IL CALCOLO DIFFERENZIALE

Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato (a,b) e derivabili in ogni punto interno e se si ha che f'(x) = g'(x), allora la differenza f(x) - g(x) è costante in (a,b).

Una funzione f(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato (a,b), derivabile in ogni punto interno a tale intervallo e tale che sia:

f(x) > 0    è strettamente crescente in )a,b(;

f(x) < 0    è strettamente decrescente in )a,b(.

Teorema di Couchy:

Siano f(x) e g(x) due funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato (a,b), derivabili in ogni punto interno a tale intervallo, e sia inoltre g'(x) = 0, esiste allora almeno un punto x appartenente a )a,b( tale che: 

  =

Teorema di De L'Hopital:

Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue in (a,b) e derivabili in )a,b(, escluso al più il punto x appartenente ad )a,b( con g'(x) = 0, f(x) = 0 e g(x) = 0 e se esiste ed è finito il limite

lim  allora esiste anche lim e risulta: lim = lim

CONCAVITA' DI UNA CURVA IN UN PUNTO / INTORNO:

Sia f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I e sia anche f''(x) continua nell'intervallo I e infine x appartenga ad I: diremmo che nel punto x la curva volge la concavità verso l'alto se f''(x) > 0; diremmo invece che nel punto x la curva volge la concavità verso il basso se f''(x) < 0.

Sia f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I e sia inoltre f''(x) continua nell'intervallo I: diremmo che nell'intervallo I la funzione volge la concavità verso l'alto se f''(x) > 0 per ogni x interna ad I; diremmo che la funzione volge la concavità verso il basso se f''(x) < 0 per ogni x interna ad I.

Sia dato un punto P(x;y) ed in un intorno di tale punto non avviene né il primo né il secondo caso tale punto è detto PUNTO DI FLESSO per la funzione.

Sia data la funzione f(x) derivabile almeno due volte; condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di punti di flesso è che l'ascissa di tali punti annulli la derivata seconda:f''(x) = 0

MASSIMI E MINIMI:

Condizione necessaria :  f'(x) = 0 l'annullarsi della f'(x) in x indica soltanto che la retta tangente al

grafico è orizzontale: possiamo avere un flesso a tangente orizz.

Condizione sufficiente:   f'(x) > 0

TEOREMI CON LE DERIVATE SUCCESSIVE:

Sia f(x) una funzione continua e derivabile tutte le volte che è necessario:

se la prima derivata a non annullarsi per quei valori che annullano la derivata prima è di ordine pari, siamo in presenza di un punto x di massimo o minimo relativo a seconda che il valore di tale derivata di ordine pari sia rispettivamente minore o maggiore di zero; se invece la prima derivata a non annullarsi per quei valori che annullano la derivata prima è di ordine dispari, siamo in presenza di un punto di flesso a tangente orizzontale.

se la prima derivata a non annullarsi per quei valori che annullano la derivata seconda è di ordine dispari, siamo in presenza di un punto di flesso; se invece è di ordine pari siamo in presenza di un punto x in cui la curva volge la concavità verso l'alto se tale valore è positivo, verso il basso se invece è negativo.

DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE:

Il differenziale di un funzione è uguale al prodotto fra la derivata della funzione e l'incremento della variabile indipendente x.

f(x) = x

dy = d(x) =dx = 1 *

dx = df(x) = f'(x)dx

dy = f'(x)dx

y tg x =dx

f(x + x) - f(x) =

y = f(x) = f(x) = y

f'(x) = tg = m

df(x) = f'(x)dx = tg

f(x+x)  =

P

f(x)

df(x) - f(x) ==

x

x x + x