Onde elettromagnetiche - Le equazioni di Maxwell

Terza equazione di Maxwell

Possiamo facilmente ricavare la terza equazione partendo dalla legge di Faraday-Lenz:

 

Quarta legge di Maxwell

Per ottenere la quarta equazione di Maxwell dobbiamo introdurre il concet 252d39c to di corrente di spostamento. Analizzando un circuito capacitivo alimentato in alternata, possiamo notare che ad una variazione di tempo , corrisponde una variazione di tensione A questa inoltre corrisponde una variazione di campo elettrico , a cui corrisponde a sua volta una variazione di carica . Partendo dalla legge e ricordando che e , possiamo facilmente giungere a . Definendo come corrente di spostamento considerando , possiamo riscrivere la legge di Ampere:

Le onde elettromagnetiche

Dalla combinazione delle quattro equazioni proposte Maxwell ottenne altre equazioni in funzione del tempo, dalla cui soluzione ottenne:

Egli concluse inoltre che campo magnetico ed elettrico oscillano in direzioni tra loro perpendicolari e la composizione di queste oscillazioni corrisponde ad un'onda, detta elettromagnetica, che si propaga con direzione perpendicolare al piano individuato dai vettori E e B con verso tale da formare con i due vettori una terna levogira. Possiamo osservare come, a differenza delle onde meccaniche, quelle magnetiche sono individuate da due equazioni e non da una soltanto.

Le onde elettromagnetiche emesse da un dipolo

I risultati teorici ottenuti da Maxwell si possono ben riscontrare nel funzionamento di un'antenna a dipolo, connessa ad un generatore di corrente alternata. Le cariche che si muovo nell'antenna creano un campo elettrico ondulatorio che si propaga alla velocità della luce e le linee del campo elettrico sono sempre perpendicolari alla direzione di propagazione: si dice infatti che l'onda del campo elettrico è un'onda trasversale. Un antenna percorsa da corrente genera però anche un campo magnetico, e poiché la corrente è alternata, anche il campo magnetico è oscillatorio. Inoltre anche il campo magnetico risulta trasversale. Da un'antenna a dipolo vengono quindi emessi un'onda di campo elettrico e una di campo magnetico perpendicolari tra loro e in fase e per gli studi di Maxwell ciò significa che si è in presenza di un'onda elettromagnetica.

La classificazione delle onde

L'insieme delle onde con tutte le possibili lunghezze d'onda viene chiamato spettro elettromagnetico. E' utile suddividere tale spettro in alcune categorie, anche se spesso tali categorie si sovrappongono, poiché esso si estende su un intervallo amplissimo di valori, pari a circa 20 ordini di grandezza.

Le onde radio: hanno in genere frequenza inferiore a 10⁹ Hz e lunghezza d'onda maggiore di 1 m circa. Esistono anche delle classificazioni interne: in generale le trasmissioni televisive occupano la banda a ciascun lato delle trasmissioni radio FM, che va da 88Mhz a 108Mhz. Per evitare confusione e sovrapposizioni l'assegnazione delle varie frequenze è regolata da enti statali.

Le microonde: hanno lunghezza d'onda molto corta, da un millimetro sino a pochi centimetri. Sono i tipi di onde utilizzate dai radar, dalle trasmissioni telefoniche satellitari.

Le onde infrarosse: Hanno una frequenza di circa 10^{-6 m. Si estendono dalle microonde fino alla luce visibile. La radiazione infrarossa è generata da tutti gli oggetti caldi. E' assorbita da molte molecole, tra cui quella dell'acqua. Quando assorbita, l'energia dell'onda è trasformata in energia termica, per questo spesso viene definita radiazione termica.}

La luce visibile: le lunghezze d'onda rilevabili dall'occhio umano vanno da 400 a 700 nm. Entro tale gamma possiamo distinguere i colori.

Le onde ultraviolette: quando la frequenza aumenta e l'occhio non è più in grado di percepire le onde, si hanno le onde ultraviolette Quelle più vicine alla sensibilità dell'occhio vengono assorbite dall'ozono presente nella nostra atmosfera, mentre quelle più lontane si sovrappongono ai raggi X.

I raggi X: vengono generati bombardando con un fascio di elettroni una lamina metallica entro un tubo vuoto. Possono penetrare materiali morbidi, tra cui la carne. Una parte di raggi X si sovrappone a quelli gamma, ma differiscono per il modo in cui sono generate.

I raggi gamma: hanno lunghezze d'onda a volte paragonabili al nucleo di un atomo. Sono generati dalle variazioni di struttura di certi nuclei atomici (radioattività) e dai raggi cosmici dello spazio esterno.

La ricezione delle onde radio

E' possibile rilevare un'onda elettromagnetica rilevando la sua parte elettrica o la sua parte magnetica. Consideriamo la parte elettrica. Disponiamo un'antenna lungo il cammino dell'onda elettrica. Quando questa colpisce l'antenna, mette in moto le cariche al suo interno e poiché il campo è oscillatorio la polarità nell'antenna verrà continuamente invertita, in modo che anche le cariche al suo interno si muovano in modo oscillatorio creando una corrente alternata. Questa corrente alternata, attraverso la mutua induzione, induce una tensione alternata in un circuito RLC accoppiato all'antenna. Per poter ricevere il segnale dell'onda, è necessario che il circuito RLC entri in risonanza con l'onda. Ma poiché l'antenna è colpita da moltissime onde di diversa frequenza, per selezionare quella che interessa, è necessario poter cambiare la frequenza di risonanza del circuito RLC per sintonizzarsi. Ricordando che la frequenza di risonanza in un circuito RLC è , basterà modificare la capacità del condensatore per variare tale frequenza e selezionare l'onda da cui ricevere il segnale.

Come detto è possibile rilevare un'onda elettromagnetica anche dalla sua parte magnetica. Infatti l'onda elettromagnetica induce direttamente una f.e.m. oscillatoria in un circuito RLC, senza aver bisogno di un'antenna che crei in modo induttivo tale f.e.m. nel circuito. Il metodo di sintonizzazione risulta poi lo stesso in entrambi i casi.

Relazione tra campo magnetico e campo elettrico in un'onda elettromagnetica

Consideriamo un'onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto e un rettangolo posto nel piano XZ attraversato dall'onda, come mostrato in figura. Poiché FA=DC=h, avremo che l'area della zona tratteggiata è. Sappiamo che ;

Sappiamo inoltre che il secondo termine dell'equazione è la forza elettromotrice indotta da un campo magnetico variabile.

Calcoliamo la circuitazione di E lungo i lati del rettangolo ACDF:

   perché il campo elettrico e spostamento sono perpendicolari

   perché il fronte d'onda non è ancora raggiunto il lato DC

.

Dunque avremo che

Sostituendo i valori ottenuti nella terza equazione di Maxwell otteniamo:

, da cui . Quest'ultima equazione, dove c è la velocità dell'onda elettromagnetica nel vuoto, esprime la relazione tra campo magnetico e campo elettrico.

Velocità delle onde elettromagnetiche nel vuoto

Consideriamo un'onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto e un rettangolo posto nel piano XY, attraversato dall'onda, come mostrato in figura. Poiché AF=DC=h, avremo che l'area della zona tratteggiata è. Sappiamo che poiché non vi è presente corrente ohmica. Calcolando la circuitazione di B otterremo che e calcolando la variazione di flusso di E che . Sostituendo i valori ottenuti nella quarta equazione di Maxwell, possiamo scrivere: . Ricordando inoltre la relazione tra campo magnetico e campo elettrico , possiamo scrivere , da cui otteniamo che . Sapendo che e che , otteniamo che .

Velocità delle onde elettromagnetiche in un dielettrico

Come trovato la velocità di un'onda elettromagnetica nel vuoto è . Se vogliamo conoscere la velocità dell'onda in un dielettrico, non possiamo considerare la permeabilità magnetica e la costante dielettrica nel vuoto, ma avremo bisogno di valori assoluti, che si ottengono moltiplicando i coefficienti considerati nel vuoto per quelli relativi al mezzo in cui si propaga l'onda. Otterremo così che:

.

Il termine , viene chiamato indice di rifrazione assoluto del mezzo in cui si propaga l'onda elettromagnetica e viene indicato con la lettera n. Dunque avremo che

Energia trasportata da un'onda elettromagnetica

L'energia trasportata da un'onda elettromagnetica è data dalla somma di energia associata al campo elettrico e quella associata al campo magnetico.

Possiamo calcolare l'energia associata al campo elettrico dallo studio di un circuito capacitivo: ricordandosi che l'energia immagazzinata da un condensatore è e che e , possiamo calcolare la densità di energia associata al campo elettrico:

, da cui otteniamo che .

Possiamo calcolare l'energia associata al campo magnetico dallo studio di un circuito RL, ottenendo così (VEDI INDUZIONE ELETTROMAGNETICA) che:

Sommando dunque le energie associate ai due campi otterremo l'energia trasportata dall'onda elettromagnetica per unità di area. Essa risulta: . Questo vettore prende il nome di vettore di Poyniting e ci permette di affermare che l'energia trasportata per unità di area e per unità di tempo da un'onda elettromagnetica, si propaga nella direzione e nel verso di propagazione dell'onda stessa.

La legge dell'inverso del quadrato per la radiazione

Definiamo l'intensità di un'onda come , cioè la potenza che attraversa una superficie A. Consideriamo adesso una sorgente puntiforme e isotropa, cioè che emette radiazione con la stessa intensità in ogni direzione. Immaginiamo una superficie sferica concentrica alla sorgente di raggio . Indicata con P la potenza della radiazione emessa, otterremo che . Se facciamo lo stesso procedimento con una nuova sfera di raggio , avremo . Mettendo insieme le due espressioni otterremo , che prende il nome di legge dell'inverso del quadrato per l'energia irradiata da una sorgente puntiforme e che indica che l'intensità della radiazione emessa da tale sorgente diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza dalla sorgente.