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GEOMETRIA ANALITICA

matematica


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GEOMETRIA ANALITICA

 

La DISTANZA TRA 2 PT è uguale alla radice quadrata della differenza delle ascisse al quadrato più la differenza delle ordinate al quadrato sqrt((x2-x1)²+(y2-y1)²)

La CIRCONFERENZA è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

P€gnd(P, C)=r              delta<0             C (-a/2;-b/2)           r = sqrt((a/2)²+(b/2)²)



(x - x0)² + (y - y0)² = r²   à equazione della circonferenza di centro C(x0; y0) e di raggio r.

x² + y² = r²   à equazione della circonferenza di centro O(0; 0) e di raggio r.

x² + y² + ax + by + g = 0   à equazione canonica della circonferenza; equazione di 2° grado in x e y, mancante del termine contenente il prodotto xy e con i coefficienti di x² e y² uguali a 1.

La PARABOLA è il luogo geometrico dei  punti di un piano equidistanti da un punto fisso F (detto fuoco) e da una retta data d (detta  direttrice).

P(x,y)€g n d(P,F)=d(P,d)           d(F,d)=2m         delta=0

y = ax²à equazione della parabola di vertice l’origine O e asse di simmetria coincidente con l’asse y.

a>0                              àconcavità verso l’alto

a<0                              àconcavità verso il basso

vertice                           àO(0,0)

asse di simmetria          às: x=0 (asse y)  

y - y0 = a(x - x0)²  à equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e vertice in V(x0 ;y0).

y = ax² + bx + cà  equazione della  parabola con  asse di  simmetria parallelo  all’asse y

a>0                              àconcavità verso l’alto

a<0                              àconcavità verso il basso

vertice                          àV(-b/2a;-delta/4a)

assi di simmetria    às1: x=-b/2a                      s2: y=-b/2a

x = ay² + by + cà equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x.

a>0                              àconcavità verso destra

a<0                                 àconcavità verso sinistra

vertice                          àV(-delta/4a;-b/2a)

asse di simmetria           às: y=-b/2a

  

L’ELLISSE è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

P€g nF1P+F2P=2a  a>0               F1F2=2c            F1(-c; 0)  F2(c; 0)        P(x; y)             delta<0




(x² / a²) + (y² / b²) = 1  à equazione dell’ellisse riferita al centro e agli assi di simmetria, cioè simmetrica rispetto agli assi x e y e all’origine O(0 ;0) con i fuochi sull’asse x.

(x² / b²) + (y² / a²) = 1  à equazione dell’ellisse riferita al centro e agli assi di simmetria, cioè simmetrica rispetto agli assi x e y e all’origine O(0 ;0) con i fuochi sull’asse y.

((x - x0)² / a²) + (y - y0)² / b²) = 1   à equazione dell’ellisse riferita a delle parallele ai suoi assi di simmetria di centro (x0;y0) e di semiassi a e b

mx² + ny² + px + qy + r = 0   m•n>0  à equazione dell’ellisse riferita a delle parallele ai suoi assi di simmetria; equazione di 2° grado in x e y, mancante del termine contenente il prodotto xy e con i coefficienti di x² e y² concordi (m•n>0).

L’IPERBOLE è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze tra due punti fissi detti fuochi

P€gn|PF2-PF1|=2a  a>0                       F2F1=2c           F(±sqrt(a²+ b²))              delta>0

(1) (x² / a²) - (y² / b²) = 1   à equazione dell’iperbole riferita al centro e agli assi di simmetria cioè simmetrica rispetto ad essi. Ponendo a sistema l’equazione y=0 dell’asse x con la (1) si ottiene x = ±a, l’asse x interseca quindi l’iperbole nei punti A1(a; 0) e A2(0; a) chiamati vertici dell’iperbole. Gli asintoti dell’iperbole sono rette che non intersecano mai l’iperbole, ma ad essa si avvicinano indefinitamente a mano a mano che ci si allontana dall’origine ed hanno queste equazioni y =(b/a)x e y=-(b/a)x; l’equazione complessiva degli asintoti è (x²/a²)-(y²/b²)=0

mx² + ny² + px + qy + r = 0    m•n<0   à equazione dell’iperbole con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati; equazione di 2° grado in x e y, mancante del termine contenente il prodotto xy e con i coefficienti di x² e y² discordi (m•n<0).

((x - x0)² / a²) - (y- y0)² / b²) = ± 1   à equazione dell’iperbole con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati e centro O(0 ; 0); l’equazione complessiva degli asintoti è y-y0=±b/a(x-x0).

GONOMETRIA

 

                   

L’ ampiezza di un arco è l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

Il grado è la 360ª parte della circonferenza usata come unità di misura.

Il radiante è l’arco che rettificato è uguale al raggio della circonferenza alla quale l’arco appartiene (fig.1).

Il campo di esistenza è l’insieme di tutti quei numeri reali per cui esiste la funzione ed è reale.

La circonferenza goniometrica è la circonferenza avente il centro nell’origine degli assi e il raggio = 1.

Il seno di un angolo è il rapporto tra la distanza di un punto P, del secondo lato, dalla retta del primo e la distanza dello stesso punto dal vertice O (fig.2); nella circonferenza goniometrica è l’ordinata di P; il suo campo di esistenza varia da -¥ a +¥, il condominio da –1 a 1.

Il coseno di un angolo è il rapporto tra la proiezione , sulla retta del primo lato, di un segmento OP scelto sul secondo e il segmento OP stesso; nella circonferenza goniometrica è l’ascissa di P (fig.2).

La tangente di un angolo è il rapporto tra la distanza di un punto P, sul secondo lato, dalla retta del primo e la proiezione, sempre sulla retta del primo lato, del segmento OP scelto sul secondo (fig.2); negli archi di 90° e 270° non è definita la tangente.

sena = HP/OP            cosa=OH/OP             tga=HP/OH

coseca=OP/HP          seca=OP/OH             cotga=OH/HP

Un’equazione goniometrica è un’equazione in cui figurano funzioni goniometriche, cioè quando la x compare nell’argomento della funzione goniometrica.       Es. senx=1/2

Prima relazione fondamentale: cos²a + sen²a = 1

 

  








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