CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

P(U2|B) = (P(U2)*P(B|U2))/P(B)

= (1/10*5/6)/(32/60) = 5/32

B2)

Si supponga di sapere che lo 0.001% di una popolazione è affetta da una determinata malattia. Per rilevare tale patologia si utilizza un test clinico con le seguenti caratt 616h73g eristiche: se una persona è ammalata, il test risulta positivo con probabilità 0.999, mentre, se è sana il test risulta positivo con probabilità 0.002. Scelta a caso una persona, se il test risulta positivo, quale è la probabilità che la persona sia veramente affetta dalla malattia?

RISOLUZIONE

0.001 = popolazione malata

0.999 = test positivo malato

0.002 = test positivo sano

O = "persona malata"

T = "test positivo"

P(O) = 0.001 P(T|O) = 0.999

P(T|Ō) = 0.002  P(Ō) = 1-P(O)=0.999

P(T) = P(O)*P(T|O)+P(Ō)*P(T|Ō) =

= (0.001*0.999)+(0.002*0.999) = 0.002997

P(O|T)=(P(O)*P(T|O))/P(T) = 0.33333 periodico

B3)

L'urna A contiene due palline bianche e due nere, mentre l'urna B contiene tre palline bianche e due nere. Si estrae una pallina da A e, senza vederla, la si inserisce in B. Successivamente si estrae da B, senza reinserimento, una pallina che risulta essere bianca. Si determini la probabilità che la pallina trasferita da A a B sia stata bianca, sapendo che la pallina estratta da B è bianca. Inoltre, si vuole estrarre un'ulteriore pallina dall'urna B. Si calcoli la probabilità che tale pallina sia bianca.

RISOLUZIONE

A = 2 B 2 N

B = 3 B 2 N

Dopo l'inserimento di una pallina in B possiamo avere :

B1 = 4 B 2 N

B2 = 3 B 3 N

P(B1)= 1/2 P(B2)= ½

H = "Estraggo la pallina bianca dall'urna B"

P(H) = P(B1)*P(H|B1) +P(B2)*P(H|B2)

= (1/2*4/6)+(1/2*3/6)=

SCELGO B1 perché HA LA PROBABILIT Più ALTA TRA LE DUE POSSIBILIT PRESENTI.

P(B1|H) = (P(B1)*P(H|B1))/P(H) = 0.57

H2 = "Estraggo la seconda pallina bianca dall'urna B senza reinserimento"

B1 = 3 B 2 N

B2 = 2 B 3 N

P(H2) = P(B1)*P(H2|B1)+P(B2)*P(H2|B2)

= (1/2*3/5)+(1/2*2/5)=

P(B1|H2) = (P(B1)*P(H2|B1))/P(H2) =

B4)

Un'azienda produce processori che, al termine del ciclo lavorativo giornaliero, vengono ripartiti in quattro lotti di uguale numerosità, siano questi L1, L2, L3, L4. Si è verificato un inconveniente nella produzione per cui un trentesimo delle unità di L1, un quarantesimo delle unità di L2 e un centesimo di L3 risultano difettose, mentre l'ultimo lotto non contiene pezzi difettosi. Alla fine della giornata si sceglie a caso un lotto e da esso si sceglie un processore. Quale è la probabilità che il processore sia funzionante? Se il processore risulta effettivamente funzionante, quale è la probabilità che esso provenga dal lotto L1?

RISOLUZIONE

P(L1)= P(L2)= P(L3)= P(L4)= 1/4

P(X=0|L1) = 1/30 P(X=0|L2) = 1/40 P(X=0|L3) = 1/100 P(X=0|L4)=0

X = 1 SE FUNZIONA

X = 0 SE NON FUNZIONA

P(X = 1)= 1-P(X = 0)

=1-[P(X=0|L1)*P(L1)+P(X=0|L2)*P(L2)+P(X=0|L3)*P(L3)+P(X=0|L4)*P(L4)]

P(L1|X=1)= (P(L1 ∩ X=1))/P(X=1) = (P(L1)*P(X=1|L1))/P(X=1)

=(P(L1)*[1-P(X=0|L1)])/P(X=1)= (1/4*[1-1/30])/0.983

B5)

Una rete è costituita da 15 PC per altrettanti operatori e da un server che permette la connessione di al più 10 PC. In un dato istante, ogni operatore richiede la connessione al server a p=0.5. Ogni utente opera in modo indipendente. Quale è la probabilità con probabilità che, ad un dato istante, la rete sia satura? Qual è il numero medio di operatori che, in un dato istante, si connettono al server?

RISOLUZIONE

Y = "numero di utenti che chiedono la connessione"

Y>10 P(Y>10)

yЄ

P(Y = y)=(15 y)[1]*(1/2)^y*(1/2)^15-y = (15 y)*(1/2)^15

15 15

P(Y>10) = P(Y = y) = (15 y)*(1/2)^15 =0.059

y=11 y=11

Bi(n,p) E(Y)= 15/2 = 7.5

B6)

Su mille automobili vendute di un certo modello, ogni mese 10 richiedono un intervento di assistenza. Un concessionario ha venduto 100 automobili di questo tipo. Si proponga un modello probabilistico ragionevole per la variabile casuale X che conta il numero di interventi di assistenza (alle 100 automobili vendute) che tale concessionario effettuerà nel prossimo mese. Si calcolino E(X),V(X)e P(X =0).

RISOLUZIONE

1000 auto   10 assistenza 100 vendute

x = "interventi"

Bi(n,p)

n = 100   p = (1/10)= 10/1000

E(x) = 100 * 1/100 = 1

V(x) = 100* 1/100 * 99/100 = 99/100

P(X = 0)= (100 0)[2]*(1/100)^0*(99/100)^100 = 99/100^100

P(X = x)= (100 x)*(1/100)^x*(99/100)^100-x

xЄ

B7)

Un dado equilibrato viene lanciato 900 volte. Sia X la variabile casuale che conta il numero di volte in cui compare il numero 6. Determinare E(X), V(X) e, con una opportuna approssimazione, P(X=180). Per un difetto di fabbricazione, una partita di dadi contiene alcuni non equilibrati che, in particolare ,associano al numero 6 una probabilità pari a 2/9. Si decide di considerare truccato un dado se, lanciato 900 volte, presenta il 6 in almeno 180 lanci. Qual è la probabilità che, avendo effettuato la prova, un dado considerato truccato sia effettivamente non equilibrato?

RISOLUZIONE

Binomiale(n,p) = Bi(900, 1/6)

X ="esce 6 dal lancio del dado"

P = 1/6    n = 900

E(x) = 900/6 = 150

V(x) = 900/6 *5/6[3] = 125

900

P(X>180)= (900 x)*(1/6)^x*(5/6)^900

x=180

X-E(x)/√(V(x)) => Z   X-150/√(125)

P(X ≥ 180) = P ((X-150)/√(125)≥(180-150)/√(125))

P(Z ≥ 30/√(125)) = P(Z ≥ 2.683) = 1-P(Z < 2.683) = 0.037

Bi = (900,2/9) adesso bisogna ricalcolare tutto utilizzando p=2/9

B8)

Si considerino 5 urne, identiche in apparenza, contenenti 4 palline nere e un numero variabile di palline bianche. In particolare, l'i-esiama urna, i = 1,...5, contiene i+2 palline bianche. Si sceglie un'urna a caso e si estrae una pallina. Si calcoli la probabilità che la pallina estratta sia bianca. Supponendo che l'estrazione abbia dato come risultato una pallina bianca, si individui da quale urna è più plausibile che sia stata effettuata l'estrazione.

RISOLUZIONE

B = "estraggo pallina bianca"

P(U1)*P(B|U1)+P(U2)*P(B|U2)+P(U3)*P(B|U3)+P(U4)*P(B|U4)+P(U5)*P(B|U5)=

L'urna più probabile per l'estrazione potrebbe essere la numero 5 in quanto quella con la frequenza più alta (7/11)

B9)

Un'apparecchiatura elettronica trasmette segnali binari, codificati in 0 e 1, con equiprobabilità. A causa di problemi di trasmissione, il segnale ricevuto può essere diverso da quello trasmesso. La probabilità di ricevere un segnale diverso è 0.2, se è stato trasmesso 0, mentre è 0.1, se trasmesso 1. Si calcoli la probabilità che sia stato trasmesso 1 e ricevuto 1.

RISOLUZIONE

TO = "trasmetto 0"  T1 = "trasmetto 1"

R0 = "ricevo 0" R1 = "ricevo 1"

P(R0|T1)= 0.1  P(R1|T0)= 0.2

P(R0|T0)= 1-P(R0|T1) = 1- 0.1 = 0.9

P(R1|T1)= 1-P(R1|T0) = 1- 0.2 = 0.8

P(R1)=P(T1)*P(R1|T0)+ P(T1)*P(R1|T1)

=(1/2*0.2)+(1/2*0.9)= 0.55

P(T1|R1)=(P(T1)*P(R1|T1))/P(R1)= (0.5*0.9/0.55)= 0.818

B10)

Si considerino due urne identiche all'apparenza, che contengono 10 palline l'una. È noto che la prima urna contiene sette palline bianche e tre nere e la seconda contiene due palline bianche e otto nere. Viene scelta a caso un'urna e da essa si estraggono tre palline senza reinserimento. Si determini la probabilità che le tre palline siano nere. Nell'ipotesi che le tre palline siano nere si determini la probabilità che sia selezionata l'urna con sette palline bianche.

RISOLUZIONE

A = "estrarre 3 palline nera senza reinserimento"

B = 7 B 3 N

C = 2 B 8 N

P(A)=P(B)*P(A|B)*P(C)*P(A|C)

=(1/2*3/10*2/9*1/8)+(1/2*8/10*7/9*6/8)

=1/240+7/30 = 0.234

P(B|A)=(P(B)*P(A|B))/P(A)= 0.0177

B11)

Si considerino 3 urne, identiche in apparenza, contenenti rispettivamente 80 palline nere e 20 bianche, 90 nere e 10 bianche e 100 palline nere e nessuna bianca. Si sceglie a caso un'urna e si estraggono due palline con reinserimento. Si calcoli la probabilità che le palline estratte siano entrambe nere. Supponendo che l'estrazione abbia dato come risultato due palline nere, si individui da quale urna è più plausibile che sia stata effettuata l'estrazione.

RISOLUZIONE

A = "Urna numero 1"

B = "Urna numero 2"

C = "Urna numero 3"

N = "ESTRAGGO PALLINA NERA"

P(A) = P(B) = P(C) = 1/3

P(N) = P(A)*P(N|A)+ P(B)*P(N|B)+ P(C)*P(N|C)

= (1/3*80/100*80/100)+(1/3*90/100*90/100)+(1/3*1*1)

LA PROBABILITà MAGGIORE È NELLA TERZA URNA

B12)

Un programma di calcolo funziona usando una delle due routine, denominate A e B. è noto che la routine A viene usata il 40% delle volte e la B il 60%. Se si usa A, c'è una probabilità pari a 0.75 di eseguire il programma entro il suo tempo limite; se invece si usa B, la probabilità è di 0.5. Quale è la probabilità che il programma venga eseguito entro il tempo limite? Quale è la probabilità che si sia usato A, se il programma è stato eseguito entro il tempo limite?

RISOLUZIONE

A => 40% 0.75 prob. che il prog. sia eseguito entro il tempo limite

B => 60% 0.5 prob. che il prog. sia eseguito entro il tempo limite

C = "Il programma viene eseguito entro il tempo limite"

P(C) = P(A)*P(C|A)+ P(B)*P(C|B)

= 0.4*0.75+0.6*0.5 = 0.6

P(A|C) = (P(A)*P(C|A))/P(C) = 0.5

B13)

Una compagnia di assicurazione suddivide gli assicurati in persone propense o non propense agli incidenti. È noto che le persone propense agli incidenti hanno una probabilità pari a 0.2 di riportare incidenti in un anno, mentre questa probabilità scende a 0.05 per le altre persone. Se il 30% della popolazione è propensa agli incidenti, quale è la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente nel primo anno ? se il nuovo assicurato ha effettivamente avuto un incidente nel primo anno, quale è la probabilità che sia propenso agli incidenti?

RISOLUZIONE

A = "probabilità di incidente"

C = "popolazione propensa "

D = "popolazione non propensa"

P(C)=0.3

P(D)=0.7

P(A) = P(C)*P(A|C)+P(D)*P(A|D)= 0.095

P(C|A) = P(C)*P(A|C)/P(A) = 0.631

B14)

In una data popolazione il 10% degli individui è affetto da una determinate patologia. Per diagnosticare tale patologia si effettua un test ematico con le seguenti caratt 616h73g eristiche: il test risulta negativo per il 10% degli ammalati, mentre risulta positivo per il 20% dei sani. Se l'individuo, scelto a caso dalla popolazione in esame, risulta positivo al test, quale è la probabilità che risulti effettivamente malato?

RISOLUZIONE

10% popolazione malata = A

S = "popolazione sana"

P = "test positivo"

N = "test negativo"

P(N|A) = 10%

P(P|S) = 20%

P(A|P) = P(A) P(P|A)/ P(T)= 0.1 *0.9/0.27 = 0.333 PERIODICO

P(A) = 0.1

P(P|A)= 1-P(N|A)= 0.9

P(P) = P(A)*P(P|A)+P(S)*P(A|S)= 0.027

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