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STATI QUANTISTICI MACROSCOPICI E ROTTURA SPONTANEA DI SIMMETRIA

tecnica




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STATI QUANTISTICI MACROSCOPICI E ROTTURA SPONTANEA DI SIMMETRIA

Sistemi di molte particelle interagenti presentano a temperatura sufficientemente bassa proprietà che si spiegano solo mediante la meccanica quantistica. Cercheremo di illustrare brevemente alcuni di questi fenomeni,nell'ordine di esposizione: la conduzione nei solidi cristallini, il magnetismo, la superconduttività, la superfluidità.

I primi tre fenomeni riguardano le proprietà di elettroni in un solido cristallino. Possiamo schematizzare il solido come un insieme di ioni posti in corrispondenza dei punti di una struttura geometrica periodica detta reticolo e di elettroni che per effetto tunnel possono trasferirsi da uno stato localizzato nell'intorno di 939f56j uno ione a quello localizzato nell'intorno di 939f56j uno ione adiacente.

Questo modello ci permette di studiare le proprietà di conduzione del solido.

Se consideriamo poi l'interazione tra gli elettroni dovuta alla repulsione Coulombiana possiamo spiegare l'esistenza di uno stato fondamentale ferromagnetico. Intuitivamente l'interazione favorisce "l'allineamento" degli Spin degli elettroni in modo che la magnetizzazione del sistema non si annulla al tendere a zero del campo magnetico.

La superconduttività consiste nella capacità di alcuni sistemi di mantenere una corrente elettrica anche in assenza di un campo elettromotore. Tale proprietà è direttamente legata all'esisenza di uno stato fondamentale costituito dalla sovrapposizione di stati con numero diverso di elettroni. Questo stato ,per le sue analogie con lo stato coerente di un oscillatore armonico è detto "Stato coerente macroscopico" e si realizza se si tiene conto dell'interazione degli elettroni con i gradi di libertà di vibrazione degli ioni. Deriveremo tale stato fondamentale nell'ambito di un modello semplice detto "modello di Holstein". L'esistenza di uno "Stato coerente macroscopico" è all'origine del fenomeno analogo alla superconduttività che si ha nei sistemi di bosoni interagenti.   




Magnetismo,superconduttività,superfluidità, sono esempi particolari di un fenomeno generale noto come   Rottura Spontanea di Simmetria (RSS).

A tal proposito riteniamo utile premettere alcune considerazioni generali atte ad inquadrare la trattazione successiva dei singoli casi.

La simmetria si verifica ogniqualvolta l'operatore H-mN che compare nella definizione della Funzione di Partizione Z è invariante rispetto a qualche proprietà di trasformazione delle variabili associate alle configurazioni del sistema  Tale proprietà si verifica facilmente per ogni sistema di "grandezza" finita. Pertanto la media statistica quantistica di una qualsiasi grandezza che non sia invariante sotto la stessa trasformazione risulterà nulla eccetto che nel caso in cui si modifichi la definizione del sistema introducendo una perturbazione Hrs che elimini la suddetta proprietà di invarianza. In tal caso per effetto di Hrs il sistema si "ordina" ed esisterà almeno una grandezza detta "parametro d'ordine" il cui valor medio non è nullo in presenza di Hrs.

A questo punto possiamo introdurre il cosiddetto limite termodinamico in cui la "grandezza" del sistema tende all'infinito ed il limite di Hrs nullo. Se il limite termodinamico viene eseguito per primo si può avere il fenomeno della RSS ovvero il parametro d'ordine si mantiene non nullo nel limite di Hrs nullo . Dal punto di vista fisico ci si aspetta che all'annullarsi di Hrs il sistema abbandona lo stato "ordinato" su tempi che aumentano senza limite al crescere della "grandezza" del sistema.

Nel seguito considereremo come esempio elementare di RSS il caso di un sistema di  "Spin" classici Si, per i=1,N ove Si è una variabile dicotomica con valori +1 o-1 . La Funzione di Partizione è determinata dall'insieme delle configurazioni ottenute assegnando ad ogni Spin il valore +1 o -1 ciascuna configurazione pesata con un fattore exp(-bH) ove H è l'energia associata alla configurazione. La simmetria per inversione degli Spin si realizza se H è invariante per lo scambio di Si in -Si. Si considera come parametro d'ordine la magnetizzazione M definita come media statistica della media m degli Spin su ogni configurazione .

    Eq.(1)


La media M di Eq.(1) è nulla perchè nella somma sulle configurazioni ad ogni configurazione corrisponde la configurazione che si ottiene per inversione degli Spin con lo stesso peso statistico e valore opposto di m.

La perturbazione Hrs   si costruisce aggiungendo ad H l'interazione con un campo magnetico esterno.


Eq.(2)

Si noti come Hrs in Eq.(2) risulti,in ogni configurazione di Spin, proporzionale alla magnetizzazione media m di Eq.(1) associata alla configurazione stessa. In generale si sceglie una grandezza detta parametro d'ordine (m nel caso in considerazione) che non è invariante sotto l'operazione di simmetria ed una Hrs che è proporzionale al parametro d'ordine.

La presenza di Hrs elimina la simmetria per inversione e consente di ottenere un valor medio del parametro d'ordine M non nullo. Le peculiarità del limite termodinamico ovvero del limite in cui N,numero degli Spin, tende ad infinito saranno discusse nel prossimo paragrafo per una scelta particolarmente semplice dell'energia H di interazione tra gli Spin.

Nel caso di un sistema quantistico la Funzione di Partizione è definita rispettivamente nell'Ensemble Canonico e Gran Canonico come traccia di exp(-bH) o exp(-bH+bmN). La proprietà di simmetria sarà associata ad un operatore unitario il cui generatore u commuta con H o con H-mN rispettivamente. Si dimostra facilmente,sfruttando l'invarianza della traccia rispetto alla permutazione ciclica degli operatori, che il valor medio statistico quantistico di una qualsiasi grandezza che non commuta con u deve essere nullo. Le RSS si verificherà se,analogamente al caso precedente, si sceglie tra le grandezze che non commutano con u un operatore detto parametro d'ordine , si aggiunge ad H una perturbazione Hrs proporzionale al parametro d'ordine si studia nel limite termodinamico la media del parametro d'ordine nel limite di Hrs che tende a zero.



A priori lo stesso sistema ha diverse simmetrie e pertanto la possibilità di diverse RSS che dovranno essere studiate separatamente e tra queste si realizzeranno quelle che danno luogo all'energia libera minore. La stessa simmetria può dar luogo a diverse RSS a seconda della scelta del parametro d'ordine. Noi troveremo utile per giustificare questa  scelta analizzare la possibilità di degenerazione dello stato fondamentale del sistema in considerazione almeno nelle condizioni limite in cui tale stato fondamentale si può determinare esattamente. In presenza di degenerazione potremo distinguere i diversi autostati corrispondenti alla stessa energia con autovalori diversi dell'operatore di simmetria. Tali stati si possono definire come componenti dello stato fondamentale. Lo stato fondamentale risulta una combinazione lineare degli stati componenti e tale struttura suggerisce naturalmente la scelta del parametro d'ordine come quella dell'operatore con media non nulla sullo stato fondamentale e con elementi diversi da zero solo tra diversi componenti dello stesso stato.

L'introduzione della perturbazione determina la rimozione della degenerazione. Da questo punto di vista si può capire come nel limite di perturbazione nulla il valor medio sullo stato fondamentale del parametro d'ordine rimanga diverso da zero. Questo significa che in tale limite si seleziona uno dei possibili stati fondamentali. La degenerazione è pertanto condizione necessaria perché si abbia RSS a temperatura nulla. Non è però sufficiente a temperatura non nulla. In questo caso infatti stati che in presenza della perturbazione hanno verso peso statistico e valor medio opposto del parametro d'ordine non vengono selezionati dal limite di temperatura nulla (limite in cui sopravvive il solo stato ad energia minore) e danno quindi luogo ad una cancellazione per compensazione del valor medio statistico quantistico quando si prende per sistemi di grandezza finita il limite di Hrs nullo. Intuitivamente il limite di grandezza infinita esalta la differenza di peso statistico per Hrs finito degli stati con il massimo valor medio  del parametro d'ordine dimodoche in tal limite possiamo trascurare completamente gli altri stati nel calcolo della traccia. Per un sistema fisico reale di grandezza cioè finita ci si aspetta che analogamente a quel che si è detto per un sistema di Spin classici il sistema preparato in un certo stato per effetto di una perturbazione esterna rilasserà lentamente al venir meno della perturbazione verso altri stati caratterizzati da diversi valori del parametro d'ordine fintantochè la media temporale del parametro d'ordine risulti zero. Per sistemi macroscopici il tempo caratteristico di questo moto di rilassamento è così lento da poter considerare a tutti gli effetti il sitema in uno stato definito del parametro d'ordine per tutti i tempi fisici di interesse.

Nel caso dei superconduttori e superfluidi Hrs non si interpreta in termini dell'interazione con un campo esterno fisicamente realizzabile e pertanto il procedimento di "preparazione" non si può realizzare in laboratorio.

Si assume pertanto che il sistema scelga spontaneamente uno dei possibili stati. Si verificherà peraltro che le proprietà fisiche del sistema dipenderanno dal modulo del valor medio del parametro d'ordine.







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