Formulario di Comunicazioni Elettriche

3) 4)

5) 6)

Probabilità di trovarsi in un intervallo

Funzione densità di probabilità

Proprietà 1) 2)

3)

Densità normale

Densità normale o gaussiana (usata per modellare il rumore).

Distribuzione di Laplace che modella il segnale vocale

Distribuzione esponenziale che modella i guasti

Distribuzione binomiale

=# successi in un esperimento bernoulliano di prove

Distribuzione geometrica

=# di volte che devo eseguire un esperimento per avere successo

Media o valore atteso o momento del primo ordine 444c24e

se continua se discreta

in generale

Si definisce la varianza come la differenza tra il valore quadratico medio e la media quadratica

Funzione di distribuzione cumulativa congiunta

Le distribuzioni marginali si ricavano come segue

Densità di probabilità congiunta

se ed sono statisticamente indipendenti

TEORIA DELL'INFORMAZIONE

quantità di informazione associata al simbolo e si misura in bit

Entropia di informazione

l'uguaglianza vale solo nel caso di equiprobabilità

Un codice è univocamente decodificabile e non viola la regola del prefisso e vale la disuguaglianza di Kraft

# medio di bit

se ossia se il # di bit del simbolo è proprio

TEORIA DEI SEGNALI

con supporto

si dice che è ortogonale a se

con   detta simbolo o delta di Kronecker

se allora le si dicono ortronormali

Un segnale ad energia finita o a potenza media finita definito su si può rappresentare su come combinazione lineare dei segnali come segue

con

Considerazioni energetiche

ove

Un insieme di segnali è completo se l'errore quadratico medio è nullo, in formule

Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Si parte da un insieme generico di segnali a supporto su

Si definiscono i segnali e i segnali che sono rispettivamente i segnali ortogonali e ortonormali.

1° segnale)

2° segnale)

dove è la proiezione di su

° segnale)

dove è la proiezione di su

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

segnale ad energia finita o a potenza media finita su

sia la base di Fourier, allora si può scrivere come segue

con si ricorda che

se è reale il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti sono generici con

se è reale e pari il suo sviluppo in serie è reale e anche i coefficienti, dove

se è reale e dispari il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti immaginari puri, dove

per l'energia del segnale si ha

TRASFORMATA DI FOURIER

 

Proprietà della Trasformata di Fourier F

F

F

F

F

F

F

F

F

Se è reale pari è reale

Se è reale dispari è immaginaria pura

ALCUNE IMPORTANTI RELAZIONI

Definizioni della di Dirac:

Prodotto di convoluzione

Energia di un segnale definito su

Densità spettrale di energia :

Teorema di Parseval (per i segnali ad energia finita e a potenza media finita) che mi dice che trasformando o sviluppando in serie di Fourier io non perdo alcuna informazione sul segnale

oppure

Formulazione generale del Teorema di Parseval per segnali ad energia finita (o periodici a potenza media finita)

    se allora

Potenza media (normalizzata) di un segnale

Spettro di potenza o densità spettrale di potenza

è reale, non negativo e pari

   potenza normalizzata

Se è periodico si può scrivere come

e

posto   allora

quindi da cui

allora la potenza di si esprime come

ed il suo spettro di potenza come

Definizioni di decibel

Se la grandezza in esame è una potenza allora il decibel è

Se la grandezza in esame è una tensione o una corrente allora il decibel è

Si definisce decibel al milliwatt

Formula trigonometrica di Eulero

TEORIA DEI SISTEMI

Un sistema è lineare se ad una combinazione lineare degli ingressi corrisponde una combinazione lineare delle uscite.

Un sistema si dice tempo invariante o invariante per traslazioni temporali se l'uscita ritardata di una quantità coincide con l'uscita ottenuta inviando in ingresso il segnale ritardato della stessa quantità.

La risposta all'impulso caratterizza un sistema LTI (Linear Time Invariant)

dove è la risposta del sistema LTI quando all'ingresso c'è

facendo la trasformata di Fourier

dove è detta funzione di trasferimento

Densità Spettrale di Energia dell'ingresso

Densità Spettrale di Energia dell'uscita

Un sistema LTI è non distorcente se il modulo dell'uscita è costante e la fase varia in maniera lineare con

Scritto lineare con lineare con

PROCESSI CASUALI

Stazionario dell' ordine

Stazionario del primo ordine

Un processo casuale (p.c.) che dipende dal tempo in maniera periodica è detto ciclostazionario

Media temporale di un p.c.

p.c. stazionari

Media statistica o media di insieme di un p.c.

p.c. ergodici

Se un p.c. stazionario è tale che il processo si dice ergodico

Funzione di autocorrelazione

se il p.c. è stazionario del secondo ordine la media congiunta non dipende dal tempo, posto

Spettro di potenza di un segnale numerico sotto l'ipotesi di stazionarietà

con e simbolo

POSSIBILI FORME D'ONDA ELEMENTARI

NRZ (non return to zero)

NRZ unipolare

NRZ antipodale

RZ (return to zero)   è detto duty cycle

RZ unipolare

RZ antipodale

PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO UN SISTEMA DI TRASMISSIONE

è la velocità di trasmissione espressa in

è la velocità di segnalazione espressa in

è la banda (unilatera) occupata dal segnale espressa in

è l'efficienza espressa in

INTERFERENZA INTERSIMBOLICA (ISI)

posto segue

detto l'istante di campionamento

Distorsione di picco

con è minima. Bisogna che altrimenti si hanno errori sistematici

Primo teorema di Nyquist che ci dice come deve comportarsi la trasformata di Fourier di un segnale elementare affinché questo segnale elementare ci assicuri ISI nulla.

dove è il segnale elementare

SEGNALE A COSENO RIALZATO

con e

graficamente:

è la banda minima

inizio e fine raccordo

banda totale (unilatera)

Coefficiente di ROLL-OFF

rapporto tra la banda aggiuntiva e la banda minima richiesta

se è zero mi trovo nel caso di una porta e non ho banda aggiuntiva, se è uno vuol dire che ho

quindi . Conoscendo si calcola come

detta la velocità do segnalazione in e segue

ossia e se ho una banda , siccome segue che

IL RUMORE

Sia un p.c. stazionario, ergodico, gaussiano, la densità spettrale del suo valore quadratico medio vale

con in , è la costante di Plank

è la costante di Boltzman

Se ci si trova ad operare con e allora l'espressione del valore quadratico medio di si approssima come

è la potenza disponibile (siamo in situazione di adattamento) che si distribuisce a valle e vale

(N.B. la resistenza non ha pedice perchè siamo in adattamento)

La densità spettrale della potenza di rumore termico disponibile di una resistenza

a vuoto sarà

  con che è la potenza di rumore

CIFRA DI RUMORE

Il sistema è lineare e supponiamo il guadagno costante

Notare che è costante perchè generato internamente al bipolo.

Integrando sulla banda si ha per la seguente espressione

    dove è la potenza di rumore disponibile all'uscita.

Nel caso in cui il doppio bipolo fosse una linea si ha che ,ossia la cifra di rumore coincide con l'attenuazione della linea.

Riepilogando:la cifra di rumore è il rapporto tra la densità spettrale della potenza di rumore all'uscita del doppio bipolo e la densità spettrale della potenza di rumore alluscita del doppio bipolo ne caso che il doppio bipolo non introduca rumore.

questa è la definizione operativa di cifra di runore.

Temperatura equivalente DI RUMORE

per convenzione.

Si ha

Essendo il termine che tiene conto della generazione interna

di rumore del doppio bipolo. Si vede facilmente che

e che

Cifra di rumore equivalente e temperatura equivalente di una cascata di doppi bipoli

CANALE HERTZIANO

La potenza ricevuta è

Con guadagno dell'antenna ricevente e guadagno dell'antenna trasmittente

guadagno di propagazione nello spazio libero

potenza trasmessa

è la lunghezza d'onda ed è la frequenza a cui stiamo operando

è la distanza tra le due antenne

Detta la densità spettrale della potenza di rumore disponibile all'ingresso di un canale, la densità spettrale della potenza di rumore disponibile all'uscita dello stesso canale sarà

Ossia

Un processo casuale gaussiano è detto bianco o non colorato, quando non dipende dalla frequenza, ossia quando la sua densità spettrla edi potenza è costante e vale per convenzione , il fattore ½ tiene conto del fatto che le bande in genere sono unilatere.Con

PROBABILITA' DI ERRORE SUL SIMBOLO E SUL BIT (2-ASK, BPSK, 2-PSK)

Detta la quantità in figura, la probabilità di errore di un simbolo vale

CASO NRZ ANTIPODALE BINARIO

con banda del segnale (unilatera) ed come già definito

Si ha dove è il rapporto segnale rumore (all'uscita). Se il segnale è binario si ha , ossia la probabilità di errore sul simbolo coincide con quella sul bit, quindi e con . Si userà l'espressione più adatta in base al contesto.