COMPOSIZIONE MOTI ORBITALI - Calcolo mese sidereo - Movimento linea dei nodi e degli apsidi lunari

Anno tropico = 365,24220 gsm

= 365^d 5^h 48^m 46^s = 31.556.926 s (-5,305 10^-3 s/y)

Stime attuali

Anno sidereo   = 365,256363 gsm

Anno anomalistico = 365,259635 gsm

Anno tropico = 365,242190 gsm

Giorno sidereo = 23^h 56^m 4,0989^s = 86164,0989 s

- Velocità angolare rotazionale Terra: 2p/86164,1 = 7,2921151 10^-5 rad/s = 15,041067 s^-1

Mese sidereo = 27^d 7^h 43^m 11,5^s 27,321661 gsm = 2.360.591,5 s

Mese sinodico = 29^d 12^h 44^m 2,9^s 29,530589 gsm = 2.551.442,9 s

Mese anomalistico = 27^d 13^h 18^m 33,2^s 27,554551 gsm = 2.380.713,2 s

Mese draconico = 27^d 5^h 5^m 35,8^s 27,212220 gsm = 2.351.135,8 s

Calcolo mese sidereo

Velocità angolare orbitale Terra =

Velocità angolare orbitale Luna =

Dopo un mese sinodico (M_sin) la terra si è spostata rispetto al sole di un angolo

La luna, per tornare in congiunzione, dovrà coprire il medesimo angolo e, alla velocità w_L, impiegherà un tempo

Il mese sinodico sarà pertanto uguale al mese sidereo più il tempo impiegato dalla luna per coprire l'angolo a

e, riordinando

Movimento linea dei nodi e degli apsidi lunari

Sia w_nod la velocità angolare della linea dei nodi rispetto alle stelle fisse e w_L la velocità angolare orbitale della luna rispetto alle stelle fisse. Possiamo considerare ora la velocità relativa della Luna rispetto ai nodi, come differenza delle due velocità precedenti (w_L w_nod). Possiamo cioè pensare che i nodi siano fermi rispetto alle stelle fisse e che la luna si muova rispetto a queste con una velocità comprendente anche quella dei nodi.

Si pensi ad un'autovettura A che viaggia a 50 km/h verso un'autovettura B, la quale si avvicini a sua volta a 30 Km/h. Il risultato è il medesimo se si considera una delle due autovetture ferme e l'altra con una velocità pari a (50 - (-30) = 80 Km/h. Nel caso in cui l'autovettura B si stia allontanando nella stessa direzione di A, la sua velocità relativa risulta pari a (50 - 30 = 20 km/h). Si noti come i valori delle velocità abbiano segno concorde se il loro verso è il medesimo, discorde se il verso è contrario.

La Luna impiega un mese draconico (M_dra) a percorrere un'orbita rispetto ai nodi. Possiamo pertanto scrivere

e quindi

I nodi ruotano quindi in senso retrogrado (orario) rispetto alle stelle fisse alla velocità di circa 19° all'anno e impiegano pertanto

per effettuare una rotazione completa.

Analogamente possiamo calcolare la velocità di rotazione degli apsidi lunari rispetto alle stelle fisse

La Luna impiega un mese anomalistico (M_an) a percorrere un'orbita rispetto agli apsidi. Possiamo pertanto scrivere

e quindi

Gli apsidi lunari ruotano quindi in senso diretto (antiorario) rispetto alle stelle fisse alla velocità di circa 41° all'anno e impiegano pertanto

per completare una rotazione.

Rotazione linea degli apsidi terrestri (moto diretto del perielio)

La terra impiega un anno anomalistico A_an a percorrere un orbita rispetto agli apsidi (ad esempio da perielio e perielio). Potremo pertanto scrivere

ed in definitiva

La linea degli apsidi si muove dunque di moto antiorario, concorde con quello di rivoluzione della terra. Ciò porta ad una diminuzione della velocità di rivoluzione della terra rispetto agli apsidi. La rotazione completa della linea degli apsidi rispetto alle stelle fisse si completa quindi in un periodo di

Precessione degli equinozi

La prima stima moderna della velocità di precessione degli equinozi si deve a Newcomb (1896) che trovò per l'anno 1900 il valore w_eq /y, che riportato al 2000, fornisce 50,278 /y.

Le stime più recenti dell'IAU (Unione Astrofisica Internazionale) danno per il 2000 un valore pari a 50,290966 per anno giuliano (365,25 gsm), pari a 3.8246989 10^-5 °/d

Il moto di precessione della linea degli equinozi (precessione generale) è prodotto dall'effetto del sole (precessione solare - 34,6 /y), della luna (precessione lunare - 15,8 /y) e dei pianeti in senso diretto (precessione planetaria 0,12 /y). L'effetto cospirante del sole e della luna si dice precessione lunisolare.

Il fenomeno della precessione fu scoperto da Ipparco di Nicea nel 139 a.C., osservando che le longitudini eclitticali delle stelle erano tutte aumentate di una stessa quantità (circa 2°) rispetto ai valori misurati nel 283 a.C. da Timocari. Poiché la longitudine eclitticale è la distanza angolare di una stella rispetto al punto g (equinozio di primavera), se ne deduce che tale punto si era spostato nell'arco di 144 anni di circa 2° = 7200" (circa 50" all'anno).

La velocità di rotazione del punto gamma rispetto agli apsidi è pari a

Il punto gamma completa dunque una rotazione rispetto agli apsidi (sempre in senso retrogrado) in un periodo di circa

In altre parole ogni 21.000 anni circa l'asse terrestre esegue una rotazione completa rispetto alla linea degli apsidi e le stagioni si ribaltano ogni 10.500 anni.

Nel 2000 i solstizi disteranno dagli apsidi circa 13° (12,9442° = 46 600" - Meeus 1985). Tale angolo è coperto in

Se ne deduce che intorno al 1250 d.C. il solstizio d'estate coincideva con l'afelio (coincidenza apsidi - solstizi). Poiché, infine, la linea degli equinozi compie un quarto di giro ogni 5.250 anni circa (21.000/4) gli equinozi verranno a coincidere con gli apsidi (equinozio di primavera in perielio) verso il 6500 d.C.

In modo analogo possiamo calcolare il periodo di rotazione della linea degli equinozi (w_eq) rispetto alle stelle fisse

detto anno platonico.

(Anno platonico = 25.770 anni tropici).

Tenendo conto che una costellazione dello zodiaco ha un'ampiezza di 30°, gli equinozi (ed i solstizi) percorrono ciascuna costellazione in 1/12 di anno platonico, pari a circa 2.150 anni. Se l'equinozio di primavera cadeva 2000 anni fa nella costellazione dell'Ariete, oggi cade nei Pesci.

Anno Tropico

L'anno tropico viene spesso definito come il tempo necessario affinché il sole compia una rivoluzione rispetto al punto gamma (intervallo tra due equinozi di primavera). In realtà il valore che viene normalmente associato all'anno tropico (365,242190 gsm) è un valore medio (anno tropico medio). Infatti la durata dell'anno tropico dipende dal punto dell'orbita che si prende come riferimento ed il suo valore è ad esempio diverso se lo si misura rispetto all'equinozio d'autunno o ad uno dei due solstizi.

La causa di tali differenze va ricercata nel fatto che la terra non completa la sua orbita quando ritorna allo stesso equinozio o allo stesso solstizio (per il moto di precessione di tali punti) ed il tratto parziale di orbita che ha percorso viene compiuto in tempi differenti in relazione alla diversa velocità con cui si muove nei diversi punti della sua orbita.

La velocità lineare (v) e angolare (w) della terra lungo la sua orbita dipendono dalla sua distanza R dal sole secondo le relazioni

con

M_S (massa del Sole) = 1.9891 10³³ g

M_T (massa della Terra) = 5,9742 10²⁷ g

G (costante di gravitazione universale) = 6,67259 10^-8

a (distanza media Sole-Terra = semiasse maggiore dell'orbita = 1 UA) = 1.4959787 10¹³ cm

Calcoliamo la sua velocità media rispetto all'orbita

Possiamo allora calcolare la durata dell'anno tropico medio sottraendo all'anno anomalistico (tempo necessario per percorrere l'intera orbita da perielio a perielio) il tempo mediamente necessario alla Terra per coprire l'angolo di precessione che fa annualmente slittare equinozi e solstizi rispetto agli apsidi (61,9 secondi d'arco)

L'anno tropico è dunque mediamente 0,01745 giorni più breve dell'anno anomalistico (365,25964 - 0,01745 = 365,24219).

Se consideriamo la velocità massima (in perielio) e minima (in afelio) con cui la terra si muove possiamo calcolare quale è il valore minimo e massimo che può assumere l'anno tropico.

La distanza R della terra dal sole si può determinare scrivendo l'equazione in coordinate polari di un'ellisse

dove

e (eccentricità dell'orbita terrestre) = 0,01672

a (distanza media Sole-Terra = semiasse maggiore dell'orbita = 1 UA) = 1.4959787 10¹³ cm

q = angolo antiorario che il raggio vettore R forma con la direzione sole-perielio

Poiché

q = 0° in perielio e cos 0° = 1

q = 180° in afelio e cos 180° = -1

le corrispondenti distanze minima e massima valgono

Utilizzando la distanza minima si otterrà la velocità massima (in perielio), mentre la distanza massima fornirà la velocità minima (in afelio)

il tempo minimo e massimo necessario alla Terra per coprire l'angolo di (61,9 secondi d'arco)

L'anno tropico può quindi durare approssimativamente dai 24 ai 26 minuti in meno dell'anno anomalistico, a seconda del punto dell'orbita che si prende come riferimento.

Tenendo conto che attualmente la linea degli equinozi forma un angolo di circa 13° con la linea degli apsidi è possibile stimare la durata dell'anno tropico rispetto ai quattro diversi punti equinoziali e solstiziali.

La distanza Terra-Sole e la velocità angolare nei punti equinoziali e solstiziali possono essere calcolate conoscendo l'angolo q che il raggio vettore forma con la direzione Sole-Perielio. Tale angolo vale rispettivamente

Equinozio Primavera    q - 13° R = 1,4900 10¹³ cm w = 0.04140 arcsec/s

Solstizio Estate q R = 1,5203 10¹³ cm w = 0.03976 arcsec/s

Equinozio Autunno q R = 1,5012 10¹³ cm w = 0.04078 arcsec/s

Solstizio Inverno q R = 1,4716 10¹³ cm w = 0.04243 arcsec/s

Si determina di conseguenza la relativa lunghezza dell'anno tropico come differenza rispetto all'anno anomalistico

A_an - A_tr Anno Tropico A_Gr - A_tr

Equinozio Primavera    1.495 s = 0,01730 d 365,24233 0,00017 d

Solstizio Estate    1.557 s = 0,01802 d 365,24161 0,00089 d

Equinozio Autunno  1.518 s = 0,01757 d 365,24207 0,00043 d

Solstizio Inverno  1.459 s = 0,01689 d 365,24275 - 0,00025 d

Media   1.507 s = 0,01745 d 365,24219 0,00031 d

Sull'ultima colonna compare la differenza tra l'anno gregoriano (365,2425) e l'anno tropico. Si noti come l'assunzione dell'Equinozio di Primavera come punto di riferimento per la misura dell'anno tropico rende attualmente minima la sfasatura con il calendario gregoriano.

NOTA

Gli algoritmi di Meeus (1985) generano per il 2000 una durata dell'anno tropico (misurata in tempo delle effemeridi ET) leggermente diversa

Anno Tropico A_Gr - A_tr

Equinozio Primavera 365,242377 0,000123 d

Solstizio Estate  365,241629 0,000871 d

Equinozio Autunno    365,242021 0,000479 d

Solstizio Inverno   365,242744 - 0,000244 d

Media   365,242193 0,000307 d

Tali durate sono perfettamente coerenti con un angolo di 16,8° tra linea degli equinozi e linea degli apsidi, mentre gli stessi algoritmi forniscono un angolo di 12.9442°.

Data degli equinozi e dei solstizi

Per determinare la data degli equinozi e dei solstizi è necessario osservare come la durata dell'anno tropico, precedentemente calcolata per ciascun equinozio e per ciascun solstizio, si riferisca ai cosiddetti equinozi e solstizi medi, in assenza cioè dei fenomeni di nutazione e aberrazione. Gli equinozi ed i solstizi veri possono cadere fino a qualche decina di minuti prima o dopo la data prevista per gli equinozi ed i solstizi medi.

Gli algoritmi di Meeus (1985) generano per il 2000 i seguenti valori per gli equinozi ed i solstizi medi e veri (tempo delle effemeridi ET)

data giuliana (medio) medio vero

equinozio di marzo 2 451 623, 804 397 JD 20^d 7^h 18^m 19,9^s 20^d 7^h 31^m

solstizio di giugno 2 451 716, 562 127 JD 20^d 1^h 29^m 27,8^s 20^d 1^h 46^m

solstizio di settembre    2 451 810, 211 722 JD 22^d 17^h 4^m 52,8^s 22^d 17^h 24^m

solstizio di dicembre 2 451 900, 054 191 JD 21^d 13^h 18^m 2,1^s 21^d 13^h 36^m

Per determinare la data dell'equinozio/solstizio medio in un intervallo di anni non eccessivamente esteso, calcoliamo la differenza X tra anno giuliano (365,25) ed anno tropico. E' allora facilmente verificabile che:

se l'anno successivo non è bisestile, l'equinozio/solstizio medio avanza di (6^h - X)

se l'anno successivo è bisestile, l'equinozio/solstizio medio retrocede di (18^h + X)

essendo X:

Equinozio di marzo  X = 365,25 - 365,24233 = 0.00767 d 662,7 s 11.045 m

Solstizio di giugno    X = 365,25 - 365,24161 = 0,00839 d 724,9 s 12.082 m

Equinozio di settembre X = 365,25 - 365,24207 = 0,00793 d 685,2 s 11.419 m

Solstizio di inverno   X = 365,25 - 365,24275 = 0,00725 d 626,4 s 10.440 m

Medio   X = 365,25 - 365,24219 = 0,00781 d 674,8 s 11.246 m

Ad esempio, partendo dai valori dati per il 2000, si calcola per i 4 anni successivi

La data degli equinozi e dei solstizi oscilla dunque sia per il meccanismo del calendario (che alterna anni civili di 365 giorni ad anni di 366), sia per i fenomeni di nutazione ed aberrazione. Così l'equinozio di primavera cade il 19/21 marzo

il solstizio d'estate cade il 20/22 giugno

l'equinozio di autunno cade il 22/24 settembre

il solstizio d'inverno cade il 20/22 dicembre

La data media sta comunque impercettibilmente variando poiché l'anno tropico ha una diversa durata rispetto all'anno gregoriano su cui si basa il nostro calendario. Ad esempio l'equinozio medio di primavera anticipa di 0.00017 giorni all'anno, mentre il solstizio d'inverno posticipa di 0.00025 giorni (dal riallineamento gregoriano del calendario avvenuto verso la fine del 1500 ad oggi l'equinozio ha quindi anticipato di circa 15^s mentre il solstizio ha posticipato di circa 22^s)

Data afelio/perielio

Per determinare la data in cui la terra si trova in corrispondenza degli apsidi è necessario osservare come la durata dell'anno anomalistico si riferisca al baricentro del sistema terra-luna. Così il momento di distanza massima o minima tra il centro della terra ed il centro del sole può differire fino ad oltre un giorno da quello del baricentro.

Gli algoritmi di Meeus (1985) generano per il 2000 i seguenti valori (tempo delle effemeridi ET)

data giuliana

Perielio 2 451 547, 510 272 JD 04^d gennaio 00^h 15^m 26,8^s

Afelio  2 451 730, 140 549 JD 04^d luglio 15^h 22^m 23,5^s

Per determinare la data dell'afelio/perielio medio in un intervallo di anni non eccessivamente esteso, calcoliamo la differenza X tra anno anomalistico ed anno giuliano (365,25).

X = 365,25964 - 365,25 = 0.00964 d 832,9^s 13,882^m

E' allora facilmente verificabile che:

Per il Perielio

se l'anno di partenza è bisestile il perielio successivo retrocede di (18^h - X)

se l'anno di partenza non è bisestile il perielio successivo, avanza di (6^h + X)

Per l'Afelio

se l'anno successivo non è bisestile, l'afelio avanza di (6^h + X)

se l'anno successivo è bisestile, l'afelio retrocede di (18^h - X)

Ad esempio, partendo dai valori dati per il 2000, si calcola per i 4 anni successivi

Anche la data degli apsidi oscilla sia per il meccanismo del calendario, sia per l'azione della luna.

La data media sta comunque lentamente posticipando poiché l'anno anomalistico è ben 0.01714 giorni più lungo dell'anno gregoriano. Ciò significa che la data degli apsidi posticipa di un giorno ogni 60 anni circa (1/0.01714 60). Così all'inizio del 1900 la data del perielio oscillava tra il 2/3 gennaio e quella dell'afelio tra il 3/4 luglio, mentre ora oscillano rispettivamente tra il 3/4 gennaio ed il 4/5 luglio.

Effetto della precessione sulle coordinate celesti

Tenendo presente che l'eclittica è inclinata di 23° 26' 21" ( 23,44°) rispetto all'equatore celeste è possibile calcolare facilmente l'effetto della precessione sulle coordinate equatoriali (Ascensione Retta e Declinazione).

Detta w_g la velocità di rotazione del punto gamma (w_g w_eq = - 50,291"/y), le componenti di tale velocità lungo l'equatore e lungo il meridiano celeste fondamentale (coluro) sono rispettivamente

Giorno siderale

Il giorno siderale è il periodo di rotazione della terra misurato rispetto al punto gamma (intervallo di tempo tra due culminazioni successive del punto gamma). Poiché il punto gamma si muove di moto retrogrado (orario), con una velocità rispetto all'equatore celeste pari a

La velocità di rotazione della terra rispetto al punto gamma sarà al solito pari alla differenza tra la velocità di rotazione della terra rispetto alle stelle fisse e la velocità equatoriale del punto gamma (sempre rispetto alle stelle fisse)

La rotazione della Terra rispetto al punto gamma si completa dunque in un periodo di

detto giorno siderale, il quale risulta pertanto 8,4 10^-3 s più breve del giorno sidereo.