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SDOPPIAMENTO DEI LIVELLI ENERGETICI RELATIVI ALL'ACCOSTAMENTO DI DUE BUCHE DI POTENZIALE

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Sdoppiamento dei livelli energetici relativi all'accostamento  di due buche di potenziale


Consideriamo un potenziale a buca centrato nell'origine di altezza U0 = 60eV:

Risolvendo l'eq. di Schrödinger si ottengono tre possibili autofunzioni dell' 525f55f energia; due simmetriche e una antisimmetrica (alternate tra loro per energie crescenti a partire da quella simmetrica), di energie:

E1=5,95 eV             E2=23,24 eV               E3=48,96 eV


Se andiamo invece a considerare il caso di due buche identiche disposte simmetricamente rispetto all'origine, cioè con i centri in x0 e -x0, sempre con la stessa larghezza e profondità:

Se risolviamo l'equazione di Schrödinger separatamente nel caso di soluzioni simmetriche e antisimmetriche imponendo le condizioni di raccordo per le y(x) e le loro derivate ai bordi delle buche, otteniamo che per avere soluzioni non nulle per le y, l'energia dovrà soddisfare le seguenti equazioni (rispettivamente col - per le y simmetriche e col + per le antisimmetriche):

Con w2 = ,   b2 =  ,  a = 1 Å ,  m = me = 9,11 10-31 Kg

Dalle soluzioni di queste equazioni, al variare del parametro x0 , si ottengono 6 livelli energetici accoppiati a due a due, nel senso che a due a due hanno valori molto vicini di energia. Già per valori di x0 superiori a 1,8 Å, quindi per distanze buca-buca superiori a 1,6 Å si osserva che i livelli praticamente si sovrappongono a due a due, in quanto le differenze energetiche sono estremamente piccole.

Per esempio per x0 = 1,8 Å le differenze di energie sono:

E2 - E1 = 0,0000000146 eV

E4 - E3 = 0,00000134 eV

E6 - E5 = 0,00191 eV

A tali distanze quindi è come se le due buche fossero indipendenti, infatti osserviamo che si riottengono proprio i 3 livelli energetici calcolati per la singola buca.

 Emanuele Iannone

28 mar '99

 







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