i₃ = tasso quadrimestrale;

i₄ = tasso trimestrale;

i₆ = tasso bimestrale

i₁₂= tasso mensile

Esempi.

Tasso annuale, tempo 5 mesi trasformo il tempo in frazione di anno ovvero 5/12 (12 mesi a denominatore = 1 anno)

Tasso annuale, tempo x giorni trasformo il tempo in frazione di anno ovvero X/360 (uso a denominatore, se non specificato diversamente dall'esercizio, l'anno commerciale)

Tasso trimestrale, tempo 2 anni e 6 mesi trasformo il tempo, ovvero 24/3 + 6/3 = 8 trimestri + 2 trimestri = 10 trimestri

Tasso semestrale, tempo 1 anno e 3 mesi trasformo il tempo, ovvero 12/6 + 3/6 = 2 semestri + 0,5 = 2,5

La trasformazione del tempo, fa sì che nel calcolo degli interessi, diversamente da quanto applicato nei calcoli effettuati in tecnica commerciale, non abbiamo il denominatore Altra caratteristica importante, che differenzia i calcoli di matematica finanziaria è la trasformazione del tasso in numero decimale: il tasso del 5% risulta così, nell'applicazione del calcolo preventivamente trasformato in 0,05 ovvero 5/100, un tasso dello 0,5% diventa 0,05 ovvero 0,5/100 e così via.

Due capitali possono essere confrontati tra loro solo se valutati alla stessa epoca, ovvero in caso di CAPITALIZZAZIONE (trovare l'interesse prodotto da un capitale, e quindi il risultante MONTANTE, capitale + Interessi) dovrò portare i capitali AVANTI nel tempo, mentre, se conosco il montante e desidero determinare il capitale che lo ha generato, dovrò ATTUALIZZARE i capitali, portandoli indietro nel tempo, ovvero calcolare il solo ammontare dei capitali, "scorporandolo" dall'interesse. Anche il calcolo dello sconto è un'operazione di attualizzazione.

Capitale Capitale + Interessi

Attualizzazione

Linea del tempo

Capitalizzazione

Valore  Montante

attuale 

Di solito il valore attuale corrisponde a 0, oggi.

Regime di capitalizzazione semplice

Caratteristica degli interessi calcolati in regime di capitalizzazione semplice è quella di non essere fruttiferi per il periodo successivo, ovvero non venire reimpiegati insieme con il capitale che li ha generati per un periodo ulteriore. Di solito gli Interessi sono applicati su un periodo inferiore o uguale ad un anno.

Formule per i calcoli in  regime di capitalizzazione semplice

Legenda:

I = interesse

i = tasso percentualizzato

t = tempo d'impiego

C = capitale originario

M = montante (capitale + Interessi)

Sc = sconto

Va = valore attuale

Formule dirette

I = C x i x t ; M = C x (1+ i x t)

oppure, più semplicemente M = C +I (se si hanno a disposizione i dati Capitale ed Interessi,conviene applicare questa seconda formula)

Formule inverse

C = ____I____ ;   t = ____I____; i = _____I_____

i x t C x i C x t

Sconto operazione inversa della capitalizzazione

Lo sconto (Sc) è il compenso che spetta a colui che rimborsa con un anticipo di tempo t un prestito di valore nominale C il "valore"dello sconto come valore a se stante si evince con la nota formula Sc = C x i x t

Esistono tra tipologie di sconto: lo sconto razionale, lo sconto commerciale, lo sconto composto. Alla legge di capitalizzazione semplice si applica lo sconto razionale

Sconto Razionale

Noti il Montante, il tasso ed il tempo d'impiego, debbo trovare il Capitale originario e valore attuale (V). In questo modo lo sconto è calcolato come interesse semplice sul valore attuale, e si chiama sconto razionale.

Formula

C = _____M______ oppure C = M - Sc (ricordare che Sc = C x i x t

1 + i x ^t

Formule inverse:

i = ___ M - C___ ; t = ____M - C ____ ; M = C x (1 + i x t )

^{C x t    C x i}

Sconto commerciale

Lo sconto è direttamente proporzionale al valore nominale C del capitale e al tempo di anticipazione. per t > 1/d, con d che indica lo sconto di un'unità di capitale anticipata  di un periodo, la legge perde di significato, in quanto darebbe uno sconto maggiore del capitale dovuto.

Formula

Sc = M x i x t

Formule inverse

i = ____M - C_____ ; t = _____M - C______ ; C = M x (1 - i x t)

M x t  M x i

Regime di Capitalizzazione composta

Mantiene le caratteristiche di calcolo di tempo e tasso concordi e tasso percentualizzato, sennonché, nella capitalizzazione composta, alla fine del periodo di utilizzazione, gli Interessi maturati vengono reinvestiti insieme con il Capitale originario, procurando ulteriori Interessi composti, quindi si può dire che il montante di ogni periodo diventa capitale per il periodo successivo.

C M1 M2 M3 M4

0 1 2 4 5

Formula del Montante in capitalizzazione composta (con t = 1 anno)

M1 = C x (1 + i)

M2 = C x (1 + i)²

^{M3 = C x (1 + i)3}

^{M4 = C x (1 + i)4}

^quindi

^{M = C x (1+ i) t}

dove t rappresenta il numero di anni di impiego totale

Formule inverse

t

i = _M_ - 1

C

C = __M __

(1+i)^t

_{M = C x (1 + i)}^t

_{Applicazione del tempo composto (formula inversa del tempo}) nel calcolo del tempo l' incognita è un esponente della base; calcolo innanzitutto

^{(1 + i)t =  __M__ equazione esponenziale}

C

quindi applico i logaritmi

log (1 +i)^t = log __M__

C

tlog (1 +i)  = logM - logC

da cui    _{T = __logM - logC__}

_{log 1+i}

_{Montante per tempi non interi}

_{E' possibile calcolare il montante anche su capitalizzazioni con tempi non interi ( es 2 anni e 3 mesi ecc.).}

_{Esistono 2 metodi di calcolo:}

_{calcolo in convenzione esponenziale}

_{M = C x (1 + i )n (1 + i)f (con f = tempo frazionato)}

_{calcolo in convenzione lineare che consiste nel calcolo esponenziale per la parte intera n di periodo e nell'applicazione della formula del montante in regime di capitalizzazione semplice semplice per la frazione f di periodo}

_{M = C x (1 + i)n ( 1 + if)}

_{Dal punto di vista finanziario si opera in regime comosto per la parte intera della durata ed in regime semplice per la parte frazionaria. Si ha cosi la capitalizzazione mista con risultati maggiori di quelli ottenuti con il solo calcolo esponenzialie poichè il montante per un tempo inferiore ad una unità a parità di tasso e capitale è maggiore in regime semplice rispetto a quello composto.}

_{CAPITALIZZAZIONE FRAZIONATA E TASSI EQUIVALENTI}

_{Utilizzando sottomultipli dell'anno ( mesi, bimesti, trimestri, quadrimestri semestri) per la capitalizzazione, si otterrà che il montante diventa capitale per il periodo successivo non annuo benzì mensile, bimestrale ecc. Il tasso, può essere un tasso effettivo periodale ik (essendo k il numero dei periodi presenti in un anno) riferito alla frazione di tempo e precisamente:}

i₂ = tasso semestrale

i₃ = tasso quadrimestrale

i₄ = tasso trimestrale

i₆ = tasso bimestrale

i₁₂= tasso mensile

Il montante sarà quindi calcolato così:

M = C x (1 + i_k)^tk

_{(Tk = tempo espresso nella frazione di tempo = al i)}

_{Spesso nelle operazioni di prestito viene assegnato il tasso annuo nominale convertibile k volte nell'anno ovvero il  jk}

_{Questo tasso non si può applicare direttamente nelle formule, ma occorre passare al corrispondente tasso periodale ik con la formula}

_{Ik=__Jk__}

_k

_{Due tassi relativi a periodi di capitalizzazone diversi si dicono equivalenti quando a parità di capitale C e di tempo i con diversa capitalizzazione producono montanti uguali. Indicati con i il tasso annuo e con ik il tasso relativo ad k di anno si ricavano}

_{Formula per determinare il tasso annuo conoscendo il tasso di periodo in capitalizzazine composta}

_{i = (1 + ik)k - 1}

_{Formula per deterninare il tasso di periodo conoscendo il tasso annuo}

_{ik =  k 1+ i - 1}

_{Formula per passare direttamente dal tasso annuo nominale convertibile k volte nell'anno Jk al tasso annuo i}

_{i = (1 + __Jk__)k - 1}

_k

Sconto composto

Lo sconto composto è inteso come l'operazione finanziaria inversa della capitalizzazione in regime composto calcolabile come l'interesse composto sul valore attuale V per una durata di tempo t iul quale sommato al valore attuale V produce una somma di importo pari al valore nominale C.

Presa la formula del montante M = C x (1 + i)^t si sostituisce ad M il valore nominale C il valore attuale V e si considera t come il tempo di anticipazione quindi si ricava

C = V x (1 + i)^t

V= __C__

(1 + i)^t

S = C - V ovvero = C x 1- (1 + i)^{- t}