 1.1 (cioè riferita al primo lancio analizzato, 30cm)



Spazio (cm)

Tempo (ms)























Anche nella seconda rilevazione il corpo anisotropo è stato posto ad un'altezza di 30 cm dal riferimento; i dati rilevati sono stati i seguenti:


Tabella 2.1



Spazio (cm)

Tempo (ms)























Nell'ultima rilevazione il grave è stato posto ad un'altezza di 50 cm dal riferimento del diodo laser; ecco i dati:






Tabella 3.1



Spazio (cm)

Tempo (ms)



























Considerazioni teoriche preliminari all'analisi dei dati

Ricordando dalla cinematica la nozione per la quale si ha che la velocità è una funzione lineare del tempo, ammettendo che l'accelerazione sia costante in un dato intervallo temporale considerato e occupandoci di oggetti in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre è lecito scrivere:



v0 velocità iniziale

g accelerazione di gravità

t tempo


Nelle nostre esperienze abbiamo effettuato sette rilevazioni, ottenendo per ognuna uno spazio ed un tempo;

partendo da questi due dati è possibile ottenere per ogni i-esimo intervallo una velocità media rispondente alla formula:



ed un tempo medio i-esimo per intervallo dato da:



In sostanza possediamo sette coppie di valori che in un grafico v(t) danno sette punti; vogliamo determinare i valori "più plausibili" di v0 e g nella prima formula del paragrafo e di conseguenza avere la retta intorno alla quale sia massima la densità dei punti ricavati dalla prova sperimentale.

I valori sopra citati possono essere determinati "imponendo che la somma dei quadrati degli scarti sia minima", ovvero considerando lo "scarto quadratico medio" di ogni intervallo, dato dalla formula:



E la "funzione scarto" (la somma degli i-esimi scarti quadratici medi), data dalla formula:






Si ricercano i valori di v0 e g che la rendono minima, ovvero ancora, ricerchiamo la coppia di valori di v0 e g per la quale s è minima.

Per fare ciò imponiamo la condizione per la quale le derivate parziali di s rispetto a v0 e g sono contemporaneamente nulle:





Risolvendo il semplice sistema, dopo aver sostituito i corrispondenti valori numerici alle costanti, si ottengono i valori di v0 e g richiesti.

Ora possiamo associare ad essi il raggio dell'intorno entro il quale cadono i valori che possiamo ritenere attendibili, verosimili, risultato di prove precise (intendendo l'attributo "preciso" nella sua accezione fisico-scientifica, ovvero di misurazione la quale, allorchè ripetuta, dà luogo alla medesima rilevazione).

Ponendo:



Si ha che:


dalle quali si ottengono i valori:




Elaborazione di dati e tabelle

Nel primo lancio abbiamo ottenuto i dati riportati nella tabella 1.1; a partire da questi e dalle formule scritte sopra è possibile creare la seguente tabella:



Tabella 1.2



Spazio (cm)

Tempo (ms)

vmi

tmi

Spazio calcolato

tmi2

[Vmi-v0-gtmi]2




























































vmi=1,43321

tmi=255,485

spazio calcolato=55,0671

tmi2=12026,364

s=0,000060916


Possiamo ora passare alla risoluzione del sistema relativo a questo caso:




Aggiungiamo alla tabella s e le sue componenti; ricerchiamo ora Dv e Dg sapendo che D=18911,96278 ed s=0,000060916 per cui:



Il risultato finale è:




Nel secondo lancio abbiamo ottenuto i dati riportati nella tabella 2.1; a partire da questi e dalle formule scritte sopra è possibile creare la seguente tabella:



Tabella 2.2



Spazio (cm)

Tempo (ms)

vmi

tmi

Spazio calcolato

tmi2

[Vmi-v0-gtmi]2






























































vmi=1,43248

tmi=255,015

spazio calcolato=54,85339

tmi2=11987,18206

s=0,00012206


Possiamo ora passare alla risoluzione del sistema relativo a questo caso:




Aggiungiamo alla tabella s e le sue componenti; ricerchiamo ora Dv e Dg sapendo che D=18877,6116 ed s=0,00012206 per cui:



Il risultato finale è:







Nel terzo lancio abbiamo ottenuto i dati riportati nella tabella 3.1; a partire da questi e dalle formule scritte sopra è possibile creare la seguente tabella:


Tabella 3.2



Spazio (cm)

Tempo (ms)

vmi

tmi

Spazio calcolato

tmi2

[Vmi-v0-gtmi]2




























































vmi=1,99454

tmi=177,91

spazio calcolato=52,22624

tmi2=5916,45896

s=0,000277053


Possiamo ora passare alla risoluzione del sistema relativo a questo caso:




Aggiungiamo alla tabella s e le sue componenti; ricerchiamo ora Dv e Dg sapendo che D=9763,24462 ed s=0,000277053 per cui:



Il risultato finale è:




Conclusioni

La buona riuscita dell'esperimento si basava su rilevazioni accurate, su errori ridotti, su lanci precisi.

Tuttavia di piccoli errori ne sono stati commessi tanti, a partire dal grave.

La sua struttura non rispecchiava più gli standard richiesti, l'usura aveva infatti deformato evidentemente i riferimenti di nastro adesivo, ciò ha comportato delle imprecisioni nelle rilevazioni.

Inoltre la traiettoria seguita dal grave era decisamente influenzata dal lancio, per ovviare in parte a questo inconveniente una sola persona ha eseguito tutti i lanci, abbiamo effettuato delle prove con altri lanciatori ma i dati erano decisamente differenti.

Sempre il supporto di partenza presentava un non trascurabile errore, il grave pronto per il lancio era infatti circa un centimetro più in alto dell'altezza rilevata, cioè a 30cm impostati, corrispondeva in realtà un'altezza di circa 31cm.

Tralasciando le semplificazioni attuate per l'esperimento, quale non considerare l'attrito dell'aria, abbiamo comunque trovato altre fonti di errore.

Ad esempio l'altezza di lancio doveva essere tenuta decisamente bassa per non incontrare altre imperfezioni. Oltre i 30cm (siamo arrivati a 50cm) la traiettoria del grave era visibilmente irregolare, in particolare era compromessa l'ortogonalità del grave col raggio laser.

L'analisi dei dati lascia perplessi in più punti, in particolare nel terzo lancio le i-esime velocità differiscono tra loro per millimetri al secondo, tuttavia l'accelerazione risulta di notevole entità.

Evidentemente l'attrito dell'aria non era affatto trascurabile!

Solamente il secondo lancio ha verificato con sufficiente approssimazione il dato sperimentale noto dell'accelerazione di gravità.

Insolita la ridottissima tolleranza rilevata nei conti, l'accelerazione variava di ± un numero la cui prima cifra significativa si posizionava in seconda o terza posizione dopo la virgola.

Comunque lo scopo dell'esercitazione era lavorare sui dati ricavati senza ricercare l'assoluta precisione nelle rilevazioni, dunque possiamo ritenerci soddisfatti.







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