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Circuitazione del Campo Elettrico.
Sia Q una carica puntiforme posta in A. Il
vettore elettrico del
campo elettrico prodotto dalla carica Q, posta nel vuoto, in A sarà
e, quindi, su una carica puntiforme q posta in P risulta applicata la forza
,
dove con abbiamo
indicato il versore del vettore
.
Vogliamo dimostrare che il lavoro compiuto dalle forze del campo, per spostare una carica non dipende dal particolare percorso, ma soltanto dalle posizioni iniziali e finali.
Il lavoro elementare relativo allo spostamento è
e,
potendo scomporre il vettore
nella
somma dei suoi vettori componenti
(radiale)
e
(trasversale),
si avrà
essendo
in
quanto
. Il
lavoro
compiuto
da questa forza, quando la carica q si sposta, seguendo la traiettoria
generica l, da un punto M ad un punto N, sarà
.
La relazione trovata dimostra che il lavoro non
dipende dal percorso l seguito da q per passare
da M ad N, ma dipende soltanto dai punti M,N (oltre che, s'intende, dalla
posizione di Q).
In altre parole, il lavoro della forza calcolato
lungo un'arbitraria linea l' , avente gli stessi estremi M,N
della l , è uguale a quello ,
calcolato
lungo la l. Ovviamente se gli estremi coincidono e cioè se la
linea l è chiusa , allora il lavoro è nullo. Ciò si esprime
simbolicamente
.
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