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Relazione sui metodi d'integrazione numerica

informatica


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Relazione sui metodi d'integrazione numerica


Il calcolo di un integrale definito pu essere laborioso fornendoci un valore con una precisione per noi inutile. Per semplificarne il calcolo avendo in ogni caso dei valori che non si discost 242c28c ino molto da quello reale, necessario utilizzare i metodi d'integrazione numerica.

In generale ognuno di questi metodi consiste nello scomporre l'intervallo di integrazione [a , b] in pi intervalli di ampiezza , dove il numero di sottointervalli in cui si vuole suddividere [a , b]. Una volta ottenuti questi intervalli, possibile costruire su di essi una serie di figure geometriche, le cui somma delle aree riesca ad approssimare pi o meno fedelmente il volume dell'integrale definito che noi calcoliamo grazie al Teorema di Torricelli.

Esistono tre metodi di approssimazione, che differiscono in base a quale figura geometrica viene costruita su ogni intervallo (cio ):

dei RETTANGOLI, dei TRAPEZI e di SIMPSON.

Il metodo dei rettangoli costruisce su ogni un rettangolo di base e altezza il minimo (approssimazione per difetto) o il massimo (approssimazione per eccesso) della funzione in quell'intervallo, il meno preciso dei tre metodi ma di semplice realizzazione, infatti la sua formula

: plurirettangolo inscritto

: plurirettangolo circoscritto.

Il metodo dei trapezi molto pi preciso rispetto a quello dei rettangoli, infatti costruisce su ogni un trapezio rettangolo la cui base maggiore il massimo della funzione nell'intervallo , la base minore ne il minimo mentre l'altezza .

La formula per approssimare il valore di un integrale con questo metodo

.




Infine il metodo pi preciso quello di Cavalieri - Simpson che approssima un integrale definito per mezzo di parabole. La sua formula :

.

Questa formula scaturisce dall'applicazione per ogni intervallo della formula , che si ricava considerando un trapezoide formato da due rette parallele all'asse distanti tra loro di una distanza , cio di ordinata e -, dall'asse e da una parabola di equazione , applicando alla i valori , - e 0 abbiamo tre equazioni:

(1) dalle quali ricaviamo i valori dei coefficienti A, B e C che utilizziamo nell' integrale che sar uguale a cio , che non altri che , infatti considerando , e dal sistema (1) abbiamo la formula che applicata ad ogni intervallo della funzione consente di avere la formula del metodo di Simpson enunciata prima.


ESEMPIO D' INTEGRAZIONE NUMERICA:


n=4

Metodo dei RETTANGOLI

=4.278

Metodo dei TRAPEZI

=4.653

Metodo di Cavalieri - Simpson










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