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IL PROBLEMA DEI FONDAMENTI E LE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE

matematica


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 IL PROBLEMA DEI FONDAMENTI
E
LE GEOMETRIE NON-EUCLIDEE



                                 RELAZIONE DI MATEMATICA

                                           DI ARIANNA CARNEVALE BONINO

                                            E DI VICINO ELISABETTA

                                             

                                 REFERENTE: PROF. NAIRUSCONE

1. INTRODUZIONE

Più o meno un secolo e mezzo fa, avvenne nel campo della geometria una rivoluzione di carattere profondo: la geometria non-euclidea. La conseguenza più significativa che ebbe la creazione della geometria non-euclidea fu che essa obbligò i matematici a rivedere radicalmente le loro idee sulla natura della matematica e sui suoi rapporti con il mondo fisico.

Tutti i matematici fino al 1800 circa erano convinti che la geometria euclidea fosse l'idealizzazione corretta delle proprietà dello spazio fisico e delle figure al suo interno contenute. Di conseguenza si verificarono molti tentativi per costruire 242g69c l'aritmetica, l'algebra e l'analisi sulla geometria euclidea, garantendo così anche la verità di queste discipline.

E' altresì degno di nota il fatto che i filosofi della fine del Seicento e del Settecento avessero sollevato il problema di come si potesse essere certi che il corpo di conoscenze più ampio prodotto dalla scienza newtoniana risultasse vero. Quasi tutti, e in particolare Hobbes, Locke e Leibniz, risposero che le leggi matematiche, come la geometria euclidea, erano inerenti al disegno dell'universo. L'unica eccezione significativa fu David Hume, che nel "Treatise of Human Nature" (1739) negò l'esistenza di leggi o di successioni necessarie di eventi nell'universo, sostenendo che dall'osservazione di queste successioni gli esseri umani erano indotti a concludere che esse si sarebbero ripetute nello stesso modo. In particolare, le leggi della geometria euclidea non sono verità fisiche necessarie. Questa ipotesi fu controbattuta e soppiantata da Immanuel Kant; egli sosteneva, nella "Critica della ragion pura" (1781), che le nostre menti forniscono certi modi di organizzazione dello spazio e del tempo detti intuizioni e che l'esperienza viene assorbita e organizzata dalle nostre menti in accordo con queste intuizioni. Le nostre menti sono costruite in modo tale da obbligarci a vedere il mondo esterno in un unico modo. Di conseguenza certi principi concernenti lo spazio sono anteriori all'esperienza; questi principi e le loro conseguenze logiche, che Kant chiama giudizi sintetici a priori, sono quelli della geometria euclidea. Sulle basi ora descritte, Kant affermava che il mondo fisico deve essere euclideo e la sua opinione fu quella accettata dal senso comune, che riconosceva l'unicità e la necessarietà della geometria euclidea.

Malgrado la geometria euclidea sia stata considerata per circa 2000 anni la sola e vera scienza adatta a descrivere le proprietà dello spazio che ci circonda, numerosi geometri dall'epoca di Euclide in poi, analizzando criticamente e con rigore la sua opera, si resero conto di alcune imperfezioni e tentarono di rimediarvi; un certo senso di inquietudine rimase comunque, nonostante tutti questi tentativi. Nel 1829 poi comparve la prima vera opera che proponeva esplicitamente la costruzione di una geometria non-euclidea, composta dal matematico russo Lobachevskij, e con essa si può dire che fu segnato l'inizio di una vera e propria rivoluzione in campo geometrico. E' significativo che contemporaneamente a Lobachevskij, idee simili fossero venute a Gauss e a Bolyai, i quali non avevano pubblicato niente sull'argomento: il mondo scientifico era dunque pronto per la rivoluzione.

2. GEOMETRIE NON-EUCLIDEE E  IL PROBLEMA DELLA       

    COERENZA

Diversi matematici arrivarono alla conclusione nell'affermare che nelle geometrie non-euclidee:

  • Non è lecito fidarsi dell'evidenza intuitiva, poiché essa è qualcosa di estremamente soggettivo e spesso il limite dell'intuizione altro non è che il limite della fantasia;
  • L'assioma è solamente <<punto di partenza>> convenzionale;
  • Il matematico deve derivare teoremi partendo da ipotesi, preoccupandosi soltanto della coerenza logica con le premesse;
  • La geometria perde dunque la sua valenza di scienza <<descrittiva>> di una realtà spaziale e diviene scienza puramente formale, frutto di rigorosa astrazione.



Arrivati ad affermare tutto ciò, nasce però il problema della coerenza. Vi furono diversi tentativi:

il primo tentativo fu il metodo dei "modelli".

L'operazione consiste nel prendere gli assiomi astratti di un sistema, e dare loro una <<interpretazione>>, in modo tale che ad ogni assioma corrisponda una certa affermazione vera o falsa rispetto al modello. Ne è esempio il cerchio di Klein.

Ma così non si è fatto altro che "spostare" il problema della coerenza da un modello all'altro, poiché in sostanza, abbiamo tradotto un certo modello geometrico (geometria iperbolica) in un altro modello geometrico, a noi più familiare (geometria euclidea); in pratica, la coerenza della geometria iperbolica viene garantita attraverso la coerenza della geometria euclidea.

Un secondo tentativo fu quello di "trasformare" gli assiomi di Euclide in proposizioni algebriche, attraverso l'utilizzo della geometria analitica. In questo modo un punto è individuato da una coppia ordinata di numeri reali, una retta viene individuata da un'equazione di primo grado a due incognite, ecc.

Ma anche qui, non si è risolto il problema della coerenza, ma lo si è solamente spostato in un altro dominio, poiché si è solamente provato che il sistema geometrico euclideo è coerente, se lo è l'algebra.

Sarà dunque possibile una prova assoluta di coerenza?

Nel frattempo la matematica era giunta a problemi analoghi a quella della geometria.

i matematici dell'800, spinti da una forte esigenza di rigore morale, abbandonarono del tutto il criterio cartesiano dell'evidenzia, nell'intento di dare a tutta la matematica fondamenti più solidi.

Questo processo rifondativo, attraversò alcune tappe molto importanti:

  • I fondamentali concetti dell'analisi infinitesimale sono stati ricondotti alla teoria dei numeri reali grazie all'opera di L.A. Cauchy;
  • Nel 1847 G. Boole pubblicava la sua "analisi matematica della logica", nella quale intendeva sostenere che la logica costituiva una sezione della matematica;
  • "aritmetizzazione dell'analisi", nella quale la teoria dei numeri reali è descrivibile a partire dai concetti e dalla teoria dei numeri naturali. Grazie all'opera di K. Weierstrass, G. Cantor e R. Dedekind;
  • Nel 1899, il matematico italiano G. Peano, propose un modello assiomatico dell'aritmetica.

Grazie agli assiomi di Peano la teoria dei numeri naturali ricevette così il suo fondamento.

Ma si apriva ora un'altra questione da risolvere: ossia la nozione del numero naturale.

Doveva essere considerata primitiva, e quindi non ulteriormente fondabile, oppure era possibile ricondurla a qualche nozione e teoria ancora più a monte? Bisognava perciò risolvere se l'aritmetica fosse fondabile e come.

Alcuni filosofi e matematici  presero posizione sulla questione, come E. Husserl, il quale sostenne che il concetto di numero dev'essere ricondotto ai processi psicologici legati all'attività del contare.

Di tutt'altra opinione fu G. Frege ( il quale criticò  aspramente Husserl) ritenendo che la fondazione del concetto di numero vada ricercata in quella di classe, ossia egli definisce il numero come la classe di tutte le classi i cui elementi sono in corrispondenza biunivoca fra loro.

Sostanzialmente al concetto di classe, fu l'opinione di G .Cantor, il quale ritenne di poter ricondurre l'aritmetica alla teoria degli insieme.

In questo modo il rapporto matematica-logica come l'aveva pensato Boole si capovolse: non più la logica come un settore marginale della matematica, ma la matematica come una branca della logica.

Ma anche questa certezza più avanti andò svanendo.

Russell scoprì una contraddizione riguardante il concetto di classe. L'antinomia mostrava che il concetto di classe, così apparentemente "limpido", in determinate situazioni poteva condurre a ad esiti paradossali.




Questa antinomia venne scoperta da Russell fra il 1901 e il 1902, divenendo nota però solo nel 1903 quando Frege la presentò nella sua opera "Grundgesetze der Arithmetik, nella quale accennava a un tentativo di risposta.

Un anno dopo, nel 1903, Russell in appendice dell'opera "Principi della matematica", espose la teoria dei tipi logici. Essa doveva essere una rigorizzazione del linguaggio, convinto che la comparsa di contraddizioni relative ad enti matematici e relazioni, dipendesse dall'uso di un impreciso linguaggio descrittivo da parte del matematico; di qui l'esigenza di rendere rigoroso tale linguaggio. Ma anche questa teoria non riuscì del tutta convincente, poiché vennero scoperte altre antinomie, le quali non erano eliminabili attraverso la teoria dei tipi.

Anche la matematica ora, finì per trovarsi nella stessa situazione in cui abbiamo lasciato precedentemente le geometrie non-euclidee, ossia di fronte al problema della coerenza.

A questo problema diede un tentativo di risposta il matematico russo David Hilbert.

Hilbert attraverso la formalizzazione completa di un sistema deduttivo, creando trasversalmente un sistema di segni puramente formale e precisando le regole per la combinazione di tali segni, arrivò a costruire un calcolo logico avente solamente quelle caratteristiche che noi stessi gli avremmo esplicitamente dato. In un tale sistema dedurre teoremi a partire dagli assiomi equivarrà a trasformare certe serie di segni, in altre serie di segni, sulla base di alcune regole deduttive.

Hilbert arriva così a creare un linguaggio costituito dall'insieme di segni  del nostro sistema assiomatico e delle combinazioni possibili, ricorrendo a un metalinguaggio con il quale si possano fare dei confronti riguardanti il linguaggio stesso.

Hilbert arrivò a costruire perciò una prova di assoluta coerenza sulla base di questa distinzione fra il calcolo e la descrizione del calcolo.

Fino a poco tempo addietro sembrò che le ricerche di Hilbert dovessero condurci davvero allo scopo voluto; col tempo però la situazione è mutata in modo radicale grazie a una ricerca di Gödel che sosteneva l'impossibilità di raggiungere la dimostrazione della non contraddittorietà di un sistema logico-matematico servendosi solamente dei mezzi offerti da esso, ma di aggiungervi dei mezzo sostanzialmente nuovi, non esprimibili nel sistema stesso.

Gödel ha infatti dimostrato che qualunque sia il sistema formale da cui partiamo nella dimostrazione della sua non contraddittorietà, comprendente in sé la teoria dei numeri naturali e il calcolo logico troveremo sempre, qualche determinazione concettuale non esprimibile con i soli termini del sistema.

Questo risultato è però a sua volta solamente la conseguenza di un altro fondamentale teorema dello stesso Gödel, il quale sostiene che in qualunque caso il concetto di risolubile e di determinabile si riferisce solamente a un sistema formale ben precisato; di modo che, se una proposizione non è determinabile in questo sistema, rimane comunque la possibilità di costruirne un altro più ricco in cui essa lo sia. Tuttavia, per Gödel, non esiste alcun sistema nel quale tutti i concetti e le preposizioni aritmetiche risultino determinabili e definibili.

Tutto ciò sta a dimostrare che la matematica in realtà è un mosaico di sistemi infinitamente numerosi, logicamente distinti l'uno dall'altro, ognuno dei quali contiene qualche problema non decidibile all'interno di esso e non un sistema ben determinato come si pensava una volta. 







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