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DERIVABILITA'

matematica


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DERIVABILITA'

Si dice che f è derivabile in Xo Є A se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale in Xo

                  f (X) - f (Xo)

  Lim       ____________     =    l  

x→Xo         
                   X  -  Xo



Questo numero l si dice derivate prima della funzione in Xo

SIGNIFICATO GEOMETRICO della derivata prima: è il coefficiente angolare della retta tangente, se esiste, è unica ed

ha equazione:

                                          Y =  f (Xo) + f' (Xo) * ( X - Xo)

                                                           

                                        coefficiente angolare

n.b. Se la funzione non è continua non può essere derivabile

Teorema: Se f è derivabile in Xo allora deve essere continua in Xo

                 ( la continuità è condizione necessaria per la derivabilità )

                 ( l = finito cioè la funzione è derivabile)

Dimostrazione

                                       f (X) - f (Xo)

IPOTESI:        lim       ____________     =    l  

                            x→Xo         
                                          X  -  Xo

TESI:               lim         f (X) =  f (Xo)

                            x→Xo 

calcoli:                                     [  f(X) - f(Xo)  ]                          

                  f (X) =  f (Xo)   +   _____________     *   (X - Xo)                                              per ogni x ≠ Xo

                                                    ( X - Xo)

                  f (X) = f(Xo) +  f(X) - f(Xo) 

               

                 f (X ) = f (X)          è un'identità. quindi vera sempre.

                          

lim  f(X) = lim  [ f(Xo) +  (  f(X) - f(Xo) ) * (X-Xo) ]

x→Xo           x→Xo                    ___________                              =

                                                           X - Xo

= lim   f(X)  + lim           [ f(X) - f(Xo) ]  * ( X - Xo)

   x→Xo                x→Xo       _____________                               =

                                                     X - Xo

= f (Xo) + lim        f(X) - f(Xo)  *     lim      (X - Xo)   =  f (Xo)

                    x→Xo     ___________             x→Xo         

                                                                                  0

                                          X - Xo                                     

                               

                               

ℓ è finito per definizione, quindi  ℓ * 0 è sempre uguale a 0 e mai forma indeterminata ±∞

( i punti di non derivabilità devono essere comunque appartenenti al campo di esistenza)

DERIVATE

Derivate di funzioni elementari:

D senx = cosx                                   D log X = 1/x

                                                     x       x         

D cosx = - senx                     D a  =  a    log a

                                                      x        x

D loga X = 1/x loga X                   D e  =  e

 

            REGOLE DI DERIVAZIONE

Somma

D [f1 (x) + f2 (x)] = f' (x1) + f' (x2)

Prodotto

D [f1 (x) * f2 (x)] =  f' (x1) * f2 (x) +  f1 (x) * f' (x2)

 

Esponenziale

             n                n - 1           




D [f (x)]  = n [f (x)]   *  f' (x)

 Quoziente

        f (x1)           f' (x1) * f (x2) -  f (x1) * f' (x2)

 D      ──    =       __________________________

         f (x2)                           [f (x2)]²

            DERIVATE DI FUNZIONE COMPOSTA

Se t = f (x) è derivabile in X Є I, e la funzione y = g (t) è derivabile in t = f (x) Є  f ( I )

La funzione composta y = g [f (x)] è derivabile in X e si ha:

D g [f (x)] = g' (t) * f' (x)

                        g(x)                  g(x)

N.B.   D  [f (x)]      = [f (x)]    * [ g'(x)  log  f(x) + g (x) * f' (x)] 

                                                                                            ───

                                                                                             f (x) 

Esempio

       x       x

D  x  =  x       [log x + 1]

             cos x                     cos x

D (sen x)      =  (sen x )              [- sen x * log (sen x) + cos²x ]

                                                                                         ───

                                                                                         sen x

In particolare se α = ½

                                 1                                  f' (x)

              D √x =       ──      D √ f (x) =     ──   

                              2 √x                               2√ f (x)       

Esempio

                                                  - 2/3           1    

D ³√ x =    D x   =         ⅓ x      =  ______

                                                      3x  ³√x²

DERIVATE DI UNA FUNZIONE PARI E DISPARI

Sia f : Df → R | x → f (x)

Sappiamo che la f   è pari se:

 

x  Є  Df    -x  Є  Df           e       f (-x) = f (x)              (PARI)

Ed è dispari se:

x  Є  Df    -x  Є  Df           e       f (-x) =- f (x)             (DISPARI)

Supponiamo che la f sia derivabile in x Є  Df :

per la regola di derivazione di funzioni composte si ha:

Df (-x) = -f' (-x)

Pertanto:

  • Se la f  è pari allora:   Df (-x) = Df (x) = f' (x) = -f' (-x)

 

  • Se la f  è dispari allora: Df (-x) = D[-f (x)] = -f' (x) = -f' (-x)

(Quindi la f' è pari)

DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

                                                                                                                                              -1

 Se la funzione f (x)  è derivabile nel punto Xo Є I ed è f' (x )≠ 0, allora anche la funzione x = f (y) è derivabile in Yo = f (Xo) e vale:

 

            -1                       1

      (  f  )'  (Yo) =    ______

                                  f '(Xo)







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