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Algebra di Boole - DEFINIZIONE DI UN'ALGEBRA DI BOOLE

matematica


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Algebra di Boole

1.         INTRODUZIONE  

Ramo della matematica caratterizzato da leggi e propriet simili a quelle dell'algebra ordinaria. particolarmente utile in logica e nella teoria degli insiemi grazie alla sua peculiare impostazione su proposizioni e valori di v 555e48f erit, piuttosto che su variabili e valori numerici.

2. DEFINIZIONE DI UN'ALGEBRA DI BOOLE  
Formalmente un'algebra di Boole un sistema matematico costituito da un insieme di elementi, che pu essere chiamato B, in cui sono definite due operazioni binarie, che possono essere indicate con i simboli e soddisfacenti ai seguenti assiomi:



1. e sono entrambe operazioni commutative. Cio, presa una coppia qualunque di elementi x, y appartenenti all'insieme B, vale la propriet per cui xy = yx e xy = yx.

2. Sussiste per entrambe le operazioni e la propriet distributiva. Cio, per ogni terna di elementi x, y e z appartenenti all'insieme B, sono verificate le relazioni x(yz) = (xy)(xz) e x(yz) = (xy)(xz).


3. Nell'insieme B esistono due particolari elementi, indicati generalmente con i simboli 0 e 1, tali che 0 ≠ 1, 0 x = x e 1 x = x per ogni elemento x dell'insieme B. 0 e 1 sono gli elementi identit, o elementi neutri, rispettivamente per le operazioni e .

4. Per ogni elemento x dell'insieme B esiste un elemento corrispondente detto il complemento di x, di solito indicato con il simbolo x'. Rispetto alle operazioni e , l'elemento x' gode della propriet per cui xx' = 1 e xx' = 0.

Un'algebra di Boole pu essere definita da gruppi di assiomi diversi, ma pur sempre equivalenti a quelli sopra elencati. In questa voce ci siamo attenuti alla formulazione adottata dal matematico statunitense Edward Huntington nel suo lavoro Postulates for the Algebra of Logic (Postulati per l'algebra della logica, 1904). Quest'ultimo contiene una esposizione strettamente assiomatizzata e perfezionata dell'algebra booleana, pubblicata per la prima volta nel 1854 in un originale trattato del matematico britannico George Boole.


I simboli per le operazioni e possono essere scelti con grande libert; in particolare +, , e sono talvolta usati in luogo di , e , ^, , , e O invece di .




Dalle propriet di simmetria degli assiomi rispetto alle due operazioni e dall'esistenza delle loro rispettive identit, si pu dimostrare il cosiddetto principio di dualit, secondo cui qualunque affermazione algebrica deducibile dagli assiomi dell'algebra di Boole conserva validit solo se le operazioni e e le identit 1 e 0 sono interscambiabili all'interno dell'affermazione stessa. Dei molti teoremi che si possono dedurre dagli assiomi di un'algebra di Boole, sono degne di essere menzionate le leggi di Morgan, secondo cui (xy)' = x'y' e (xy)' = x'y'.

3. ESEMPI  Come esempio di algebra di Boole, si consideri un insieme generico X e sia P(X) la collezione di tutti i possibili sottoinsiemi di X, detto insieme delle parti, o insieme potenza dell'insieme X. P(X), con le due operazioni insiemistiche di unione () e intersezione (), forma un'algebra di Boole. Infatti, ogni algebra di Boole pu essere rappresentata come un'algebra di insiemi.


Gli elementi dell'insieme B di un'algebra di Boole possono essere astratti o concreti; ad esempio possono essere numeri, proposizioni, insiemi o reti elettriche. Originariamente, nello studio di Boole gli elementi dell'algebra booleana erano proposizioni, o semplici dichiarazioni, aventi la caratteristica di poter essere o vere o false, con la completa esclusione di casi ambigui. Le operazioni erano essenzialmente la congiunzione e la disgiunzione, indicate rispettivamente con i simboli ^ e . Se x e y rappresentano due proposizioni, allora l'espressione x y (leggi "x o y") vera se e solo se vera una delle due proposizioni x o y, oppure se lo sono entrambe. L'affermazione x ^ y (leggi "x e y") vera se e solo se sono vere entrambe le proposizioni x e y . In questo tipo di algebra di Boole, il complemento di ogni elemento semplicemente la negazione della proposizione. .

Un'algebra di Boole di proposizioni e una di insiemi sono strettamente connesse. Ad esempio, sia p l'affermazione "la palla blu" e P l'insieme di tutti gli elementi per i quali vera l'affermazione p, cio l'insieme di tutte le palle blu. P chiamato insieme delle verit per la proposizione p. Quindi, se P e Q sono gli insiemi delle verit per le proposizioni p e q, allora l'insieme delle verit per l'espressione p q chiaramente P Q, e per p ^ q P Q.

4. APPLICAZIONI  L'algebra di Boole trova numerose applicazioni nelle scienze fisiche, in particolare nel campo dei computer e dell'elettronica. Un noto esempio di applicazione alla teoria dei circuiti elettrici il seguente: siano p e q due proposizioni dichiarative, che possono essere solo o vere o false. Se si associa un interruttore a ciascuna delle due proposizioni p e q, che si chiude se la proposizione vera e si apre se la proposizione falsa, allora l'espressione p ^ q si pu associare a due interruttori collegati in serie. La corrente fluisce nel circuito se e solo se entrambi gli interruttori sono chiusi, ossia se e solo se entrambe le proposizioni p e q sono vere. Analogamente, all'espressione p q si pu associare un circuito che contiene un elemento con due interruttori connessi in parallelo, che permette il flusso di corrente se almeno uno dei due interruttori chiuso, o se lo sono entrambi. Proposizioni pi complicate danno luogo a circuiti interruttori pi articolati.







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