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Equazioni e disequazioni irrazionali - Equazioni

matematica


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Equazioni e disequazioni irrazionali

Equazioni

In generale, un'equazione si dice irrazionale se l'incognita compare sotto il segno di radice:

con  intero . Per la risoluzioni di queste equazioni, distinguiamo due casi:




1.       dispari ( )

2.       pari ( ) .

·          dispari

Poiché, se è dispari e  e  sono due numeri reali qualunque, tale che:

si ha:

Quindi l'equazione irrazionale, se  è dispari, si risolve semplicemente elevando a potenza -esima entrambi i membri.

Esempio

Risolviamo l'equazione:

Elevando entrambi i membri al cubo si ottiene l'equazione equivalente:

da cui, riducendo a forma normale si ha l'equazione:

le cui radici sono:

·          pari

Anche nel caso in cui si ha n pari sia:

con l'unica differenza che a e b siano non negativi.

Per risolvere l'equazione  occorrerà imporre alcune condizioni, e specificamente:

a)    la condizione di realtà del radicale:

b)      la condizione di concordanza dei segni tra i due membri:

c)      la condizione ottenuta elevando ambo i membri alla potenza -esima:

Quindi, se n è pari, l'equazione  è equivalente al sistema:

che, osservando che la condizione  è implicita nella seconda equazione, diventa:

Esempio 1

Risolviamo l'equazione

si avrà che:

da cui segue che:

Poiché  e , l'equazione avrà come unico risultato:

Esempio 2

Risolviamo l'equazione:

In questo caso bisogno dapprima imporre la condizione di realtà dei tre radicali, che devono essere verificate contemporaneamente:

da cui si ricava .

Sotto la condizione di  entrambi i membri dell'equazione sono positivi; possiamo perciò elevare al quadrato, ottenendo il sistema equivalente:

da cui:

e, elevando di nuovo al quadrato, si avrà:

risolvendo l'equazione di secondo grado avremo:

E, poiché e , l'equazione irrazionale avrà come unico risultato:

Disequazioni

Una disequazione si dice irrazionale se l'incognita compre sotto il segno di radice. Considerando disequazioni del tipo:

con  intero . In questo caso distinguiamo due casi, come per le equazioni:

1.       dispari ( )

2.       pari ( ) .

·          dispari



Per fissare le idee, sia . In tal caso, se ricordiamo la proprietà delle disuguaglianze:

si ha che la disequazione  equivale a:

Quindi per risolvere disequazioni del tipo  con  dispari, basta elevare a potenza -esima entrambi i membri, ottenendo una disequazione equivalente ed equiversa.

Esempio

Risolviamo la disequazione:

Elevando al cubo entrambi i membri si avrà:

da cui si ottiene:

Poiché le radici dell'equazione associata sono e , la disequazione è verificata per:

·          pari

Per far capire il concetto, supponiamo che . Occorre distinguere due sottocasi:

a)   

b)   

Passiamo ad esaminare i due casi distintamente.

  - Perché la disuguaglianza abbia senso occorre imporre la condizione di realtà del primo membro:

inoltre, essendo il primo termine non negativo, affinché la disequazione risulti soddisfatta occorre il polinomio  sia positivo:

Avendo imposto queste condizioni, si ha che i due termini della disuguaglianza non sono negativi; quindi ora eleviamo al quadrato la disequazione:

Pertanto la disequazione iniziale equivale al seguente sistema:

Esempio

Risolviamo la seguente disequazione:

Imponendo la condizione di realtà del primo membro, la condizione di positività del secondo e, infine, elevando al quadrato avremo il seguente sistema:

ossia:

La terza disequazione, avendo il , è verificata .

Ora riportiamo su un grafico le soluzioni delle prime due disequazioni:

Si ricava che il sistema è soddisfatto per:

 - La condizione di realtà del primo membro è data da:

Ora, se , la disequazione è senz'altro verificata, quindi le soluzioni del sistema:

sono soluzioni della disequazione.

Nel caso in cui sia , la disequazione è soddisfatta se:

quindi sono soluzione della disequazione data anche le soluzioni del sistema:

Poiché la condizione  è già implicita nella terza disequazione:

avremo che il sistema si può scrivere come segue:

In conclusione, l'unione dei due sistemi:

dà l'insieme delle soluzioni della disequazione data.

Esempio

Risolviamo la disequazione:

Le soluzioni della disequazioni data si ottengono unendo le soluzioni dei due sistemi:

·         Il primo sistema equivale a:

con soluzione .

·         Il secondo sistema, invece, equivale al seguente:

da cui si ottiene:

Riportando le soluzioni su un grafico si vede che il secondo sistema è soddisfatto per .

Dunque la disequazione irrazionale data è soddisfatta per:

quindi per:







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