Legge di Gauss

Sommando tutti i contributi si ottiene

il flusso del campo attraverso :

, , ,

parallelo, concorde , , flusso USCENTE

parallelo, discorde , , flusso ENTRANTE

5.2 La legge di Gauss

La legge di Gauss asserisce che il flusso di attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta nella superficie divisa .

    (10)

dove è la densità di carica volumetrica:

5.3 Verifica della legge di Gauss

Si verifica facilmente la legge di Gauss nel caso del campo creato da una carica puntiforme q, calcolando il flusso attraverso una sfera di raggio r con centro su q.

Dato che ha lo stesso valore su tutti i punti della sfera:

C.V.D.

(N.B. è stato espressa come, proprio per avere un risultato che non contenga altri costanti, eccetto .)

Si dimostra che vale anche per una superficie di forma qualsiasi purché q sia interna ad essa.

5.4 Forma differenziale della legge di Gauss

La legge di Gauss che in forma integrale risulta:

(11)

può essere espressa in forma differenziale facendo uso del:

Teorema della Divergenza: (o Green-Gauss) che asserisce che il flusso di un vettore () attraverso

una superficie chiusa S è uguale all'integrale, esteso al volume racchiuso da S, della divergenza di.

N.B. divergenza di = div = Si veda in proposito anche l'appendice A.

per la (11)

se v arbitrario, anche gli integrali sono uguali; risulta:

(12)

Questa è la legge di Gauss in forma differenziale. Essa costituisce anche la prima legge di Maxwell. Un campo la cui divergenza è nulla , è detto SOLENOIDALE.

N.B. si trasforma una forma "integrale" forma "differenziale" cha da un'informazione puntuale.

Anche la proprietà del campo elettrico di essere conservativo cioè:

può essere espresso in forma differenziale facendo uso del

Teorema di Stokes: che asserisce che la circuitazione di un vettore () lungo una linea chiusa  è

uguale al flusso del rotore di attraverso la superficie che ha per contorno .

N.B. rotore di = rot =

Nel nostro caso, poiché il primo membro è nullo risulta:

(14)

Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché un campo sia conservativo è che il rotore sia nullo.

Esempio: è un campo conservativo, infatti:

Il rotore è nullo e il dominio è semplicemente connesso (si può ridurre la linea ad un punto senza uscire dal dominio).

6.0 Applicazioni della legge di Gauss

6.1 Sfera uniformemente carica sulla superficie (conduttore)

Il campo creato ha andamento a simmetria sferica. Si sceglie

come superficie gaussiana una sfera. Su di essa , parallelo a .

da cui:

(15)

ha la stessa espressione che avrebbe il campo creato da una carica posta al centro della sfera.

Se consideriamo una superficie gaussiana all'interno della sfera = 0 perché q = 0 al suo interno.

6.2 Piano uniformemente carico

Per ragioni di simmetria piano (salvo i bordi). Si sceglie un parallelepipedo o un cilindro.

Poichè sulle superfici laterali .

Le basi sono due:

da cui:

(16)

dove densità di carica superficiale.

6.3 Due piani paralleli uniformemente carichi, positivamente e negativamente

Per la sovrapposizione degli effetti, il campo risulta doppio di quello di un piano.

(17)

La suddetta struttura costituisce un condensatore piano.

6.4 Cilindro di raggio a carico uniformemente sulla superficie.

Vista di lato:   Il campo ha un andamento radiale. Si sceglie come superficie gaussiana un cilindro concentrico di raggio r e altezza h.

Il contributo delle basi risulta = 0 perché .

Da cui:

Vista dall'alto: (18)

Dove:

densità di carica lineare