2.0 Dielettrici

Ricordiamo brevemente che un conduttore è un metallo la cui disposizione degli atomi del reticolo cristallino è tale da lasciare essenzialmente "liberi" alcuni elettroni (1 o 2 per atomo). L'energia caratteristica dell'interazione fra questi elettroni e il reticolo è piccola, inferiore all'energia termica.

In prima approssimazione tali elettroni formano un "gas" e sotto l'azione di un campo elettrico si spostano venendosi così a creare una separazione di cariche: tale movimento avviene finché il campo elettrico interno   (creato dalla separazione delle cariche si

oppone al campo

All'equilibrio "elettrostatico" il campo all'interno risulta nullo.

Il conduttore si è caricato in superficie.

Ne risulta un "movimento ordinato" nel tempo (concetto di corrente) se viene mantenuta una differenza di potenziale ai capi di un conduttore. Gli elettroni liberi sono detti di conduzione.

Gli isolanti, detti dielettrici sono caratterizzati dall'avere atomi o molecole, con gli elettroni legati ai rispettivi nuclei. Tali elettroni non sono liberi di muoversi sotto l'influenza di un campo elettrico applicato. Tuttavia avviene una separazione tra le cariche (+) e le cariche (-). Ne nasce un dipolo indotto che si orienta nel campo.

Molecola a simmetria sferica:

(1)

momento di dipolo

3.0 Molecole polari

Esistono molecole che hanno momento di dipolo permanente derivante da una distribuzione asimmetrica di cariche. I dipoli sono orientati in tutte le direzioni e il momento risultante è nullo. In campo acquistano un momento diverso da zero (es. molecole dell'acqua):

dipoli senza campo    dal loro allineamento nasce un campo che indebolisce il campo applicato nel rapporto:

3.1 Calcolo di   all'interno di un dielettrico posto fra le armature di un condensatore.

I dipoli si orientano lungo il campo: sono sottoposti ad una coppia di momento

(2)

Si può supporre che le cariche adiacenti si elidano e rimanga un unico dipolo con cariche e , cariche di "polarizzazione" che creano a loro volta che si sovrappone al campo applicato creato dalle (libere) sulle armature.

Sono vettori // e discordi, avendo scelto un condensatore piano.

Poiché

;

; da cui

Per trovare un legame tra e si definisce un nuovo vettore polarizzazione = momento di dipolo per unità di volume.

(3)

dove:

numero atomi / volume

Dimensionalmente:

Si può ipotizzare una dipendenza lineare di dal campo:

(4)

dove:

= suscettività elettrica

Si può quindi scrivere:

avendo posto costante dielettrica relativa.

È uso indicare vettore spostamento (5)

per cui non dipende dal mezzo

4.0 Significato dei vettori ,,

dipende dalla densità di carica (es. sulle armature)

dipende dalla densità di carica di polarizzazione

da entrambi

In un dielettrico valgono le leggi dell'elettrostatica salvo sostituire a:

Infatti esprimendo   

poiché

e quindi   

(6)

In forma differenziale:

   (7)

Andamento di in funzione della frequenza , dell'acqua, fase solida (a) e fase liquida (b):

Per frequenze o Hz

Le molecole non sono in grado di seguire l'alternarsi del campo

Si può notare nella figura che costante e poi cade a zero per frequenze o Hz.

Lo stesso andamento si ottiene per molecole non polari, che in presenza di assumono la forma di dipolo.

Esistono infatti molecole i cui ioni subiscono uno spostamento gli uni rispetto gli altri, come ad esempio NaCl, tuttavia tali molecole sono abbastanza grandi, hanno notevoli momenti di inerzia e all'aumentare della pulsazione del campo applicato, , non sono più in grado di seguire l'alternarsi del campo: la risposta, cioè  la costante dielettrica (), crolla a zero.

Invece gli elettroni hanno piccola inerzia, possono seguire l'alternarsi del campo fino a frequenze ottiche Hz. Vale a dire quando si invia luce sul materiale, cioè (come sarà spiegato in seguito), un'onda elettromagnetica il cui campo elettrico (e magnetico) oscilla con frequenze appunto Hz.

Si può ricavare una espressione analitica dell'andamento della costante dielettrica in funzione della frequenza mediante un trattamento classico nel caso in cui gli elettroni di valenza o esterni sono legati al nucleo in modo isotropo (ovvero, quando le forze di richiamo tra elettroni spostati e nuclei sono sostanzialmente le stesse in tutte le direzioni dello spazio).

Possiamo introdurre un semplice modello meccanico per rappresentare il fenomeno: in figura gli elettroni sono legati al nucleo da "molle" con la stessa costante elastica.

5.0 Atomo non "polare" in un campo elettrico . Dipendenza della polarizzabilitá dalla frequenza .

Si assume l'atomo formato da un nucleo positivo (+) e da una "nuvola" elettronica il cui centro (-) coincide con il nucleo.

Applicando il centro (-) si sposta di un tratto verso l'alto se il campo è rivolto verso il basso.

In questo modello si può pensare anche ad un elettrone (), legato al nucleo da una forza elastica con costante di richiamo . ()

Se il campo elettrico varia sinusoidalmente nel tempo con pulsazione , l'equazione del moto dell'elettrone () risulta:

(*)

Si può pensare che l'elettrone oscilli con frequenza uguale alla frequenza di applicato, cioè

Si ottiene:

sostituendo in (*):

da cui:

Il momento di dipolo risulta:

ma il vettore polarizzazione ( numero di dipoli per unità di volume per il momento di dipolo ) é stato posto proporzionale al campo :

= suscettività elettrica

per cui anche (momento di dipolo di 1 elettrone) é posto :

(8)

risulta sostituendo in :

da cui

= polarizzabilitá elettrica (9)

In definitiva:

(10)

Per (campo applicato costante o nullo) l'elettrone vibra con la sua frequenza caratteristica .

Applicando , se:

"" segue le oscillazioni di , lo spostamento ha lo stesso verso di , cioè in fase

lo spostamento avviene in direzione opposta alla forza e risulta sfasato di 180 gradi

L'espressione: 222d32c

(11)

vale per 1 singolo elettrone; di fatto ogni atomo (o molecola) possiede molti modi di oscillazione con frequenze che sono le frequenze caratteristiche a cui un atomo può assorbire ed emettere energia raggiante.

L'espressione di calcolato, diventa per . Questo risultato non ha significato fisico. Infatti é stato trascurato lo "smorzamento" nell'equazione del moto dell'elettrone. Tale smorzamento é dovuto al fatto che l'elettrone irraggia energia, e ha interazioni con gli atomi circostanti. Si deve introdurre un termine proporzionale alla velocità.

L'equazione del moto diventa :

avendo fatto uso della grandezza complessa:

L'oscillazione dell'elettrone ha l'espressione: 222d32c

Per l'equazione del moto:

Da cui ricaviamo :

Dunque:

Ricordando che , ricalcolando si ottiene:

(11')

Ponendo e , e ricordando che:

otteniamo:

(12)

Ponendo

Ricordando che:

Risulta:

Da cui:

Segue le variazioni del campo con un ritardo ; per abbiamo = max ma non più e

In definitiva la costante dielettrica complessa risulta per la (11'):

(13)

Ponendo , detta pulsazione di plasma, dipende dal tipo di carica e dalla densità, la parte reale ed immaginaria risultano rispettivamente:

(14)

(15)