L'ANALISI INFINITESIMALE - FUNZIONI

FUNZIONI

Un ciclista sta correndo con moto uniforme: in un secondo fa 13 metri, in 2 secondi 26 metri, in 3 secondi 39 metri, e così via. Posso calcolare che dopo 10 secondi avrà percorso 130 metri dopo 20 secondi 260 metri, ecc. Lo spazio percorso si può facilmente trovare conoscendo i secondi trascorsi. Lo spazio percorso è cioè determinato dal tempo trascorso: diciamo che lo spazio percorso s è una funzione del tempo t, e precisamente:

s = 13 x t

Se lascio cadere un sasso da un grattacielo e misuro di quanti metri è caduto dopo un secondo, trovo (approssimativamente) 5 metri; dopo 2 secondi circa 20 metri, dopo 3 secondi circa 45 metri. Anche stavolta lo 343f57d spazio percorso s è una funzione del tempo impiegato ma una funzione diversa da prima (e un po' più complicata).

Osservando che

5 = 5 x 1 = 5 x 1ý

20 = 5 x 4 = 5 x 2ý

45 = 5 x 9 = 5 x 3ý

posso scrivere:

s = 5 x tý

L'area di un quadrato A si trova moltiplicando il lato l per se stesso:

A = lý

Diciamo allora che l'area del quadrato è funzione del lato. Il volume V di un cubo di lato l è

V = l(esp.3)

Diciamo allora che il volume del cubo è una funzione del lato. La misura di una circonferenza è una funzione del raggio r:

c = 6,28 x r

L'area del cerchio A è ancora una funzione del raggio r:

A = 3,14 x rý

Lo spazio percorso da un ciclista che corre di moto uniforme e la lunghezza di una circonferenza sono cose molto diverse: tuttavia dal punto di vista matematico sono funzioni molto simili: in entrambi i casi la variabile che ci interessa (lo spazio percorso s, o la lunghezza della circonferenza c) si ottiene «in funzione» di una variabile indipendente (il tempo t nel caso del ciclista, il raggio r nel caso della circonferenza).

Più precisamente otteniamo la variabile che ci interessa moltiplicando per una costante la variabile indipendente.

Variabile Variabile

Dipendente costante Indipendente

s = 13 x t

c = 6,28 x r

Analogamente la caduta del sasso e l'area di un quadrato o di un cerchio sono espresse matematicamente da funzioni simili: si ottengono moltiplicando per una costante il quadrato della variabile indipendente.

Una funzione non è altro che un operatore matematico che trasforma una variabile di partenza in un'altra. Di solito la variabile indipendente viene indicata con la lettera x e quella dipendente con la lettera y e si scrive:

y = f(x) oppure y = y(x)

Entrambe le espressioni si leggono «y è funzione di x».

Molto spesso è utile ricorrere a una rappresentazione grafica della dipendenza funzionale. Il metodo più seguito consiste nell'usare due assi perpendicolari, uno per i valori della variabile x e un altro per quelli di y. Per tracciare il grafico si prendono uno per uno i valori di partenza di x sull'asse orizzontale e si calcola il corrispondente valore di y.

CALCOLO DIFFERENZIALE

Di quanto aumenta lo spazio percorso dal ciclista in ogni secondo? Sempre di 13 metri. Diciamo che la velocità del ciclista è di 13 metri al secondo (13 m/s).

Di quanto aumenta lo spazio percorso dal sasso ogni secondo? Nel primo secondo di 5 metri, nel secondo secondo di 15 metri (20 metri meno 5 metri già percorsi nel primo secondo), nel terzo secondo di 25 metri (45 metri meno 20 metri già percorsi nei primi 2 secondi). Qual è allora la sua velocità? Sembra di poter dire:

nel primo secondo di 5 metri al secondo

nel secondo secondo di 15 metri al secondo

nel terzo secondo di 25 metri al secondo

La velocità cioè cambia. Ma è chiaro che il sasso non va a 5 m/s durante tutto il primo secondo, per poi scattare improvvisamente a 15 m/s nel secondo secondo: solo le velocità medie nei vari secondi: la velocità cambia continuamente, cresce istante per istante.

Torniamo alla funzione che esprime il moto del sasso:

s = 5 x tý

Già sappiamo che dopo un secondo lo spazio percorso è di 5 metri. Possiamo però calcolare lo spazio percorso dopo 9 decimi di secondo:

s = 5 x (0,9)ý m = 5 x 0,81 m = 4,05 metri

Quanto spazio è stato percorso nell'ultimo decimo di secondo?

0,95 metri (5 m - 4,05 m = 0,95 m)

E la velocità media in questo ultimo decimo?

0,95 m

ÄÄÄÄÄÄ = 9,5 m/s

0,1 s

Questa è ancora una velocità media non la velocità istantanea dopo un secondo esatto, però è una media fatta su un tempo molto più piccolo (un decimo di secondo invece di un secondo). Affiniamo ancora più il nostro procedimento: calcoliamo la velocità media nell'ultimo centesimo del primo secondo. Lo spazio percorso dopo 99centesimi di secondo è

s = 5 x (0,99)ý m = 5 x 0,9801 m = 4,9005 metri

Perciò lo spazio percorso nell'ultimo centesimo di secondo è:

5 m - 4,9005 m = 0,0995 m

E la velocità media in questo ultimo centesimo:

0,0995 m

ÄÄÄÄÄÄ = 9,95 m/s

0,01 s

Ripetiamo lo stesso calcolo per l'ultimo millesimo di secondo:

s = 5 x (0,999)#2 m = 5 x 0,998001 m = 4,990005 m

Lo spazio percorso nell'ultimo millesimo di secondo è

5 m - 4,990005 m = 0,009995 metri

E la velocità media è:

0,009995 m

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 9,995 m/s

0,001 s

Ricapitoliamo:

Velocità media in un secondo 5 m/s

Velocità media in un decimo di secondo 9,5 m/s

Velocità media in un centesimo di secondo 9,95 m/s

Velocità media in un millesimo di secondo 9,995 m/s

Vediamo dunque che le velocità medie calcolate in intervalli di tempo sempre più piccoli vicino allo scadere del primo secondo sono sempre diverse, ma sono sempre meno diverse, avvicinandosi al valore limite di 10 m/s. Se ripetessimo il procedimento per un milionesimo di secondo, poi per un miliardesimo, ecc. Ia velocità media in questi piccolissimi tempi non si distinguerebbe più in pratica dalla velocità istantanea. La velocità media è il rapporto spazio/tempo; quando si fa la riduzione al limite della velocità media per tempi che tendono a zero (cioè infinitesimi) si ottiene la velocità istantanea.

Il limite del rapporto spazio percorso/tempo impiegato, si chiama derivata della funzione spazio rispetto al tempo e viene indicata con il formalismo matematico:

ds

V = ÄÄ

dt

dove s è la variabile dipendente, funzione di t e t è la variabile indipendente rispetto alla quale si fa la derivazione.

Il calcolo differenziale fornisce dei metodi per trovare le derivate delle varie funzioni senza ripetere ogni volta il lungo processo al limite con i noiosi calcoli connessi. Così si trova che la derivata di una funzione lineare A x X è A. La derivata di una funzione quadratica A x X² è A x 2 x X. Così nel caso del sasso in caduta libera:

s = 5 x tý

e la velocità è

v = 5 x 2 x t = 10 x t

Come si vede nella espressione di v compare ancora la variabile t, ovvero v è ancora una funzione di t, cambia con il variare del tempo. Così la velocità del sasso dopo un secondo sarà di 10 m/s, dopo 2 secondi sarà di 20 m/s, e via di seguito.

INTEGRALI

Conoscendo la velocità di un oggetto si può calcolare lo spazio percorso. In un moto uniforme (cioè quando la velocità non cambia) la cosa è facile. Se so che il ciclista va a 13 m/s, per trovare quanto spazio fa in un minuto (60 secondi) moltiplico la velocità per i secondi:

s = velocità x t = 13 m/s x 60 secondi = 780 metri.

Ma se la velocità cambia istante per istante la cosa è più complicata: prendiamo il caso del sasso che cade: sappiamo che la velocità dopo un secondo di 10 m/s, perciò in un secondo fa dieci metri.

Dividiamo invece il secondo in piccoli intervalli di tempo (per esempio 10 intervalli di un decimo di secondo ciascuno), moltiplichiamo ogni intervallo per la velocità che il sasso aveva in ogni intervallo e sommiamo.

Siccome v = 10 x t dopo 0,1 secondi v = 10 x 0,1 = 1 m/s

dopo 0,2 secondi v = 10 x 0,2 = 2 m/s

ecc.

Lo spazio percorso nel primo decimo di secondo sarà:

1 m/s x 0,1 secondi = 0,1 metri

lo spazio percorso nel secondo decimo di secondo sarà:

2 m/s x 0,1 secondi = 0,2 metri, ecc. Perciò lo spazio totale percorso nel primo secondo sarà: s = (0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 1) = 5,5 metri.

Questo è un calcolo ancora approssimativo: in realtà solo alla fine del primo decimo di secondo la velocità è di 1 m/s e non in tutto il primo decimo: il risultato sarà perciò un po' sbagliato e precisamente un po' troppo grosso. Raffinando il calcolo dividendo il secondo in 100 centesimi si otterrebbe un valore molto più preciso; il risultato esatto (5 metri) si ottiene con un processo al limite quando gli intervallini di tempo vengono resi infinitamente piccoli. Il limite, al tendere a zero della durata di ogni intervallino, di questa somma di infiniti termini infinitesimi, si chiama l'integrale rispetto al tempo dello spazio (ovvero della velocità per il tempo). L'integrale viene indicato con il simbolo matematico ¶

§

perciò scriveremo s = ¶ v x t x dt

§

dove il simbolo dt rappresenta l'intervallino infinitesimo.

Naturalmente quanto detto per l'integrale in questo caso specifico (lo spazio in funzione del tempo) può essere esteso a qualsiasi altra funzione.