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Teorema degli 0, di Weirstrass, di Rolle

matematica


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Teorema degli 0, di Weirstrass, di Rolle

Teorema degli 0

Definizione: Sia f continua in [a ; b], allora se f (a)* f(b) < 0, esisterà un punto C Є [a ; b] tale che

f (c) = 0

Dimostrazione: Per il teorema di Weirstrass la funzione ha max e min assoluto m;M .

Se f (a) *  f(b) < 0 vuol dire che il condominio di f, contiene almeno un numero positivo ed un numero negativo, quindi m (minimo) deve essere < 0 e M (massimo) deve essere > 0.

Il min assoluto m<0 ed il max assoluto M>0, allora per il teorema di W. , poiché f assume tutti i valori compresi fra M ed m, assumerà anche il valore 0.

(m < 0 < M).



Teorema di Weirstrass

Definizione: sia f unas funzione continua i un intervallo a,b chiuso e limitato. Allora:

  1. f è limitata (il condominio di f è un insieme limitato)
  2. f ha max e min (il condominio di f  ha un valore max e min)
  3. f assume tutti i valori compresi fra il suo max il suo min

Teorema di Rolle

Definizione: Sia f  continua nell'intervallo chiuso e limitato [a ; b] e sia derivabile in (a , b) e        f(a) = f(b) allora Э un punto C Є (a , b) tale che f' (c) = 0

Dimostrazione: Poiché f  è continua in [a ; b] cioè intervallo chiuso e limitato, per il teorema di W. ha massimo M e minimo m.

I Caso

Se m = M allora la f è costante in tutto l'intervallo e allora la sua derivata prima è 0 in tutti i punti dell'intervallo [a ; b].

II Caso

Se M>m allora il punto di max assoluto o il punto di min assoluto cadono all'interno dell'intervallo [a ; b]. Infatti se entrambi fossero sul bordo  ( cioè uno in a l'altro in b) poiché f(a) = f(b) dovrebbe risultare che M = m, questo non è possibile.

Dunque avrei trovato un punto di min\max che è interno ad [a ; b], dove la funzione è derivabile, allora per il teorema della derivata nulla, in quel punto f' è nulla, quindi questo punto è quello cercato

C = max\min = 0

N.B. (Il teorema di Rolle mi da la sicurezza che nel caso di f continua e derivabile in [a ; b] e       f(a) = f(b), che esiste un punto interno con derivata nulla.

Questo però non vuol dire che se f(a) ≠ f(b) non si verifichi la stessa cosa. Dipende dal tipo di funzione.

Teorema della derivata nulla

Definizione: Sia f definita su A a valori R, e siano verificate le seguenti ipotesi:

1.      Xo è max\min relativo di f

2.      f sia derivabile in Xo

3.      Xo sia punto interno di A

Allora segue che:  f' (Xo) = 0.

Dimostrazione:

Supponiamo che Xo sia punto di max relativo. Cioè che esiste un intorno di Xo (I xo) tale che:

f (Xo) > f (X)   per ogni X Є  (I xo) intersecato con A.

Devo dimostrare che:

                        f (X) - f (Xo)

lim         _________________      = 0

x→Xo              X - Xo

Considero un intorno destro di Xo   (cioè x>Xo)

                   f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________       ≤ 0                   (  f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I xo )

 

                    X - Xo

                   f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________        > 0                   (  X > Xo sono a destra  )

 

                    X - Xo

R(x) ≤ 0  Per ogni X > Xo                     X Є Ixo          per il teorema del confronto fra limiti che :

                                                                                                        lim R(x)     0

                                                                                                           x→Xo+

Considero un intorno sinistro di Xo, cioè prendo X<Xo

                   f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________       ≤ 0                   (  f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I xo )

 

                    X - Xo

                   f(X)- f (Xo)

R(x) =     ____________        0                    ( X < Xo sono a sinistra)

 

                    X - Xo

R(x) ≥ 0 per ogni X < Xo                                        per il teorema del confronto fra limiti che :

                                                                                                 lim -R(x)  ≥0

                                                                                                  x→Xo-

Poiché f è derivabile in Xo, allora dico che lim  R(x)  =  lim  R(x)

                                                                      x→Xo+            x→Xo-

Questa affermazione è possibile solo se:

lim R(x) = 0      e     lim R(x) = 0

 x→Xo+                           x→Xo-

Teorema del valor medio

                                                        LAGRANGE

(con dimostrazione)

Se:

  • f continua in [a ; b]
  • f derivabile in [a ; b]

Implica che:

                                                                                   f (b) - f (a)

                                Э c Є [a ; b] /   f ' (c)          =   __________

                                                                         b - a

   

 

      f (b) - f (a)

    __________          è il coefficiente angolare della retta secante il grafico nei punti

       b - a                      ( a ; f (a) )      e    ( b ; f (b) )

   

Può essere infatti considerato come un rapporto incrementale:

              f(x)  -   f (x°)




R   =    ___________

                  x - x°

Significato geometrico: esiste un punto c Є   [a ; b]   tale che la retta tangente il grafico nel

 punto ( c ; f (c) ) ha lo stesso coefficiente angolare della retta secante il grafico nel punto

( a ; f (a) ) e ( b ; f (b) )

DIMOSTRAZIONE

costruisco la seguente funzione g (x)

                           ( f (a) - f (b))

g (x)  =  f (x) -   ____________     *   (x - a)

                                (b - a)

VERIFICHIAMO SE  g (x)  SODDISFA LE IPOTESI DEL TEOREMA DI ROLLE:

  • g è continua in (a ; b ) perché somma di funzioni continue  ( 1° ipotesi teorema di Rolle)

f (x) è continua per ipotesi.

                                      ( f (a) - f (b) )

                                   ____________     *   (x - a)        → è continua in  [a ; b]

                                          (b - a)

  • g è derivabile in ( a ; b ) perché somma di funzioni derivabili ( 2° ipotesi teorema di Rolle)

f è derivabile in ( a ; b )

 

                                         ( f (a) - f (b) )

                                       ____________     *   (x - a)        → è  derivabile ovunque in  [a ; b]

                                               (b - a)

  • Verifichiamo se g ( b ) = g ( a )

Calcolo g (a ) :

                                                                   ( f (b) - f (a))

                                         g (x)  =  f (x) -   ____________     *   (x - a)

                                                                        (b - a)

                                                                      

sostituisco a alle x:                 

                                                f (b) - f (a)        *      (a - a)     

                    g (a) = f (a)  -   ___________                            =

                                                                 b - a

                                                              

                                                               g ( b ) = f  ( a )

           

QUINDI SE:          

                                    g ( a ) = f (a )

                                                      g ( a ) = g ( b )

        g ( b ) = f (a )

Poiché g ver4ifica tutte le ipotesi del teorema di Rolle allora esiste un punto c appartenente ad

 ( a ; b ) tale che g' (c) = 0

Verifico calcolando g' :

 (x - a) = è una funzione                                                          f(b) - f (a) 

                                                                        _________ = è uyna costante  k

                                                                                                   b - a

g' = f ' (x) - k - 1       

                                   

( La derivata di una costante per una funzione è uguale alla costante k per la derivata della funzione)

                                   f(b) -  f(a)

g' ( c ) = f ' ( c ) -  ______________      g' ( c ) = 0

                                      b - a

                     f(b) -  f(a)

 f ' ( c ) =  ____________   

                         b - a

 

Teorema dell HỒPITAL

Definizione: Siano f e g due funzioni derivabili in un intorno di Xo sia:

            

                f (x)  

lim          ____  una forma indeterminata  del tipo 0/0 o ∞/∞

x→Xo          g (x)

                                                 f (x)                                         f ' (x)

allora, se esiste il     lim         _____    =                  lim        _______

                                 x→Xo          g (x)                         x→Xo         g '  (x)

N.B. se esiste

                        f ' (x)

        lim        _______

        x→Xo          g '  (x)         

                                                                      f (x)     

potrebbe ancora esistere il         lim        ______

                                                        x→Xo          g '  (x)        







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