Il parametro

è chiamato coefficiente di reazione. Esso è un numero complesso se la rete di reazione comprende parametri reattivi, è invece un numero reale se la rete di reazione costituita unicamente da resistenze.

Si definisce amplificazione intrinseca o nominale A dell'amplificatore:

E l'amplificazione con reazione:

Da queste si ricava l'equazione generale dell'amplificazione reazionata infatti si ha:

Quindi sostituendo nella prima si ottiene:

e quindi :

Questa relazione è di fondamentale importanza per lo studio della retroazione.

Il suo modulo vale:

Si ha reazione positiva se:

infatti in questo caso si avrebbe .

Si ha reazione negativa se:

infatti in questo caso si avrebbe . Per questa condizione è sempre verificata, in questo caso infatti la retroazione è in opposizione di fase rispetto il segnale di ingresso (retroazione negativa).

E' importante osservare che nel caso di si ha:

da cui risulta che l'amplificazione dipende dal solo blocco di reazione.

Questo risultato comporta i seguenti rilevanti vantaggi:

1. l'amplificazione effettiva Ar è indipendente dall'amplificazione senza reazione A, e quindi da tutti i fattori che influiscono su A, come le caratteristiche dei transistor, la variazione della tensione di alimentazione, ecc.
2. l'amplificazione effettiva Ar è solo funzione delle caratteristiche della rete di reazione. Se quest'ultima, quindi, è costituita da sole resistenze, β e quindi Ar risulta indipendente dalla frequenza.

Un'altra importante caratteristica della controreazione negativa negli amplificatori è quella di migliorare la stabilità di guadagno e di ridurre la distorsione di non linearità e il rumore di fondo. E' importante sottolineare che tutti questi vantaggi si pagano con una riduzione dell'amplificazione. Di conseguenza gli amplificatori reazionati richiedono, a parità di tensione o potenza di uscita, una tensione di ingresso più grande che in assenza di controreazione.

La reazione negativa, per tutti i suoi vantaggi, viene molto utilizzata in molti campi dell'elettronica.

La reazione positiva può provocare un innesco di oscillazioni nell'amplificatore che, ovviamente, non è desiderato. Pertanto questo tipo di reazione viene utilizzata in casi particolari (per esempio negli oscillatori).

Effetti della reazione

a)  Riduzione del rumore e della distorsione

Il rumore, o disturbo, è la generazione di onde a frequenza casuale che si sovrappongono al segnale utile mascherandolo. Un buon amplificatore deve avere un rapporto segnale rumore alto .

Il disturbo può avere origine interna o esterna all'amplificatore. Se ha origine esterna,l'amplificatore non è in grado di distinguerlo dal segnale, per cui lo tratta allo stesso modo, cosicché il rapporto segnale rumore rimane inalterato anche in presenza di retroazione.

Se invece il disturbo ha origine interna all'amplificatore, la presenza della retroazione può produrre un certo beneficio. Si consideri il circuito sopra riportato:

Per l'amplificatore non reazionato vale la relazione:

E il rapporto segnale/rumore

In caso di presenza di reazione negativa si ha:

Sostituendo la Vi nella prima equazione si ha:

Confrontando l'ultima equazione con la prima si osserva che la retroazione ha ridotto sia il segnale che il disturbo del rapporto .

Per comprendere ora l'effetto che ne può risultare sul rapporto segnale rumore occorre distinguere due casi:

1. a parità di segnale di ingresso (se la Ve è la stessa sia per l'amplificatore non reazionato che per l'amplificatore reazionato) il rapporto segnale/rumore rimane inalterato in quanto entrambi i fattori dell'ultima vengono ridotti per .
2. se il segnale di ingresso del circuito reazionato viene aumentato della quantità , cioè a parità del segnale di uscita con il circuito non reazionato, abbiamo:

E il rapporto segnale/rumore

Il rapporto segnale/rumore si è incrementato del fattore .

Come si vede la retroazione ha prodotto un miglioramento del rapporto segnale/rumore. E' questo uno dei motivi per cui si impiegano circuiti amplificatori retroazionati..

La distorsione è la deformazione del segnale con generazione di onde armoniche a frequenza multipla della fondamentale. Da un punto di vista più generale le frequenze armoniche, che si producono all'interno dell'amplificatore, possono essere considerate alla stessa stregua dei disturbi e trattate come tali. Ne segue che, in un amplificatore retroazionato, a parità di segnale di uscita, la percentuale di distorsione diminuisce nel rapporto . Ma la distorsione diminuisce anche a parità del segnale di ingresso perché, siccome il quadripolo amplificatore proprio , per effetto della reazione viene ad essere interessato da un segnale ridotto di , vengono ad essere interessati tratti più limitati delle caratteristiche con minore distorsione globale.

b) Influenza della reazione sulla banda passante

Si può dimostrare che detto aumento avviene con la seguente legge:

Dove B è la larghezza di bada senza reazione.

La figura successiva ne illustra il concetto.

A

A*0,707

Ar

Ar*0,707

f₁r f₁ f₂ f₂r f

B

Br

c)  Stabilità di guadagno

Un amplificatore sollecitato con segnali a frequenza e ampiezza diverse è soggetto a variare la propria amplificazione, in misura più o meno grande in virtù dalla costituzione del circuito elettrico. Ciò è un fatto negativo che va generalmente evitato o, quanto meno, ridotto.

Si definisce stabilità di un circuito amplificatore il rapporto fra la variazione dell'amplificazione che l'amplificatore può subire e l'amplificazione stessa:

E' chiaro che l'amplificatore sarà tanto più stabile quanto più piccolo risulterà .

Se l'amplificatore e retroazionato, l'amplificazione è data da:

E la stabilità

Per calcolarla, si esegua il differenziale della funzione :

e dividendola per si ottiene:

Si deduce che:

La retroazione negativa in un amplificatore migliora la stabilità del fattore .

Tipi di amplificatori retroazionati

Esistono quattro fondamentali tipi di controreazione:

1. Controreazione di tensione riportata in parallelo all'ingresso (tensione-corrente) (parallelo-parallelo)
2. Controreazione di corrente riportata in serie all'ingresso (corrente-tensione) (serie-serie)
3. Controreazione di tensione riportata in serie al'ingresso (tensione-tensione) (serie-parallelo)
4. Controreazione di corente riportata in parallelo all'ingresso (corrente-corrente) (parallelo-serie)

Nelle figure seguenti vengono riportate le quattro configurazioni:

Parallelo-parallelo

Serie-serie

I

Serie-parallelo

Parallelo-serie

Per l'amplificatore con retroazione parallelo-parallelo l'impedenza di ingresso e l'impedenza di uscita diminuiscono del fattore (1 - β A); in particolare si ha:

e

Per l'amplificatore con retroazione serie-serie l'impedenza di ingresso e l'impedenza di uscita aumentano del fattore ; in particolare si ha:

e

Per l'amplificatore con retroazione serie-parallelo l'impedenza di ingresso aumenta e l'impedenza di uscita diminuisce del fattore , in particolare si ha:

e

Per l'amplificatore con retroazione parallelo-serie l'impedenza di ingresso diminuisce e l'impedenza di uscita aumenta del fattore (1 - β A); in particolare si ha:

e

Diagrammi di Bode

L'uso del decibel

Quando bisogna esprimere rapporti di grandezze espressi da numeri troppo grandi è preferibile riferirsi alla scala logaritmica. L'unità di questa scala logaritmica è chiamata Bel; ma più spesso viene utilizzato il decibel (dB) che è dieci volte il Bel. Così il rapporto fra due potenze P₁ e P₂ ha il valore di un numero di Bel calcolato secondo la seguente relazione:

Il numero di decibel sarà quindi:

Guadagno di potenza

Per definizione se P₂ > P₁ il numero dei dB misura un guadagno di potenza e si indica con Gp, se invece P₂ < P₁ il numero dei dB misura un'attenuazione.

Se si vuole misurare il guadagno di tensione, basta sviluppare la seguente relazione in funzione di V:

Guadagno di tensione = Gv

Si è supposto che le resistenze fossero uguali.

Anche il guadagno di corrente è espresso in decibel

Guadagno di corrente

Generalmente in elettronica si usa misurare in dB la tensione o la potenza di un segnale, riferendolo in rapporto al valore unitario. Per esempio ad un segnale di 20 mV corrisponde un valore in decibel di -34 dB. Infatti, riferendo 20 mV ad 1 , l'espressione in dB risulta:

Si parla di dBm se il riferimento è di 1 mW (viene utilizzato molto spesso per la potenza)

Valgono le seguenti regole generali:

1. nella misura di potenza per passare dai dB ai dBm, basta sommare 30 al valore dei dB
2. il raddoppio di una tensione corrisponde in dB ad un aumento di 6 dB
3. il raddoppio di una potenza corrisponde in dB ad un aumento di 3 dB

Il piano di Gauss s

Si definisce piano di Gauss il piano della variabile complessa s = α + j  ω determinato da un sistema di assi cartesiani aventi nell'ascissa la variabile reale α e sull'ordinata la variabile immaginaria j ω.

J ω

Piano di Gauss s

Nel caso particolare di regime sinusoidale si ha che la parte reale α della frequenza complessa è uguale a zero, per cui si ha s = j ω.

Funzione di trasferimento - Poli e Zeri

Si supponga di volere studiare il comportamento di un sistema elettronico qualsiasi nel dominio della frequenza complessa s:

Ingresso   Uscita

Il rapporto uscita/ingresso del sistema in esame prende il nome di Funzione di trasferimento. Esso è in genere espressa come rapporto tra due polinomi nella variabile complessa s = α + j ω.

Pertanto se si indica con F(s) la funzione di trasferimento e con N(s) e D(s) due polinomi distinti, si può scrivere:

Dove:

1. z₁,z₂  etc. sono gli zeri del numeratore, cioè sono quei valori di s per cui si ha F(s) =0. Essi si chiamano zeri della funzione di trasferimento.
2. p₁,p₂  etc. sono i poli del denominatore, cioè sono quei valori di s per cui si ha F(s) → ∞ . Essi si chiamano poli della funzione di trasferimento.
3. Ks è la costante chiamata costante moltiplicativa della funzione di trasferimento.

Nel caso particolare di regime sinusoidale, con parte reale α = 0, il polinomio diventa:

Questa rappresenta a Fnzione di trasferimento in regime sinusoidale, e serve per calcolare la risposta dei circuiti elettrici a segnali sinusoidali.

Kω è la costante moltiplicativa della Funzione di trasferimento in regime sinusoidale.

Esempio.

Quando abbiamo studiato il filtro passa-basso RC abbiamo ricavato la seguente funzione di trasferimento

Raccogliendo RC al denominatore si ottiene

Riscrivendola otteniamo:

Quindi a Funzione di trasferimento di un filtro passa-basso RC ha come polo il termine p₁ = -1/(RC), e Kω = 1/(RC).

Come si è detto, gli zero z del numeratore della

rappresentano gli zeri della Funzione di trasferimento F(s), e gli zeri p del denominatore sono i poli.

In figura vengono rappresentati graficamente i poli e gli zeri di una funzione di trasferimento.Lo zero si indica con un cerchietto e il polo con una crocetta.

poli

zeri

Nell'esempio si hanno quattro poli e quattro zeri. Viene definito semipiano destro la zona destra dell'asse j ω e semipiano sinistro la zona che si trova sulla sinistra.

Siccome la Funzione di  trasferimento interpreta il modo di funzionare di un circuito elettrico, si può analizzare il comportamento del circuito una volta conosciuto il collocamento dei poli e degli zeri nel piano complesso.

Diagramma di Bode di una funzione di trasferimento

Il diagramma di Bode permette di rappresentare graficamente la Funzione di trasferimento nel caso di segnali sinusoidali, cioè nel caso in cui si abbia α = 0 per cui la frequenza complessa risulta essere s = j ω.

Di conseguenza la funzione di trasferimento si esprime come segue:

Con m >0 se si hanno zeri nell'origine

Con m<0 se si hanno poli nell'origine

Che si può scrivere come:

avendo posto:

I valori:

sono le costanti di tempo della rete in esame.

La funzione di trasferimento ha come modulo espresso in dB:

La fase vale:

Si conclude che qualsiasi funzione di trasferimento in regime sinusoidale, può essere rappresentata dal diagramma delle ampiezze e dal diagramma delle fasi deducibili dalle ultime due equazioni. Questi vengono chiamati diagrammi di Bode.

• Costante moltiplicativa

La costante moltiplicativa in modulo e fase è data da:

Entrambe le espressioni sono indipendenti da ω per cui la loro rappresentazione grafica sono le rette di figura:

F(jω)[dB]   φ(jω)

20 Log (K)    +180°

ω [Log]   ω [Log]

• Zero nell'origine

Lo zero nell'origine in modulo e fase è dato da:

con m>0

con m>0

In modulo ogni retta ha la pendenza di (m 20) dB per decade.

Per m = 1 si hanno le seguenti rappresentazioni:

F(jω)[dB]   φ(jω)

+90°

10 100 1000 [Log]   1 10 100 1000 ω [Log]

L'intersezione di queste rette con l'asse delle ascisse si ha per ω=1, infatti 20 Log 1 = 0.

• Polo nell'origine

Il polo nell'origine in modulo e fase è dato da:

con m<0

con m<0

In modulo ogni retta ha la pendenza di (m 20) dB per decade.

Per m = - 1 si hanno le seguenti rappresentazioni:

F(jω)[dB]   φ(jω)

[Log]    ω [Log]

L'intersezione di queste rette con l'asse delle ascisse si ha per ω=1, infatti -20 Log 1 = 0.

• Zero non nullo

Si consideri il caso di avere uno zero non nullo. Si ha:

e la fase:

Per tracciare il diagramma di Bode si analizzino le equazioni sopra scritte avariare della pulsazione ω nelle tre seguenti distinte situazioni:

1. per si ha: . In queste condizioni si ha una retta giacente sull'asse delle ascisse, che rappresenta l'asintoto alla curva reale per ed approssima, per Bode, correttamente questa parte di curva reale.
2. per si ha: . In queste condizioni si ha una retta di pendenza di +20dB/decade, che rappresenta l'asintoto alla curva reale per ed approssima, per Bode, correttamente questa parte della curva reale.

La sua intersezione con l'asse delle ascisse si ricava eguagliando a zero l'equazione soprascritta nel punto , cioè:

da cui si ricava: ; pulsazione di spezzamento relativa ad uno zero.

Questo punto è quello di intersezione dei due asintoti ed viene chiamata pulsazione di spezzamento (o d'angolo).

3. per si ha: . Questa pulsazione non è altro che quella vista precedentemente. Si deduce che il punto di intersezione dei due asintoti, facente parte del diagramma di Bode, si discosta dalla curva reale di 3 dB.

In conclusione il modulo della funzione di trasferimento viene rappresentato da Bode con due spezzate che si intersecano sull'asse delle ascisse nel punto che è lo zero della funzione stessa.

ω

Il diagramma di Bode della fase viene anch'esso approssimato, con Bode, con le spezzate della figura successiva tracciate con le seguenti approssimazioni:

per si ha

per si ha

Nell'intervallo di ogni decade la pendenza della retta è di 45° per decade, infatti:

per si ha

per  si ha

Di conseguenza si può dire che i diagramma di Bode della fase è costituito da tre spezzate; una spezzata giace sull'asse delle ascisse, una è parallela all'asse delle ascisse ed ha ordinata pari a 90°, la terza spezzata e ha pendenza positiva di 45°/decade ed interseca la prima spezzata nel punto di ascissa e la seconda spezzata nel punto di ascissa .

ω ₁ 10ω ₁ ω

• Polo non nullo

Si consideri il caso di avere un polo non nullo. Si ha:

e la fase:

Per tracciare il diagramma di Bode si analizzino le equazioni sopra scritte avariare della pulsazione ω nelle tre seguenti distinte situazioni:

4. per si ha: . In queste condizioni si ha una retta giacente sull'asse delle ascisse, che rappresenta l'asintoto alla curva reale per ed approssima, per Bode, correttamente questa parte di curva reale.
5. per si ha: . In queste condizioni si ha una retta di pendenza di -20dB/decade, che rappresenta l'asintoto alla curva reale per ed approssima, per Bode, correttamente questa parte della curva reale.

La sua intersezione con l'asse delle ascisse si ricava eguagliando a zero l'equazione soprascritta nel punto , cioè:

da cui si ricava: ; pulsazione di spezzamento relativa ad un polo.

Questo punto è quello di intersezione dei due asintoti ed viene chiamata pulsazione di spezzamento (o d'angolo).

6. per si ha: . Questa pulsazione non è altro che quella vista precedentemente. Si deduce che il punto di intersezione dei due asintoti, facente parte del diagramma di Bode, si discosta dalla curva reale di 3 dB.

In conclusione il modulo della funzione di trasferimento viene rappresentato da Bode con due spezzate che si intersecano sull'asse delle ascisse nel punto che è il polo della funzione stessa.

ω ₁ ω

Il diagramma di Bode della fase viene anch'esso approssimato, con Bode, con le spezzate della figura successiva tracciate con le seguenti approssimazioni:

per si ha

per si ha

Nell'intervallo di ogni decade la pendenza della retta è di -45° per decade, infatti:

per si ha

per  si ha

Di conseguenza si può dire che i diagramma di Bode della fase è costituito da tre spezzate; una spezzata giace sull'asse delle ascisse, una è parallela all'asse delle ascisse ed ha ordinata pari a -90°, la terza spezzata e ha pendenza negativa di -45°/decade ed interseca la prima spezzata nel punto di ascissa e la seconda spezzata nel punto di ascissa .

ω ₁ 10ω ₁ ω

Margine di fase e di guadagno (Criterio di Bode)

Il criterio di Bode si basa sul tracciamento dei suoi diagrammi della funzione di trasferimento .

Con riferimento ad un amplificatore, è noto che

• in banda si ha una amplificazione costante e fase costante;
• fuori banda si ha, per ogni circuito tagliante, o polo, una attenuazione di 20 dB/decade e sfasamento di 90°.

Ammesso perciò che in centro banda la retroazione abbia carattere negativo e il sistema sia quindi in condizioni stabili, l'instabilità potrà insorgere solo se:

si potrà verificare retroazione positiva,

tale retroazione sarà di entità tale da provocare innesco.

Per verificare la seconda condizione dovrà essere quindi .

Perché si verifichi la prima condizione sarà necessario che, in tale campo, la retroazione passi da negativa a positiva, ovvero cambi segno, il che equivale ad una retroazione di fase di 180°.

Premesso quanto sopra, secondo il criterio di Bode, si tracciano i diagramma di modulo e fase della funzione . Successivamente, in corrispondenza ai punti di amplificazione 0 dB si controlla l'angolo di fase. Se l'angolo è inferiore a 180°, il sistema è stabile. Se l'angolo è superiore a 180° il sistema è instabile.

dB

Sistema stabile

dB

Sistema instabile

Definiamo i margini di guadagno e fase coi diagrammi di Bode.

Si supponga un amplificatore che funzioni in condizioni di stabilità, quindi che in corrispondenza a (punto P) presenti un angolo di fase inferiore a 180° (punto Q). Il margine di fase è dato da:

.

Reciprocamente per calcolare l margine di guadagno. Si verifichi il valore posseduto dalla funzione in corrispondenza della fase di 180° (punto R). Tale valore (punto S), negativo, rappresenta i margine di guadagno.

dB

P

M_G

S

Q

_M

R