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SUCCESSIONI - GENERALITA' SULLE SUCCESSIONI

matematica


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SUCCESSIONI

GENERALITA' SULLE SUCCESSIONI

Definizione: Si dice successione una qualsiasi funzione a : N         R. spesso per indicare una successione si usa la sequenza delle immagini:

a0 = a(0), a1 = a(1),., an = a(n),.

Esempio: La successione an = n2 è la successione dei quadrati dei n° naturali:

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16,.

Spesso è usato un modo per assegnare una successione, quello ricorsivo; che consiste nell'assegnare alcuni termini iniziali.

Esempio: La successione data da a0 = 3 e an = 2an-1 -1 è:

a0 = 3, a1 = 2 . 3 - 1 = 5, a2 = 5 . 2 - 1 = 9, a3 = 9 . 2 - 1 = 17,.

 

SUCCESSIONI ARITMETICHE

Definizione: Si dice successione aritmetica di termine iniziale a0 e ragione d (con a0, d Є R) la funzione a : N         R così definita:

a(n) = an = a0 + nd

si scrive:

a0, a1 = a0 + d, a2 = a0 + 2d, a3 = a0 + 3d,.

La successione aritmetica an = a0 + nd si esprime in forma ricorsiva assegnando il termine iniziale a0 e per ogni n ≥ 1 la formula:

an = an-1 + d

Una successione an è aritmetica               la differenza tra 2 termini consecutivi è costante ossia an - an-1 = d.

Esempio: La successione dei n°pari 0, 2, 4, 6,.. è la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione 2, definita dalla legge an = 2n.

an = an-1 + 2, (n ≥ 1), specificando che il termine iniziale a0 vale 0.

SUCCESSIONI GEOMETRICHE

Definizione: Si dice successione geometrica di termine iniziale a0 e ragione q (q Є R) la funzione

a : N         R così definita:

a(n) = an = a0qn

si scrive:

a0, a1 = a0q, a2 = a0q2, a3 = a0q3,.

Una successione an è geometrica               il rapporto tra 2 termini consecutivi è costante ossia       

  an

          = q.

 an-1

APPLICAZIONI DELLE SUCCESSIONI

Esempio: Trovare la formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo n anni, conoscendone il valore iniziale S0 e l'aumento annuale pari al 2% di S0.

Stip. iniziale: S(0) = S0                2

Stip. dopo 1 anno: S(1) = S0 +           S0

                                                   100

                                                                               2                                   2                        2                                            2

Stip. dopo 2 anni: S(2) = S(1) +        S0 =  S0 +         S0   +        S0 = S0 + 2            S0

                                                                              100                              100                    100                                        100

                                                                                        2                                        2

Stip. dopo n anni: S(n) = S(n - 1) +         S0 = S0 + n            S0

                                                                                       100                                    100

Lo stipendio cresce in modo lineare.

PERCENTUALI

Se su 75 grammi di sostanza misuriamo 9 grammi di un dato sale, diciamo che quel sale ha nella soluzione una concentrazione di 9/75; esprimere questo rapporto in percentuale significa trasformare la frazione in quella equivalente di denominatore 100, cioè 9/75 = 12/100. Diciamo che la concentrazione del sale è pari al 12%.

Per fare il passaggio alla forma % basta risolvere una proporzione:

9 : 75 = x : 100        da cui          x = 12

9 . 100

x =                    = 12

75

Così, calcolare 1/20 di una grandezza significa calcolarne il 5% perché 1/20 = 5/100.







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