Inerzia

v Forza d'inerzia periodica

Nella  dinamica delle oscillazioni le forze d'inerzia hanno andamento periodico, che nei casi pratici (ad es. nel moto dello stantuffo di un motore a scoppio) non è semplicemente sinusoidale. Oltre alla forza d'inerzia del primo ordine o fondamentale (che ha il periodo T del fenomeno) si hanno forze d'inerzia di ordine superiore (secondo, terzo, quarto, ecc. di periodo T/2, T/3, T/4, ... rispettivamente).

v Momento d'inerzia

In  un sistema costituito da punti materiali Pi di massa mi il momento d'inerzia I x) rispetto a una forma geometrica x è definito dalla relazione

I x) =Si mir2i

dove r è la distanza di Pi da x. Nel caso di un sistema formato da una distribuzione continua di massa in un volume V la somma precedente è sostituita da un integrale:

nel quale r dV è la massa contenuta nell'elemento di volume dV e r la sua distanza da x. Per sistemi materiali in una o due dimensioni l'integrale di volume è sostituito da un integrale di linea o di superficie. Il momento di inerzia di una figura geometrica qualsiasi (volume, superficie, segmento di curva) si può definire nello stesso modo ponendo r = 1. I momenti di inerzia di un sistema rispetto a forme geometriche differenti sono legati tra loro da semplici relazioni algebriche; per es. il momento d'inerzia rispetto a un punto o polo P, detto momento di inerzia polare, è uguale alla somma di momenti di inerzia relativi a tre qualsiasi assi ortogonali passanti per P. Il momento di inerzia I x) rispetto a un asse è legato al momento di inerzia I x relativo a un asse x parallelo a x  e passante per il centro di massa della relazione I(x) = I x h m, dove h è la distanza tra x e x e m è la massa totale del sistema; questa relazione, nota come teorema di Huygens-Steiner, permette di calcolare rapidamente I rispetto a qualsiasi asse una volta noto il suo valore per i tre assi centrali d'inerzia.

v Ellisse d'inerzia

Data  una figura o un sistema di masse giacenti su un piano p, si dimostra che a ogni punto P di tale piano è associata un'ellisse, detta ellisse d'inerzia, di equazione

x²/r²y + y²/r²x = 1

ove x e y sono gli assi principali d'inerzia della figura o del sistema relativi a P, giacenti su p rx e ry i corrispondenti raggi d'inerzia. Se l'ellisse si riferisce al baricentro G dicesi ellisse centrale d'inerzia. L'ellisse d'inerzia gode di talune importanti proprietà applicative: il raggio d'inerzia rp della figura rispetto a un diametro dell'ellisse relativa al generico punto P del piano è dato dal semidiametro coniugato; in virtù della antipolarità che l'ellisse centrale stabilisce nel piano il raggio d'inerzia della figura rispetto a una generica retta r del piano può determinarsi come media geometrica fra le distanze del baricentro G e dell'antipolo R di r(rispetto all'ellisse centrale d'inerzia relativa appunto a G) da r medesima. È opportuno infine ricordare che l'ellisse d'inerzia in un generico punto P è omotetica all'ellisse sezione del corrispondente ellissoide d'inerzia.