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Illustra il concetto di limite di una funzione reale ad una variabile

matematica


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MATEMATICA


Illustra il concetto di limite di una funzione reale ad una variabile in tutti i casi possibili, avvalendoti della rappresentazione grafica.


Data una funzione:         y = f(x)


con x appartenente all'insieme dei numeri reali R e definita in un intervallo (a,b), riportata la variabile x su una retta r orientata, ad ogni valore di x corrisponde un punto P di tale asse e all'intervallo di definizione della funzione, corrisponde un segmento che contiene, nel suo interno il punto P. Pertanto per intorno di un punto P di u 757d39h na retta r, si intende l'insieme dei punti, diversi da P, del segmento contenente P nel suo interno (gli estremi del segmento possono essere compresi o esclusi). Per intorno destro di P, intendiamo l'insieme dei punti, diversi da P, di un qualunque segmento avente P come primo estremo (il secondo estremo puņ essere compreso o escluso). Per intorno sinistro di P intendiamo l'insieme dei punti, diversi da P, di un qualunque segmento avente P come secondo estremo (il primo estremo puņ essere compreso o escluso).






Per intorno di + ∞ si intende l'insieme di tutti i punti della retta r di ascissa maggiore (o maggiore o uguale) di un numero a. Per intorno di - ∞ intendiamo l'insieme di tutti i punti della retta r di ascissa minore (o minore o uguale) di un numero a. Escludendo l'estremo a, si puņ indicare in simboli (a, + ∞), (-∞, a).


Si dice che la funzione f(x) tende al limite l (o ha per limite l, o converge ad l) per x tendente ad , se posto un numero positivo ε, č possibile determinare in corrispondenza ad esso un intorno (a,b) di , contenuto nell'insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell'intorno risulti:


       da cui l - ε < f(x) < l+ ε.

In simboli:



Si dice che la funzione f(x) tende a + ∞ (o ha per limite + ∞ o diverge positivamente), per x tendente a , se prefissato liberamente un numero positivo M, abbastanza grande, si puņ determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di , contenuto nell'insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell'intorno risulti


f(x)>M.


In simboli:


Si dice che la funzione f(x) tende a - ∞ (o ha per limite - ∞o diverge negativamente), per x tendente a , se prefissato liberamente un numero positivo M, abbastanza grande, si puņ determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di , contenuto nell'insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell'intorno risulti


f(x)<-M.


In simboli:





Si dice che la funzione f(x) tende a l (o ha per limite l, o converge ad l) per x tendente a + ∞ [o a - ∞ ], se prefissato ad arbitrio un numero positivo ε, comunque piccolo, č possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a; + ∞) di + ∞ o [(- ∞;a) di - ∞], contenuto nel dominio della fuzione, tale che per ogni x dell'intorno risulti:


da cui l - ε < f(x) < l+ ε.

In simboli:




   

Si dice che la funzione f(x) tende a + ∞, (o che ha per limite + ∞, o che diverge  positivamente) per x tendente a + ∞ [o a - ∞], se prefissato ad arbitrio un numero M, abbastanza grande, si puņ determinare in corrispondenza ad esso, un intorno di + ∞ [o di - ∞], contenuto nell'insieme di definizione della funzione, tale cheper ogni x dell'intorno risulti:


f(x)>M

In simboli:

                               


Si dice che la funzione f(x) tende a - ∞, (o che ha per limite - ∞, o che diverge negativamente) per x tendente a + ∞ [o a - ∞], se prefissato ad arbitrio un numero M, abbastanza grande, si puņ determinare in corrispondenza ad esso, un intorno di + ∞ [o di - ∞], contenuto nell'insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell'intorno risulti:


f(x)<-M

In simboli:


                                                








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