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Probabilità di A dato B
detta una partizione di
Teorema della
probabilità totale
Formula di Bayes per passare dalla priorità a priori a quella a posteriori
Formula di Bernoulli di successi su
eventi
Funzione di distribuzione cumulativa o ripartizione di probabilità
Proprietà 1)
è non decrescente 2)
è continua a destra
727c23h 727c23h 3) 4)
727c23h 727c23h 5)
727c23h 6)
Probabilità di trovarsi in un intervallo
Funzione densità di probabilità
Proprietà 1)
727c23h 2)
727c23h 727c23h 3)
Densità normale
727c23h 727c23h
Densità normale o gaussiana (usata per modellare il rumore).
727c23h 727c23h 727c23h 727c23h
727c23h 727c23h 727c23h 727c23h
727c23h 727c23h 727c23h 727c23h
727c23h 727c23h 727c23h 727c23h
727c23h 727c23h 727c23h
727c23h 727c23h
Distribuzione di Laplace che modella il segnale vocale
727c23h 727c23h 727c23h 727c23h
Distribuzione esponenziale che modella i guasti
727c23h 727c23h
Distribuzione binomiale
=# successi in un esperimento bernoulliano di
prove
Distribuzione geometrica
=# di volte che devo eseguire un esperimento per avere
successo
Media o valore atteso o momento del primo ordine
se continua 727c23h
se discreta
in generale
Si definisce la varianza come la differenza tra il valore quadratico medio e la media quadratica
Funzione di distribuzione cumulativa congiunta
Le distribuzioni marginali si ricavano come segue
Densità di probabilità congiunta
se ed
sono statisticamente
indipendenti
TEORIA DELL'INFORMAZIONE
quantità di informazione associata al simbolo e si misura in bit
Entropia di informazione
l'uguaglianza
vale solo nel caso di equiprobabilità
Un codice è univocamente decodificabile e non viola la regola del prefisso e vale la disuguaglianza di Kraft
# medio di bit
se
ossia se il # di bit
del simbolo
è proprio
TEORIA DEI SEGNALI
con supporto
si dice che è ortogonale a
se
con detta simbolo o delta
di Kronecker
se allora le
si dicono ortronormali
Un segnale ad energia finita o a
potenza media finita definito su
si può rappresentare su
come combinazione lineare
dei segnali
come segue
con
Considerazioni energetiche
ove
Un insieme di segnali è completo se l'errore quadratico medio è nullo, in formule
Si parte da un insieme generico di segnali a supporto su
Si definiscono i segnali e i segnali
che sono
rispettivamente i segnali ortogonali e ortonormali.
1° segnale)
2° segnale) 727c23h
727c23h dove
è la proiezione di
su
° segnale)
727c23h dove
è la proiezione di
su
segnale ad energia
finita o a potenza media finita su
sia la base di Fourier,
allora
si può scrivere come
segue
con
si ricorda che
se è reale il suo
sviluppo in serie è reale e i coefficienti sono generici con
se è reale e pari il suo
sviluppo in serie è reale e anche i coefficienti, dove
se è reale e dispari il
suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti immaginari puri, dove
per l'energia del segnale si ha
727c23h
Proprietà della Trasformata di Fourier F
F
F
F
F
F
F
F
F
Se è reale pari
è reale
Se è reale dispari
è immaginaria pura
Definizioni della di Dirac:
727c23h 727c23h
727c23h 727c23h 727c23h
727c23h 727c23h 727c23h 727c23h
Prodotto di convoluzione
Energia di un segnale definito su
Densità spettrale di energia :
Teorema di Parseval (per i segnali ad energia finita e a potenza media finita) che mi dice che trasformando o sviluppando in serie di Fourier io non perdo alcuna informazione sul segnale
oppure
Formulazione generale del Teorema di Parseval per segnali ad energia finita (o periodici a potenza media finita)
se
allora
Potenza media (normalizzata) di un segnale
è reale,
non negativo e pari
potenza
normalizzata
Se è periodico si può
scrivere come
e
posto allora
quindi da cui
allora la potenza di
si esprime come
ed il suo spettro di
potenza come
Se la grandezza in esame è una potenza allora
il decibel è
Se la grandezza in esame è una tensione o una
corrente allora il decibel è
Si definisce decibel al milliwatt
Formula trigonometrica di Eulero
TEORIA DEI SISTEMI
Un sistema è lineare se ad una combinazione lineare degli ingressi corrisponde una combinazione lineare delle uscite.
Un sistema si dice tempo invariante o invariante
per traslazioni temporali se l'uscita ritardata di una
quantità
coincide con l'uscita
ottenuta inviando in
ingresso il segnale
ritardato della stessa
quantità.
La risposta all'impulso caratterizza un sistema LTI (Linear Time Invariant)
dove
è la risposta del sistema LTI quando all'ingresso c'è
facendo la trasformata di Fourier
dove
è detta funzione di
trasferimento
Densità Spettrale di Energia dell'ingresso
Densità Spettrale di Energia dell'uscita
Un sistema LTI è non distorcente se il modulo
dell'uscita è costante e la fase varia in maniera lineare con
Scritto
lineare con
lineare con
PROCESSI CASUALI
Stazionario dell' ordine
Stazionario del primo ordine
Un processo casuale (p.c.) che dipende dal tempo in maniera periodica è detto ciclostazionario
Media temporale di un p.c.
p.c. stazionari
Media statistica o media di insieme di un p.c.
p.c. ergodici
Se un p.c. stazionario è tale che
il processo si dice
ergodico
se il p.c. è stazionario del secondo ordine la
media congiunta non dipende dal tempo, posto
Spettro di potenza di un segnale numerico sotto l'ipotesi di stazionarietà
con
e
simbolo
NRZ (non return to zero)
727c23h 727c23h NRZ
unipolare
727c23h 727c23h NRZ antipodale
RZ (return to zero) è detto duty cycle
727c23h 727c23h RZ
unipolare
727c23h 727c23h RZ antipodale
PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO UN SISTEMA DI TRASMISSIONE
è la velocità di
trasmissione espressa in
è la velocità di
segnalazione espressa in
è la banda
(unilatera) occupata dal segnale espressa
in
è l'efficienza espressa
in
SEGNALE |
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NRZ binario |
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RZ (50%) binario |
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NRZ quaternario |
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|
727c23h 727c23h 727c23h 727c23h 727c23h
INTERFERENZA INTERSIMBOLICA (ISI)
727c23h 727c23h
727c23h
727c23h posto segue
727c23h detto
l'istante di
campionamento
Distorsione di picco
con
è minima. Bisogna che
altrimenti si hanno
errori sistematici
Primo teorema di Nyquist che ci dice come deve comportarsi la trasformata di Fourier di un segnale elementare affinché questo segnale elementare ci assicuri ISI nulla.
dove
è il segnale
elementare
SEGNALE A COSENO RIALZATO
con
e
graficamente:
è la banda minima
inizio e fine raccordo
banda totale
(unilatera)
Coefficiente di ROLL-OFF
rapporto tra la
banda aggiuntiva
e la banda minima
richiesta
se è zero mi trovo nel
caso di una porta e non ho banda aggiuntiva, se
è uno vuol dire che ho
quindi . Conoscendo
si calcola
come
detta
la velocità do
segnalazione in
e
segue
ossia
e se ho una banda
, siccome
segue che
IL RUMORE
Sia un p.c. stazionario,
ergodico, gaussiano, la densità spettrale del suo valore quadratico medio vale
con
in
,
è la costante di Plank
727c23h 727c23h è la costante di
Boltzman
Se ci si trova ad operare con e
allora l'espressione
del valore quadratico medio di
si approssima come
è la potenza
disponibile (siamo in situazione di adattamento) che si distribuisce a valle e
vale
(N.B. la resistenza
non ha pedice perchè siamo in adattamento)
La densità spettrale della potenza di rumore termico disponibile di una resistenza
a vuoto sarà
con
che è la potenza di rumore
CIFRA DI RUMORE
Il sistema è lineare
e supponiamo il guadagno costante
Notare che è costante perchè
generato internamente al bipolo.
Integrando sulla
banda si ha per la seguente
espressione
dove
è la potenza di rumore
disponibile all'uscita.
Nel caso in cui il doppio bipolo fosse una
linea si ha che
,ossia la cifra di rumore coincide con l'attenuazione della linea.
Riepilogando:la cifra di rumore è il rapporto tra la densità spettrale della potenza di rumore all'uscita del doppio bipolo e la densità spettrale della potenza di rumore alluscita del doppio bipolo ne caso che il doppio bipolo non introduca rumore.
questa è la
definizione operativa di cifra di runore.
per convenzione.
Si ha
Essendo il termine che tiene
conto della generazione interna
di rumore del doppio bipolo. Si vede facilmente che
e che
Cifra di rumore
equivalente e temperatura equivalente di una cascata di doppi bipoli
CANALE HERTZIANO
La potenza ricevuta è
Con guadagno dell'antenna ricevente e
guadagno dell'antenna
trasmittente
guadagno di
propagazione nello spazio libero
potenza trasmessa
è la lunghezza d'onda
ed
è la frequenza a cui
stiamo operando
è la distanza tra le
due antenne
Detta la densità spettrale
della potenza di rumore disponibile all'ingresso di un canale, la densità
spettrale della potenza di rumore disponibile all'uscita dello stesso canale
sarà
Ossia
Un processo casuale gaussiano è detto bianco o non colorato, quando non
dipende dalla frequenza, ossia quando la sua densità spettrla edi potenza è
costante e vale per convenzione , il fattore ½ tiene conto del fatto che le bande in genere
sono unilatere.Con
PROBABILITA' DI ERRORE SUL SIMBOLO E SUL BIT (2-ASK, BPSK, 2-PSK)
Detta
la quantità in figura,
la probabilità di errore di un simbolo vale
CASO NRZ ANTIPODALE BINARIO
con
banda del segnale
(unilatera) ed
come già definito
Si ha dove
è il rapporto segnale
rumore
(all'uscita). Se il
segnale è binario si ha
, ossia la probabilità di errore sul simbolo coincide con
quella sul bit, quindi
e
con
. Si userà l'espressione più adatta in base al contesto.
con
banda del segnale
(unilatera) ed
come già definito
A
Si ha dove
è il rapporto segnale
rumore
(all'uscita). Siamo
nel caso di segnale è binario.
Notare che a causa della presenza della nel mezzo della banda
l'energia del segnale è dimezzata.
FILTRO ADATTATO (esalta il segnale ma non il rumore)
Sia un segnale ed
un p.c. (rumore)
Le ipotesi sono:
è limitato nel tempo,
es.
è nota
Segue che il filtro adattato ha la seguente Funzione di Trasferimento (FdT)
Si ha
dove
Quindi utilizzando
un filtro adattato ho un guadagno di , perché a parità di probabilità uso metà energia ovvero a
parità di energia dimezzo la probabilità di errore.
4-ASK
Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (indipendente dal segnale elementare).
Per i segnali alle
estremità vale (una sola coda
accavallata)
Per i segnali
centrali invece vale (entrambe le code
accavallate)
La probabilità
media vale invece , in generale, con costellazioni equispaziate di
simboli si ha
. La probabilità di errore sul bit si ricava, nota
, come
, con
numero dei simboli.
Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (segnale NRZ antipodale).
Fissata l'origine
tra ed
, l'energia media
, da cui
e quindi
.
Siccome e
si ha.
INVILUPPO COMPLESSO
, con
pulsazione istantanea,
segnale modulato,
reale, la cui
è centrata in 0
La densità
spettrale di potenza di si può scrivere come
, notare che
può essere complesso
MODULAZIONE DI AMPIEZZA
727c23h :segnale
modulante.
:segnale
di portante
:segnale
modulato
In questo caso e quindi
Efficienza . Per
l'utilizzo di un demodulatore coerente deve essere
PROBABILITA' DI ERRORE DI UN 4-PSK
Detta la probabilità di
errore sul simbolo e sul bit di un BPSK si ha in generale
727c23h
ma se il demodulatore del 4-PSK è composto di due demodulatori BPSK indipendenti si ha:
727c23h
e quindi il BPSK ed il
4-PSK hanno la stessa probabilità di errore sul bit.
PROBABILITA' DI ERRORE DI UN 16-QAM
NUMERO MEDIO DI RITRASMISSIONI IN UN SISTEMA CON CRC
dove
indica la probabilità
di ritrasmettere
PCM
Canale BSC con
probabilità di errore , quantizzatore con
bit
Livelli di
quantizzazione
passo di
quantizzazione
potenza associata
all'errore di quantizzazione
potenza di segnale
all'uscita del quantizzatore
rapporto segnale
rumore all'uscita del quantizzatore, numero puro
rapporto
segnale rumore all'uscita del quantizzatore in
rapporto
segnale rumore all'ingresso del quantizzatore, numero puro
potenza associata
all'errore sul bit in trasmissione
rapporto
segnale rumore massimo all'ingresso del ricevitore
rapporto segnale
rumore medio all'ingresso del ricevitore
in ed in corrispondenza
di
vale
relazione tra
massimo e medio
rapporto segnale
rumore sul bit all'uscita del canale BSC
727c23h rapporto
segnale rumore sul bit all'uscita del canale BSC in
è la probabilità di
soglia che si ricava ugluagliando
e
ottenendo
valore della
probabilità di soglia
è il numero
massimo di bit del quantizzatore per un afissata
Dato il guadagno in
, allora si può scrivere
Se aumenta
si sposta a sinistra e
viceversa.
Rapporto segnale
rumore all'ingresso del ricevitore dove:
è la costante
di Boltzmann
è la potenza di
segnale all'ingresso della linea
questo fattore è
dovuto alla modulante che è una sinusoide
Il rapporto segnale
rumore all'uscita del demodulatore raddoppia o in si somma 3
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