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ESERCIZIO - METODO PARAMETRICO

matematica




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ESERCIZIO 1

Si supponga di utilizzare due diversi test psicologici per la valutazione di un gruppo di 9 pazienti con problemi depressivi. I risultati sono riportati nella seguente tabella:


X

test 1












Y

test 2











Verificare se esiste una correlazione tra i risultati dei due test sia con metodo parametrico che con metodo non parametrico.



Si vuole verificare se c'è una correlazione lineare tra tra i risultati dei due diversi test psicologici (variabili).


METODO PARAMETRICO

v     DATI


Si dispone dei risultati di due diversi test psicologici effettuati su un gruppo di 9 pazienti con problemi depressivi.


X

test 1










Y

test 2











v     ASSUNZIONI


o       Le variabili X e Y seguono una distribuzione normale bivariata


La misura della forza di associazione tra le due variabili X (test 1) e Y (test 2) è data dal coefficiente di correlazione di Pearson:




Con -1 r

La formula utilizzata per i calcoli è:




Per rendere i calcoli più agevoli si utilizza la tabella:












S

X











Y











S X


 

S Y


 

S XY


 


Quindi



Il valore di r è comunque una stima campionaria del valore del coefficiente di correlazione r della popolazione. Bisogna ora verificare se il valore di r ottenuto è significativo.


v     IPOTESI


H0: r

Hi : r


v     STATISTICA TEST




v     DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST


Distribuzione t-Student caratterizzata da n-2 gradi di libertà.


v     REGOLA DI DECISIONE

Conoscendo la distribuzione della statistica test a 7 gradi di libertà e un livello di significatività a=0,05, ricerco il valore di t tabulato:

ttab =  2,365











Quindi:

DECISIONE DEL RICERCATORE:

Non esiste una correlazione tra i due test psicologici.


METODO NON PARAMETRICO


v     DATI


X

test 1










Y

test 2












v     ASSUNZIONI


o       Non è possibile fare assunzioni sulla distribuzione delle due variabili.


Il coefficiente di correlazione da usare è quello di Spearman:




Dove di sono le differenze dei ranghi attribuiti ai valori delle due variabili.









X

Y

ranghi X

ranghi Y

di

di²



























































Sdi





v     IPOTESI


H0: r = 0 (le due variabili non sono correlate)

Hi : r


v     REGOLA DI DECISIONE


La decisione verrà presa confrontando il vaolre di rs calcolato con il valore di rs tabulato sulle tavole di Spearman, in corrispondenza del livello di significatività del test (a=0,05) e del numero di coppie di osservazioni delle due variabili (9 coppie).

Se rs  calc > rs tab rifiuto H0.

rs calc = 0,8

rs  tab = 0,683

essendo rs calc > rs tab, rifiuto H0


DECISIONE DEL RICERCATORE

Non esiste una correlazione tra i due test psicologici.

ESERCIZIO 2



Si dispone dei valori del volume diastolico, misurato in ml, di 10 pazienti cardiopatici rilevati mediante angiografia (X) e scintigrafia (Y):

X











Y












Verificare il grado di associazione tra le due variabili sia con il metodo parametrico che con il metodo non parametrico.


Si vuole verificare quanto le variabili X e Y siano associate, cioè se c'è correlazione tra il volume diastolico misurato mediante angiografia, e il volume diastolico misurato mediante scintigrafia in 10 pazienti cardiopatici.


METODO PARAMETRICO


v     DATI

Si dispone dei valori di volume diastolico, misurato in ml, mediante angiografia (X) e scintigrafia (Y), di 10 pazienti cardiopatici:

X

Y






















v     ASSUNZIONI


o       Le variabili X e Y seguono una distribuzione normale bivariata


La misura della forza di associazione tra le due variabili X (test 1) e Y (test 2) è data dal coefficiente di correlazione di Pearson:



Il valore di r è una stima campionaria del valore del coefficiente di correlazione r della popolazione. Bisogna ora verificare se il valore di r ottenuto è significativo.


v     IPOTESI


H0: r

Hi : r


v     STATISTICA TEST



v     DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST

Distribuzione t-Student caratterizzata da n-2 gradi di libertà.


v     REGOLA DI DECISIONE

Conoscendo la distribuzione della statistica test a 8 gradi di libertà e un livello di significatività a=0,05, ricerco il valore di t tabulato:

ttab =  2,306


Quindi:

DECISIONE DEL RICERCATORE:

Non esiste una correlazione tra i due metodi.


METODO NON PARAMETRICO


v     DATI

X

Y
































v     ASSUNZIONI


o       Non è possibile fare assunzioni sulla distribuzione delle due variabili.


Il coefficiente di correlazione da usare è quello di Spearman:




Dove di sono le differenze dei ranghi attribuiti ai valori delle due variabili.



X

Y

ranghi X

ranghi Y

di

di²







































































Sdi







v     IPOTESI


H0: r = 0 (le due variabili non sono correlate)

Hi : r


v     REGOLA DI DECISIONE


La decisione verrà presa confrontando il valore di rs calcolato con il valore di rs tabulato sulle tavole di Spearman, in corrispondenza del livello di significatività del test (a=0,05) e del numero di coppie di osservazioni delle due variabili (10 coppie).

Se rs calc > rs  tab rifiuto H0.

rs calc = 0,96

rs  tab = 0,648

essendo rs calc > rs tab, rifiuto H0


DECISIONE DEL RICERCATORE

Non esiste una correlazione tra le due misurazioni.

ESERCIZIO 3

Utilizzando i dati in tabella relativi ad un campione di donne classificate secondo gli stadi dell'infezione da HIV e la presenza di papilloma HPV:


HPV

HIV

positive sintomatiche

HIV

positive asintomatiche

HIV

Negative


tot

positivo





negativo





tot






Valutare se la percentuale di donne positive ad HPV è la stessa oppure no nei diversi stadi di infezione da HIV. Limitando l'attenzione alle donne positive sintomatiche e positive asintomatiche, verificare se la presenza di HPV è ugualmente probabile nei due gruppi con tutti i metodi noti.


A)    Si vuole valutare se la percentuale di donne positive ad HPV è la stessa oppure no nei diversi stadi di infezione da HIV, cioè se l'essere HPV positive è correlato all'essere HIV positive.


v     ASSUNZIONI

o       Le variabili di cui disponiamo sono qualitative

o       Se consideriamo una sola cella, la presenza contemporanea delle due caratteristiche è il "successo", sugli N casi possibili: si può assumere una distribuzione binomiale



o       I dati nel loro insieme seguono una distribuzione mulrinomiale.


v     IPOTESI


H0: pij = pi pj (equivale a dire che HPV e HIV sono correlati

e quindi la percentuale di donne positive ad HPV è la stessa

nei diversi stadi di infezione da HIV)

H1: pij pi pj


se le due variabili sono indipendenti la probabilità di avere la caratteristica 1 e la caratteristica 2 sarà data dal prodotto delle probabilità (legge del prodotto).




I VALORI ATTESI

È possibile calcolare il valore atteso Eij ("media") per ciascuna cella:

Eij = Npij = Npipj = N(n.j/N)(ni./N) = (n.j ni.)/N

Si può costruire quindi la tabella dei valori attesi:


HPV

HIV

positive sintomatiche

HIV

positive asintomatiche

HIV

Negative


tot

positivo





negativo





tot












v     STATISTICA TEST




v     DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST

La distribuzione della statistica test è una c² ed è caratterizzata dai gradi di libertà:


v     REGOLA DI DECISIONE

Fissato a accettabilmente piccolo (0,05), troverò sulle tavole c² un valore in corrispondenza di a prescelto e dei gradi di libertà della statistica.

g.l.= (r-1)(c-1) =(2-1)(3-1)=2  c a=0,05; gl 2


DECISIONE STATISTICA

5,99 < 29,4 rifiuto l'ipotesi nulla, ovvero le due variabili sono indipendenti



DECISIONE DEL RICERCATORE

La percentuale di donne positive ad HPV non è la stessa nei diversi stadi di infezione da HIV.


B) Si vuole verificare se la percentuale di donne positive ad HPV è la stessa oppure no nei diversi stadi di infezione da HIV.

METODO PARAMETRICO












v     DATI


HPV

HIV PS

HIV PA

HIV N

tot

P





N





Tot










v     ASSUNZIONI


o       campioni indipendenti;

o       la variabile in studio che conta il numero di donne HIV e HPV positive asintomatiche o sintomatiche ("successo") sul totale (numerosità del campione) segue una distribuzione binomiale;

o       la distribuzione della variabile è approssimabile ad una distribuzione di Gauss standard se n e p

v     IPOTESI

H0: p1=p2 oppure p1-p2=0

H1: p1 p2


v     STATISTICA TEST


Dove:

p=(X1+X2)/(n1+n2)

q=1-p

p1=X1/n1

p2=X2/n2


p=(23+4)/(37+37)=0,4

q=1-p=0,6

p1=23/37=0,6

p2=4/37=0,1


v     DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST


Con l'ipotesi nulla vera, applicando il teorema del limite centrale, la statistica test segue una distribuzione di Gauss standard N(0,1).

Fissato a, la probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando è vera, accettabilmente bassa: 0,05, si individuano della zona di rifiuto (code).

DECISIONE STATISTICA

Zcal=3,5 > Ztab=1,96 pertanto rifiuto H0


DECISIONE DEL RICERCATORE

La presenza di HPV è ugualmente probabile nei due gruppi.


METODO NON PARAMETRICO

Non è possibile approssimare la distribuzione binomiale ad una Gauss standard, quindi il confronto tra le due proporzioni se effettua con il test del c

I dati si inseriscono in una tabella 2


PS

HIV

PA

Totale

HPV

P

a=23

b=4


N

c=10

d=14


Totale



N=51


IPOTESI


H0: p1=p2

H1:      p1 p2


Rounded Rectangular Callout: Nella seconda formula c'è la correzione per la continuità di Yates che si fa quando nelle celle un'osservazione è < 5.STATISTICA TEST




Distribuzione della statistica test

La distribuzione della statistica test è una c² ed è caratterizzata dai gradi di libertà:


REGOLA DI DECISIONE

Con a=0,05 e g.l=(r-1)(c-1)=1, il valore c² tabulato è 3,841.


DECISIONE STATISTICA

Rifiuto l'ipotesi nulla poiché il valore di c² calc è 8,7 > c²tab

DECISIONE DEL RICERCATORE

La presenza di HPV è ugualmente probabile nei due gruppi.


ESERCIZIO 4

Un gruppo di 500 pazienti psichiatrici è stato classificato secondo il tipo di reazione ricorrente e la terapia scelta per la cura:


REAZIONI

Psicoterapia individuale

Psicoterapia di gruppo

Terapia farmacologica

totale

isteriche





ossessive





depressive





altre





tot






Valutare l'esistenza di una associazione tra il tipo di reazione e la terapia.


Si vuole verificare se vi è una correlazione tra il tipo di reazione ricorrente e la terapia scelta per la cura.


v     DATI

REAZIONI

Psicoterapia individuale

Psicoterapia di gruppo

Terapia farmacologica

totale

isteriche





ossessive





depressive







altre





tot






v     ASSUNZIONI

o       Le variabili di cui disponiamo sono qualitative

o       Se consideriamo una sola cella, la presenza contemporanea delle due caratteristiche è il "successo", sugli N casi possibili: si può assumere una distribuzione binomiale

o       I dati nel loro insieme seguono una distribuzione mulrinomiale.


v     IPOTESI

pij = Oij / N


pi = ni / N


pj = nj / N

 


H0: pij = pi pj

H1:      pij pi pj


se le due variabili sono indipendenti la probabilità di avere la caratteristica 1 e la caratteristica 2 sarà data dal prodotto delle probabilità (legge del prodotto).

I VALORI ATTESI

È possibile calcolare il valore atteso Eij per ciascuna cella:

Eij = Npij = Npipj = N(n.j/N)(ni./N) = (n.j ni.)/N

Si può costruire quindi la tabella dei valori attesi:

REAZIONI

Psicoterapia individuale

Psicoterapia di gruppo

Terapia farmacologica

totale

isteriche





ossessive





depressive





altre





tot






REAZIONI

Psicoterapia individuale

Psicoterapia di gruppo

Terapia farmacologica

totale

isteriche





ossessive





depressive





altre





tot






v     STATISTICA TEST



v     DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST

La statistica test è  ed è caratterizzata da (r - 1)(c - 1) = 6 gradi di libertà.


v     REGOLA DI DECISIONE

Con a=0,05 e g.l=(r-1)(c-1)=6, il valore c² tabulato è 14,7.


DECISIONE STATISTICA

Accettto l'ipotesi nulla poiché il valore di c² calc = 5,6 è <  c²tab

DECISIONE DEL RICERCATORE

Non vi è una associazione tra il tipo di reazione e la terapia.


ESERCIZIO 5

Un gruppo di 300 pazienti neoplastici è stato classificato secondo la sede del tumore e la professione:



SEDE



PROFESSIONE

polmone

stomaco

altra

totale

operaio





impiegato





disoccupato





totale






Valutare l'esistenza di una associazione tra il tipo di tumore e la professione.


Si vuole verificare se vi è una correlazione tra il tipo di tumore e la professione.


v     DATI



SEDE



PROFESSIONE

polmone

stomaco

altra

totale

operaio





impiegato





disoccupato





totale






v     ASSUNZIONI

o       Le variabili di cui disponiamo sono qualitative

o       Se consideriamo una sola cella, la presenza contemporanea delle due caratteristiche è il "successo", sugli N casi possibili: si può assumere una distribuzione binomiale

o       I dati nel loro insieme seguono una distribuzione multinomiale.


v     IPOTESI

pij = Oij / N


pi = ni / N


pj = nj / N

 


H0: pij = pi pj

H1:      pij pi pj


se le due variabili sono indipendenti la probabilità di avere la caratteristica 1 e la caratteristica 2 sarà data dal prodotto delle probabilità (legge del prodotto).

I VALORI ATTESI

È possibile calcolare il valore atteso Eij per ciascuna cella:

Eij = Npij = Npipj = N(n.j/N)(ni./N) = (n.j ni.)/N

Si può costruire quindi la tabella dei valori attesi:



SEDE



PROFESSIONE

polmone

stomaco

altra

totale

operaio





impiegato





disoccupato





totale






v     STATISTICA TEST



v     DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST

La statistica test è  ed è caratterizzata da (r - 1)(c - 1) = 4 gradi di libertà.


v     REGOLA DI DECISIONE

Con a=0,05 e g.l=(r-1)(c-1)=4, il valore c² tabulato è 9,49.


DECISIONE STATISTICA

Rifiuto l'ipotesi nulla poiché il valore di c² calc = 69,96 è >  c²tab

DECISIONE DEL RICERCATORE

Non vi è una correlazione tra il tipo di tumore e la professione.







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