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Una mosca può fermare un treno?

fisica












Nel momento dell'urto tra una mosca e un treno, la mosca si ferma per un istante e in quel preciso attimo, se la mosca fosse un oggetto assolutamente rigido, anche il treno risulterebbe fermo, come avviene per due palle da biliardo nel momento in cui si scontrano. In realtà, la mosca non è un corpo rigido, e appena entra in contatto col treno comincia a comprimersi, fino a spiaccicarsi o a rimbalzare in direzione opposta.

Adesso andiamo a vedere nello specifico i diversi casi di urto elastico e anelastico.


INTRODUZIONE



Il principio di conservazione dell'energia stabilisce che l'energia dell'universo si mantiene costante nel tempo e quello di conservazione della massa afferma che la massa dell'universo è anch'essa costante nel tempo. Considerando queste 151f58b leggi dal punto di vista dell'invarianza non scopriremo niente che già non si sappia, ma avremo ottenuto una visione più profonda che ci aiuterà a generalizzare la legge della conservazione della quantità di moto al caso relativistico, dove la legge F = m*a non è più una legge esatta di natura.

La legge di conservazione della quantità di moto, applicata all'urto tra due corpi 1 e 2, stabilisce che la somma delle quantità di moto dopo l'urto è uguale a quella prima dell'urto:

q1(prima) + q2(prima) = q1(dopo) + q2(dopo)

dove la quantità di moto q è definita da

q = m*v

supponiamo che l'urto avvenga in una regione dello spazio lontana da forze esterne. Esso può essere o elastico o anelastico: in un urto elastico tutta l'energia cinetica delle particelle prima dell'urto si ritrova dopo l'urto, ancora, come energia cinetica delle stesse particelle, mentre, nei normali urti anelatici, parte dell'energia cinetica delle particelle incidenti riappare, dopo l'urto, sotto una certa forma di energia interna d'eccitazione (calore) di una o più particelle. È importante avere chiara l'idea che la conservazione della quantità di moto vale anche per gli urti anelatici.


La conservazione della quantità di moto non è una conseguenza necessaria della sola F = m*a. Il metodo che seguiamo parte dal presupposto che le forze agenti tra le particelle siano di un tipo speciale, detto newtoniano, cioè soddisfacenti la terza legge di Newton. Una forza newtoniana è definita dalla proprietà che la forza F1-2, che una particella (1) esercitata su un'altra particella (2), è uguale e opposta alla forza F2-1 che la particella 2 esercita sulla 1:

F1-2= - F2-1

Applicando la seconda legge di Newton, per un generico intervallo di tempo infinitesimo ∆t, si ottiene

F1-2 = m2 ∆v2 F2-1 = m1 ∆v1

∆t ∆t


e, utilizzando la F1-2= - F2-1, si ricava la legge di conservazione della quantità di moto

m1∆v1 + m2∆v2 = 0

oppure

(m1∆v1 + m2∆v2)iniziale = (m1∆v1 + m2∆v2)finale

Per le forze newtoniane, però, la quantità di moto si conserva rigorosamente istante per istante, anche durante il processo d'urto, ma per le forze reali, che non sono istantanee, vi saranno intervalli di tempo, durante la interazione più interna, nei quali la quantità di moto non si conserva.


In altro modo, invece, si suppongono valide l'invarianza galileiana e la conservazione dell'energia e della massa. Consideriamo due particelle libere 1 e 2 che abbiamo inizialmente velocità v1 e v2 e supponiamo che le posizioni iniziali (e finali) siano molto distanti tra loro, così che, prima e dopo l'urto, le particelle non interagiscano. Già sappiamo che l'energia cinetica iniziale delle particelle è

/2m1v12 + 1/2m2v22

facciamo urtare ora le due particelle; non è necessario che l'urto sia elastico: vedremo infatti che la quantità di moto si conserva anche se l'urto è anelastico. L'energia cinetica dopo l'urto è

/2m1v'12 + 1/2m2v'22

dove v'1 e v'2 sono le velocità misurate dopo un tempo tanto lungo che le particelle non interagiscono più tra loro. La conservazione dell'energia ci dice che

/2m1v12 + 1/2m2v22 = 1/2m1v'12 + 1/2m2v'22 + ∆E

dove ∆E è la variazione dell'energia interna d'eccitazione delle particelle dovuta all'urto. In un urto elastico ∆E=0, ma non è necessario che ci limitiamo al caso degli urti elastici elastici.




URTI UNIDIMENSIONALI TRA DUE PARTICELLE ELASTICI:


CASO 1: m2 ferma all'inizio → v2=0


Mettendo a sistema m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2 e 1/2m1v12 + 1/2m2v22 = 1/2m1v'12 + 1/2m2v'22 , avremo che:

Se v'2=0 allora v'1=v1 ma ciò fisicamente non è accettabile perché non ci sarebbe urto cioè i due corpi si attraverserebbero; anche dal punto di vista dell'esempio preso all'inizio tra la mosca e il treno, definita il treno m1 e la mosca m2, se la mosca fosse ferma e il treno si muovesse verso l'ostacolo immobile, prima o poi l'urto avverrebbe. Perciò è impossibile tale risultato.


Se v'2=2 m1 v1 allora v'1= m1-m2 v1 con v1>0 e v'2>0 perché è dalla stessa



parte di v1. A questo punto:

Se m1>m2 allora v'1 è dalla stessa parte di v1, ma v'1<v1. Quindi nel caso specifico, se la massa del treno è maggiore di quella della mosca la velocità del treno dopo l'urto ha sempre la direzione iniziale ma modulo minore;

Se m1<m2 allora v'1<0, perciò v'1 è dalla parte opposta di v1. Quindi nel particolare se la massa del treno è inferiore a quella della mosca il treno ha velocità dopo l'uro di direzione opposta alla situazione iniziale; si tratta perciò di un rimbalzo.


CASO 2: m2 ferma all'inizio → v2=0

m1 = m2 = m




Avremo che:

m+m

 

m+m

 
v'2= 2m v1 = v1 e v'1= m - m v1 = 0



Quindi, nel caso specifico, se il treno e la mosca avessero la stessa massa e la mosca fosse ferma sin dall'inizio, il treno, una volta raggiunto l'ostacolo, lo urterebbe, si fermerebbe e la mosca partirebbe con la velocità uguale in direzione modulo e verso a quella del treno. 

CASO 3: m2>>m1 (molto più grande)


~

  Avremo che:

m1+m2

 
v'2= 2m1 v1 qui il denominatore è molto grande perciò la frazione tende a zero v'2= 0



il caso in cui v'2= 0 e se e solo se m2= ∞

m1+m2

 
v'1= m1 - m2 v1 e facendo un passaggio matematico secondo cui




 


 


m2 (m1/m2 + 1)

 

m1+m2

 
m1 - m2 = m2 (m1/m2 - 1) = - 1/+1 = - 1 essendo sia la parentesi del numeratore che


~


 


quella del denominatore molto piccole, tendenti quasi a zero; perciò v'1= - v1.

Quindi nel caso specifico se la massa della mosca è molto più grande di quella del treno, allora il treno rimbalzerà contro la mosca e tornerà indietro con la velocità uguale in modulo e verso ma direzione contraria alla velocità prima dell'urto.


CASO 4: m2 in moto dall'inizio → v2 ≠ 0

m1 = m2 = m


Se v'2= v1 allora v'1= v2, cioè se sia il treno che la mosca sono in moto, hanno stessa massa e la mosca dopo l'urto ha la stessa velocità del treno prima dell'impatto, significa che il treno avrà la stessa velocità in direzione, modulo e verso della mosca prima dell'urto.

Se v'2= v2 allora v'1=v1, cioè se il treno e la mosca, dopo l'urto conservano la stessa velocità dell'istante prima dell'urto è fisicamente impossibile, perché è come se non avvenisse l'urto.













URTI UNIDIMENSIONALI TRA DUE PARTICELLE ANELASTICI


Se fino ad ora abbiamo considerato la mosca come un corpo duro, adesso possiamo relativamente disinteressarci dela natura dell'insetto pichè negli urti anelatici viene dissipata energia e si vengono a creare legami tra i due corpi che urtano.









Conservazione della quantità di moto:

m1v1 + m2v2 = m1 + m2 V

m1+m2

 

m1+m2

 
V=    m1 v1 + m2 v2





CASO 1: velocità uguali e contrarie v2= - v1= - v

v1=v e v2= - v


Avremo che:

V= m1 - m2 v

m1+m2

 




Se m1=m2 allora V=0, perciò in particolare al caso che stiamo studiando, se il treno e la mosca hanno stessa massa e velocità uguali e contrarie, il corpo di "aggregazione post-urto" sarà fermo;

Se m1>m2 allora V è dalla stessa parte di v1, in particolare se la massa del treno è maggiore di quella della mosca e le velocità sono sempre secondo la condizione, allora l'aggregato procede nella direzione della velocità del treno;

Se m1<m2 allora V è dalla stessa parte di v2, quindi accadrà esattamente il contrario del caso sopra-citato.







CASO 2: masse uguali m1 = m2 = m

velocità qualunque


Avremo che:

V= m v1 + m v2 = ½ (v1+v2)

2m 2m


Se v1=v2 allora V= 0, perciò ci riconduciamo al caso di prima.



CONCLUSIONE

In conclusione possiamo affermare che teoricamente una mosca sarebbe in grado di fermare un treno se fosse solida, rigida, incomprimibile e avesse massa più consistente; essendo, invece un corpo molle capace di rimanere schiacciato alla pressione più minima, compie delle sorte di urti anelatici poiché i due corpi si attaccano ma l'energia dissipata non è energia interna di agitazione, cioè calore, ma la deformazione che il corpo dell'insetto subisce dissipa tutta l'energia interna ad esso.





















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