Dimostrazione del principio di Pascal

fisica

Poniamo in un recipiente cilindrico chiuso da uno stantuffo un palloncino pieno d'aria (figura 535h72f 4) agganciato al fondo in modo che rimanga fermo. Riempiamo quindi il cilindro con un fluido in modo che il palloncino sia completamente immerso nel fluido. Esercitiamo sullo stantuffo una forza, ad esempio tramite dei pesi. Si vedrà il palloncino rimpicciolirsi pur mantenendo una forma sferica (figura 4b); bisogna quindi ammettere che la pressione esercitata dallo stantuffo S si è propagata su tutta la superficie del palloncino con la stessa intensità e in modo simmetrico.

Consideriamo ancora un esperimento. Esercitando una pressione tramite lo stantuffo sul liquido contenuto nel recipiente in cui sono praticati dei fori, si vedrà l'acqua fuoriuscire da ogni foro con la stessa velocità e perpendicolarmente alla superficie del recipiente.

I risultati ottenuti si riassumono nel cosiddetto 'principio di Pascal': la pressione esercitata su un elemento di superficie di un fluido si trasmette con la stessa intensità in tutte le direzioni.

Possiamo dare anche una breve dimostrazione matematica di questo fatto.

Consideriamo un elemento di liquido a forma di cubo di spigolo l (figura 5); se il cubetto è in equilibrio, la risultante delle forze deve essere nulla, cioè

L'equazione vettoriale consta di tre equazioni scalari:

Studiamo l'equazione lungo l'asse X. Le forze agenti nella direzione dell'asse X sono

dove p(X₁) è la pressione nel punto X₁ e p(X₂) la pressione nel punto X₂ = X₁ + l.

Per l'equilibrio queste due forze che agiscono su due facce opposte devono annullarsi, cioè:

da cui

Ripetendo lo stesso ragionamento per le equazioni relative alle componenti Y e Z otteniamo

Poiché la posizione del cubetto è arbitraria e così pure la lunghezza dello spigolo, le equazioni (2) sono valide in ogni caso; possiamo quindi affermare che in un fluido in equilibrio, su cui si suppone non agiscano forze di volume, la pressione è costante in tutti i punti. Da questo enunciato segue immediatamente il principio di Pascal.