Reti in regime armonico stazionario

Teorema

1) Per una rete del tipo esposto, che sia alimentata da generatori indipendenti di pulsazione w, si ha una risposta per t costituita da un segnale armonico di pulsazione w

2) Le caratteristiche di questa risposta si possono trovare mediante un procedimento semplificato detto "calcolo fasoriale".

Ciò vuole dire che una rete lineare dinamica, per t , è come se fosse resistiva, allora tutte le reti lineari mantengono la pulsazione.

DIM:

S(t) h(t) y

y = y_zi + y_zs

Y_zs(t)=H(s)S(s)

, e ponendo  si ottiene

Si trovino i poli per la decomposizione in fratti semplici. I poli sono

Per t il primo termine tende a zero, quindi rimangono solo gli ultimi due residui:

, che è simile al segnale in ingresso. Se si hanno più segnali si applica il principio di sovrapposizione degli effetti, sempre che la pulsazione sia w

Calcolo fasoriale

Dato un segnale armonico nella forma generica , si definisce fasore del segnale armonico la quantità . Per ogni segnale armonico esiste un unico fasore.

s(t) è funzione di (S_m, w j_s Re fasore è funzione di (S_m, j_s

Si ha così una corrispondenza lineare. y_f è armonico, quindi descrivibile tramite il proprio fasore.

Utilizzo dei fasori

1) Si sostituiscono i generatori indipendenti di differenza di tensione e di corrente con il proprio fasore;

2) Si sostituiscono i dispositivi del circuito con Z(jw

3) Si valutano i fasori interessanti con i soliti metodi di risoluzione di reti resistive;

4) Si antitrasforma il fasore.

Caratteristiche

Il fasore non ha memoria della pulsazione, quindi, di questa, ci si deve ricordare in altro modo. Il fasore è un complesso, quindi si applica l'algebra dei numeri complessi.

Data la generica caratteristica V(s) = Z(s)I(s) F

- Resistore: Z_R = R;

- Induttore: Z_L = jwL;

- Condesatore: .

In generale l'impedenza si rappresenta come somma di due termini: la resistenza e la reattanza, ovvero Z = R(w) + jX(w). L'ammettenza si rappresenta come somma di induttanza e suscettanza, Y = 1 / Z = G(w) + jB(w), in cui .

Le espressioni di reattanza e suscettanza sono:

Z_L = jX_L = jwL X_L = wL

Solitamente conviene utilizzare H(s) e poi sostituire jw. Il calcolo fasoriale è utile in caso in cui:

- E' impossibile utilizzare altro (come condensatori la cui caratteristica è espressa in Ohm);

- Si vogliono ottenere informazioni sul funzionamento della rete e problemi inversi.

In questi calcoli si utilizzano allora i diagrammi fasoriali, ovvero si rappresentano graficamente tutti i fasori della rete.

Risposta al variare di w

La rete è descrivibile tramite H(jw). Si pensi s(t) come contenente più componenti spettrali.

H(s) = L

H(jw l_{s = jw} =

Si ha la rete descritta come un filtro: dato uno spettro in ingresso, ottengo un altro spettro in uscita.

I principali tipi di filtri sono tre: il passa-alto, il passa-basso e il passa-banda.

Risonatori

Spesso occorrono dei filtri o circuiti passa-banda, come nella radio FM. Il risonatore ideale serie, costituito da una serie di condensatore e induttore, è uno di questi:

Si ha che l'intensità di corrente è nulla se , cosa che accade per , che è la pulsazione di risonanza. Fisicamente succede che se la tensione sul condensatore vale  e sull'induttore si ha . Nel caso in cui si abbia w si ha un cortocircuito.

, in cui è la dissonanza.

Il risonatore ideale non è realizzabile, si può però costruire il risonatore reale serie, come serie di una resistenza, un induttore ed un condensatore.

, in cui Q rappresenta il fattore di qualità del risonatore.

Se Q ho un risonatore migliore. Per ottenere la risposta su w, si effettua una traslazione. Si definisca Dw come l'intorno di w tale che , allora  e w =1 / Q.

Dw è la banda a -3dB. Valori tipici di Q sono Q

Riconoscere contributi risonanti in H(s)

Il denominatore si riscrive come

, in cui x è lo smorzamento.

. Dato che si ha risonanza per x < 1, allora la si ha per Q > 1 / 2.

I poli sono . Ho due poli complessi coniugati, e quindi un picco di risonanza. Se si attacca un utilizzatore si ha una risposta mutata, si può alloara attaccare un inseguitore di voltaggio.

Regime armonico con generatori a varie pulsazioni

Non si possono sommare fra loro i fasori, si sommano i segnali nel tempo. Le impedenze dipendono dalla frequanza.

Potenza in regime armonico

p = vi

Sapendo che