ρ m/V (1)

Essendo data da una massa divisa per un volume, nel Sistema Internazionale la densità si misura in kg/m³.

I solidi in genere sono più densi dei liquidi, i quali a loro volta, sono più densi degli aeriformi.

In questo caso noi abbiamo utilizzato un liquido: l'acqua (H₂O).

Tutti i liquidi sono fluidi e quindi non hanno una forma propria. Possono essere raccolti in recipienti e, in questo caso, assumono la forma del contenitore che li contiene.

Solo le piccole goccioline assumono, in un certo senso, una forma propria, all'incirca sferica. Hanno, tutti, un volume proprio ed è molto difficile comprimerli in un volume più piccolo.

STRUMENTI E MATERIALI UTILIZZATI

Una bilancia la cui portata è di 2 kg e la cui sensibilità è di 25 g;

un metro metallico la cui portata è di 2 m e la cui sensibilità è di 1 mm;

2 contenitori con forme geometriche regolari (parallelepipedo, cilindro);

acqua.

PROCEDIMENTO

Fase A)

  Abbiamo versato l'acqua nel contenitore a forma di parallelepipedo, lo abbiamo posto sulla bilancia e abbiamo trovato il valore della massa dell'acqua ripetendo sei volte la misurazione.

  Abbiamo, poi, misurato le tre dimensioni del parallelepipedo, utilizzando il metro, abbiamo ripetuto le misurazioni sei volte ciascuna per poter calcolare successivamente l'errore massimo sulle singole misure e, per mezzo del metodo della propagazione dell'errore per le grandezze derivate, anche sul volume.

  Dopo aver calcolato il volume abbiamo calcolato la densità dell'acqua eseguendo il rapporto: d m/V   (1)

Fase B)

  Abbiamo ripetuto l'esperienza precedente versando la stessa quantità d'acqua nel contenitore a forma di cilindro e ripetendo le varie misurazioni (massa,.)

Fase C)

  Abbiamo diminuito la quantità d'acqua e abbiamo ripetuto l'esperienza dall'inizio utilizzando entrambi i contenitori.

DATI OTTENUTI:

Fase A)

Si calcoli il volume occupato dall'acqua, con la formula:

V h s in cui s lato A· lato B (2)

e la densità con la formula (1),dopo aver trovato i valori medi di massa e volume tenendo conto degli errori assoluti.

e_m ( x_max x_min )/

e_m 500 g. 450 g. 25 g.

Dopo aver calcolato l'errore assoluto, si calcoli il valore medio della massa:

m 450 g.+ 500 g.+ 475 g.+ 475 g.+ 450g.+ 475 g. g.

^6,00

Ripetere lo stesso procedimento per trovare gli errori assoluti e i valori medi delle tre dimensioni del parallelepipedo.

e_m(h) (1,8 cm. 1,6 cm.)/2 0,1 cm.

h 1,6 cm.+ 1,8 cm.+ 1,7 cm.+ 1,7 cm.+ 1,6 cm.+ 1,8 cm. 0,1 cm.

6,0

e_{m(lato A-lato B)} (17,3 cm. 17,1 cm.)/2 0,1 cm.

Lato A-Lato B 17,1 cm.+ 17,2 cm.+ 17,3 cm.+17,3 cm.+ 17,2 cm.+ 17,1 cm. 0,1 cm.

6,00

Fatto ciò, è possibile calcolare il volume (2) e in seguito la densità (1), sapendo che l'errore assoluto, nelle grandezze derivate, si calcola in modo diverso rispetto a seconda che si tratti di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione.

Nel caso del volume, trattandosi di una moltiplicazione(2),l'errore assoluto è dato da:

e_m bδa aδb 

e_m(s) (17,2 cm.) (0,1 cm.) (17,2 cm.) (0,1 cm.) 1,72) cm² cm²

s 0,1 cm.) 0,1 cm.) 3,44 cm².

e_m(V) (1,7 cm.) (3,44 cm.) 296 cm.) (0,1 cm.) 29,6) cm³. 35,4 cm³. V 3,44 cm.) 0,1 cm.) 35,4 cm³.

Nel caso della densità, trattandosi di una divisione(1), l'errore assoluto è dato da:

e_m a a b

b a b

e_m 471 g. 25 g. 35,4 cm³ (0,936 0,12) g/cm³. 0,11 g/cm³

503 cm³ 471 g. 503 cm³

d 25 g. ₌ 0,11 g/cm³

503 148 cm³

Fase B)

Massa:

e_m (475 g. 475 g.)/2 0 g.

m 475 ± 25 g.

Raggio:

e_m (8,6 cm. cm.)/2 0,1 cm.

r 8,5 cm. cm 8,4 cm. 8,5 cm. 8,6 cm. 8,5 cm 0,1 cm.

Altezza:

e_m (2,3 cm. 2,1 cm.)/2 0,1 cm.

h 2,2 cm. 2,3 cm 2,1 cm 2,3 cm 2,1 cm 2,2 cm 0,1 cm.

6,0

Dopo aver calcolato gli errori assoluti e i valori medi della massa dell'acqua, del raggio e dell'altezza del cilindro è possibile ricavare i valori del volume occupato dal liquido e della densità.

Si calcoli il volume occupato dall'acqua, utilizzando la formula:

V S h 

Sapendo che:

S πr²   

E che l'errore è dato dalla formula (4).

e_m(S) (8,5 cm.) (0,1 cm.) (8,5 cm.) (0,1 cm. 0,8) cm² 1,6 cm².

S = 1,6 cm².

e_m(V) (2,2 cm.) (1,6 cm².) ( 226 cm².) (0,1 cm.) 22,6) cm³ 26,1 cm³.

V 1,6 cm².) 0,1 cm.) 26,1 cm³.

Si calcoli, ora, la densità (1) e l'errore assoluto (5) ad essa associato:

e_m(d) 475 g.    25 g. 27 cm³ . 0,11) g./cm³ 0,11 g./cm³.

497 cm³. 475 g. 497 cm³

d = 475 25 g . 0,955 0,11 g./cm³.   

497 27cm³

Fase C)

Si calcoli il volume occupato dall'acqua, con la formula (2) e la densità con la formula (1),dopo aver trovato i valori medi di massa e volume tenendo conto degli errori assoluti.

Massa:

e_m (230 g. 220 g.)/2 5 g.

m 225 g. 230 g. 225 g. 220 g. 230 g. 220 g. 5 g.   

6,00

Altezza:

e_m ( 0,9 cm. 0,7 cm.)/2 0,1 cm.

h 0,7 cm. 0,8 cm. 0,7 cm. 0,9 cm. 0,9 cm. 0,8 cm. 0,8 0,1 cm.

6

Lato A-Lato B:

e_m (17,3 cm. 17,1 cm.)/2 0,1 cm.

Lato A-Lato B 17,1 cm.+ 17,2 cm.+ 17,3 cm.+17,2 cm.+ 17,3 cm.+ 17,1 cm. 0,1 cm.

6,00

Superficie:

e_m (17,2 cm.) (0,1 cm.) (17,2 cm.) (0,1 cm.) 1,72) cm² cm²

s 0,1 cm.) 0,1 cm.) 3,44 cm².

Volume:

e_m(V) [(0,8 cm.) (3,44 cm.)] 296 cm.) (0,1 cm.)] 29,6) cm³. 32 cm³.    V 3,44 cm.) 0,1 cm.) 32 cm³.

Densità:

e_m 225 g. 5 g. 32 cm³ 0,2) g/cm³ 0,2 g/cm³

237 cm³ 225 g. 237 cm³

d 225 5 g 0,949 0,2 g/cm³ .

59cm³

Massa:

e_m (210 g. 200 g.)/2 5 g.

m 210 g. 200 g. 200 g. 210 g. 200 g. 210g. 5 g.   

6,00

Raggio:

e_m (8,6 cm. cm.)/2 0,1 cm.

r 8,5 cm. cm 8,4 cm. 8,5 cm. 8,6 cm. 8,4 cm 0,1 cm.

Altezza:

e_m (1,0 cm. 0,8 cm.)/2 0,1 cm.

h 0,9 cm. 0,8 cm. 1,0 cm. 0,8 cm. 1,0 cm. 0,9 cm. 0,9 0,1 cm.

6,0

Si calcoli il volume occupato dall'acqua, utilizzando le formule (6-7) e utilizzando la formula (4) per il calcolo dell'errore assoluto.

Superficie:

e_m (8,5 cm.) (0,1 cm.) (8,5 cm.) (0,1 cm.) 0,8) cm² 1,6 cm².

S = 1,6 cm².

Volume:

e_m(V) [(0,9 cm.) (1,6 cm².) ( 226 cm².) (0,1 cm.)] 23) cm³. 24 cm³.

V 2 cm.) 24cm³.

Si calcoli, ora, la densità (1) e l'errore assoluto (5) ad essa associato:

e_m 205 g.    5 g. 24 cm³ . (1,01 0,1) g./cm³ 0,1 g./cm³.

203,4 cm³. 205 g. 203,4 cm³

d = 205 5 g . 1,01 0,1 g./cm³.   

206,4 24 cm³

CONCLUSIONI:

y

O 100 200 300 400 500 x

Massa -m- (g.)

Rappresentando nel piano cartesiano i valori della massa (sull'asse delle ascisse) e i valori della densità (sull'asse delle ordinate) si dovrebbe ottenere una retta parallela all'asse delle ascisse con ordinata 1, (la retta azzurra qui rappresentata), essendo la densità una grandezza costante, ma a causa degli errori accidentali e sistematici questo non accade.

Anche nel caso in cui sull'asse delle ascisse vengano riportati i valori del volume, si dovrebbe ottenere nuovamente una retta di ordinata 1 parallela all'asse delle ascisse, ciò non accade a causa degli errori precedentemente indicati.

Quest'ultimo caso è rappresentato nel grafico che segue.

y

1

^O 100 200 300 400 500 ^x

Volume -V- (cm³)

OSSERVAZIONI CRITICHE:

Confrontando i valori della densità ottenuti nelle tre fasi A),B) e C) è evidente che le misurazioni non sono perfettamente esatte: nella fase A) la densità ha valore 0,936 0,11 g/cm³, nella fase B) 0,955 0,11 g/cm³ e nella fese C) 0,949 0,2 g/cm³ e 1,01 0,1 g/cm³.

Gli errori che hanno influito sulle misurazioni sono stati sia accidentali che sistematici.

Gli errori accidentali possono essere stati quelli relativi alla lettura del valore della misura sullo strumento in questione ( bilancia o metro ) o nella taratura dei contenitori; gli errori sistematici, invece, possono essere associati alla forma dei contenitori.

Il cilindro e il parallelepipedo utilizzati, infatti, presentavano delle irregolarità, ad esempio: gli spigoli del parallelepipedo erano leggermente arrotondati e la base del cilindro non era completamente piana.

Fase D)

Se si prendesse in considerazione un altro liquido cambierebbe il valore della densità, perché a seconda della sostanza, questa grandezza derivata assume un valore specifico.

Data una qualsiasi sostanza, mantenendo costante la temperatura e la pressione, il valore della densità rimarrà costante, entro i limiti degli errori, anche variando il volume e di conseguenza la massa.

Così succede anche nel caso dell'acqua, infatti, nel passaggio dalla fase B) alla fase C) la quantità di liquido è stata all'incirca dimezzata ma il valore della densità, entro i limiti degli errori, è rimasto costante.