TEOREMA DI LAGRANGE

matematica

TEOREMA DI LAGRANGE

Enunciato: Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b] chiuso e derivabile in (a; b) aperto, esisterà un punto x₀ appartenente ad (a;b) tale che f ' (x₀)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

Dimostrazione algebrica: Posto g(x)=f(x)-, calcolando il valore g(x) quando x=a ed x=b, troveremo che g(a)=g(b)=0. Da tale relazione sapendo che la funzione g(x) è continua e derivabile in un punto e imposto che g(a)=g(b)=0, per il teorema di Rolle la funzione è costante con derivata prima uguale a zero.

Quindi avremo g '(x)=f '(x₀)-[f(b)-f(a)]/(b-a); ciò comporta che f '(x₀)=[f(b)-f(a)]/(b-a). La tesi proposta nell'enunciato risulta quindi dimostrata

Significato geometrico Il significato geometrico che viene dato al teorema di Lagrange è di facile comprensione in quanto fa riferimento al concetto di tangente in un punto. Se un arco di curva è dotato di tangente, esistera' un punto x₀ dove la tangente è una retta parallela alla secante che congiunge i due estremi della funzione (o anche arco di curva) dato.