Studio del moto di caduta di un grave

Conclusioni e commenti: Per calcolare ∆t è stata fatta la media tra i tre valori ottenuti con le prove mentre per la sua incertezza è stata usata la formula (V_max - V_min)/2. Il primo grafico è stato disegnato con lo spazio sulle ordinate e il tempo sulle ascisse e il risultato 212i83c è un ramo di parabola. Questo significa che la dipendenza tra lo spazio e il tempo è di proporzionalità quadratica ed infatti il grafico di controllo (con lo spazio sulle ordinate e t² sulle ascisse) è una retta passante per l'origine. La costante di proporzionalità dei grafici è l'accelerazione (che sarebbe l'accelerazione gravitazionale = 9,8 circa), ottenuta, dalla regola del moto uniformemente accelerato s = ½ a*t², dal doppio rapporto tra la distanza e il tempo al quadrato, mentre la sua incertezza è stata calcolata con la formula ( I_R∆S + 2I_R∆t )* a ( I_R∆ è stata trovata con la formula I_A∆t/t ):

La velocità finale del grave nelle varie prove si trova con la regola del moto uniformemente accelerato v=a*t mentre la sua incertezza è stata trovata con la formula ( I_Ra + I_R∆t )*v:

L'accelerazione è definita anche come accelerazione lineare, è la variazione della velocità di un corpo nell'unità di tempo. La velocità è una grandezza vettoriale, cioè specificata da intensità, direzione e verso; ne segue che un corpo possiede un'accelerazione non nulla, ovvero accelera, se varia l'intensità della velocità o la direzione del moto, oppure in generale se variano entrambe queste grandezze. Un oggetto non sottoposto a forze e libero di cadere sulla superficie terrestre possiede, per effetto della forza di gravità, un'accelerazione costante e diretta verso il basso. Supponiamo, invece, di legare un corpo all'estremità di una corda e di vincolarlo a muoversi con velocità costante lungo una traiettoria circolare, impugnando l'estremità libera; allora l'accelerazione è uniforme e diretta lungo la corda, verso il centro della circonferenza.

Accelerazione istantanea: poiché in generale non è detto che in ogni secondo (o in un tempo più piccolo) la velocità cambi esattamente di 2,4 m / s (o velocità inferiori in tempi inferiori) ma invece la velocità vada cambiando in un certo modo crescendo e diminuendo, si definisce la accelerazione istantanea, cioè la variazione di velocità del corpo in un intervallo di tempo dt estremamente piccolo, almeno concettualmente. Diremo quindi che la accelerazione istantanea a* è il rapporto fra la variazione dv* intervenuta, che non è detto che sia infinitesima, in un tempo infinitesimo e il tempo dt impiegato a percorrerlo, cioè:
a* = dv* / dt

Si dice che un oggetto decelera, cioè possiede un'accelerazione negativa, quando la sua velocità diminuisce nel tempo.

Perché un oggetto acceleri è necessario che a esso sia applicata una forza; in accordo col secondo principio della dinamica, inoltre, l'accelerazione è direttamente proporzionale alla forza applicata; ad esempio un corpo in caduta libera sulla superficie terrestre accelera perché soggetto alla forza di gravità.

L'accelerazione angolare è definita come variazione della velocità angolare nell'unità di tempo e deve pertanto essere distinta dall'accelerazione lineare. La velocità angolare di un corpo che ruota è la misura in radianti al secondo della rapidità di rotazione intorno a un fissato asse. Un cambiamento della velocità di rotazione o della direzione dell'asse dà luogo a una variazione della velocità angolare e quindi a un'accelerazione angolare diversa da zero.

Ogni corpo è soggetto alla forza di attrazione gravitazionale della Terra, che tende a farlo cadere verso il basso quando non è controbilanciata da qualche altra forza.
Analizziamo la situazione di un corpo sospeso in aria ad una certa altezza h dal suolo.
Su questo agisce la sola forza peso P (d'ora in poi nel testo le grandezze vettoriali verranno scritte in grassetto), che sappiamo essere uguale, per altezze non troppo grandi, a:

P = mg

Dalla Seconda Legge della dinamica di Newton ricaviamo che l'accelerazione di un qualsiasi corpo che cade è indipendente dalla sua massa e vale:

F = ma a = F/m = mg / m = g

Quindi, dalle leggi del moto uniformemente accelerato ricaviamo le leggi orarie del moto di caduta del corpo:

a = g

v = v₀ - gt

h = h₀ + v₀t - ½ gt²

Possiamo anche studiare il problema dal punto di vosta energetico. Infatti per un corpo che cade le due uniche forme di energia in gioco sono quella cinetica e quella potenziale gravitazionale. Sappiamo che le espressioni di queste due grandezze sono:

E_c = ½ mv²

U_g = mgh

All'inizio il corpo è fermo all'altezza h₀, quindi tutta la sua energia sarà potenziale gravitazionale; viceversa quando il corpo si trova all'altezza 0 la sua energia sarà interamente cinetica. Per il principio di conservazione dell'energia l'energia totale del corpo sarà sempre costante, quindi possiamo scrivere:

E = E_c + U_g = ½ mv² + mgh = cost.

Se il punto materiale si muove su una traiettoria rettilinea e il modulo della sua velocità non si mantiene costante nel tempo si parla di moto vario.

Per questo tipo di moto il grafico (s,t) non è rappresentato da una retta, ma da una curva.

Dal grafico (s,t), calcolando le pendenze delle tangenti nei vari istanti di tempo, si possono determinare i valori delle velocità istantanee.

Dal grafico (v,t), calcolando le pendenze delle tangenti nei vari istanti di tempo, si possono determinare i valori delle accelerazioni istantanee.

MOTO UNIFORMEMENTE VARIO

Se il grafico (v,t) è rappresentato da una retta non orizzontale, la velocità varia linearmente nel tempo: la tangente al grafico in ciascun punto è la retta stessa, il cui coefficiente angolare, costante, dà il valore dell'accelerazione che caratterizza il moto, che si dice uniformemente vario.

In particolare, se a > 0 si parla di moto uniformemente accelerato, se a < 0 di moto uniformemente decelerato.

LEGGE DELLE VELOCITA'

Per un moto ad accelerazione costante, l'accelerazione istantanea coincide con l'accelerazione media relativa a qualunque intervallo di tempo considerato. Se il corpo, partito nell'istante t₀ con velocità iniziale v₀ , possiede nell'istante di tempo t la velocità v si può scrivere:

dove e .

Ne segue che:

Se supponiamo di iniziare l'osservazione del moto nell'istante di tempo t₀ , allora, nel nostro caso, è t₀ = 0.

Di conseguenza la relazione precedente diventa:

Questa relazione fornisce il legame esplicito tra la velocità assunta dal corpo e il tempo, in funzione della sua accelerazione. 

LEGGE ORARIA

Consideriamo sempre lo stesso corpo, partito nell'istante t₀ con velocità iniziale v₀ dalla posizione s₀, e che occupa nell'istante di tempo t la posizione s con velocità v.

Il moto del corpo, in realtà uniformemente vario, può essere assimilato a un moto rettilineo uniforme, caratterizzato da una velocità media data dalla media aritmetica delle velocità iniziale e finale del corpo:

La legge oraria del moto è dunque:

Tenendo conto, poi, della legge delle velocità , e inserendo tale relazione nella precedente si ha:

Questa relazione fornisce il legame esplicito tra la posizione assunta dal corpo e il tempo, in funzione della sua velocità e della sua accelerazione: rappresenta dunque la legge oraria del moto.

OSSERVAZIONI

 

Ø  Se rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani la grandezza s in ordinata (variabile dipendente) e la variabile t in ascissa (variabile indipendente), il grafico che si ottiene sarà una parabola, con concavità rivolta verso l'alto se a>0 (moto uniformemente decelerato), verso il basso se a<0 (moto uniformemente accelerato)

Ø  La pendenza della retta tangente al grafico orario in ciascun istante di tempo t rappresenta il modulo della velocità istantanea relativa all'istante considerato.

Ø  Dal momento che l'accelerazione istantanea coincide con l'accelerazione media calcolata in qualunque intervallo di tempo , allora essa è data dalla pendenza della retta che rappresenta il grafico (v,t).

LEGGI DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

L'accelerazione di gravità

Galileo fu il primo a stabilire che tutti i corpi cadono verso terra con la medesima accelerazione costante.                                                   

Dopo vari esperimenti aveva infatti dimostrato che il ricorso a un piano inclinato permette di diluire la forza di gravità e, di conseguenza, permette di rendere meno rapido il moto delle sfere.

Quando è possibile prescindere dalla resistenza dell'aria l'accelerazione di un corpo che cade non dipende dalla massa del corpo, né dalla quota iniziale, né dalla velocità iniziale.

A tale accelerazione, denominata accelerazione di gravità, è stato attribuito un simbolo particolare: g.

L'accelerazione è una grandezza vettoriale, anche l'accelerazione  di gravità g deve avere, oltre a un valore, anche una direzione e un verso.

In altre parole, la velocità è diretta verso il basso che aumenta il modulo di 9.80 m/s ogni secondo.

Il moto di un corpo in caduto libera con velocità iniziale nulla viene denominato anche MOTO NATURALMENTE ACCELERATO.

È uno dei moti tipici della cinematica.

Si parla di moto rettilineo quando la traiettoria del punto materiale è una linea retta.

Tale moto sarà anche uniforme se:

In questo caso la legge oraria del moto sarà una funzione lineare di primo grado del tipo (per moto unidimensionale):

quindi uguale all'equazione di una retta cartesiana. Poiché la posizione iniziale del punto materiale si può scegliere a piacere (per la isotropia e omogeneità dello spazio), si può avere una posizione iniziale non necessariamente uguale a zero. Per cui la legge oraria del moto va riscritta come:

da questa equazione si ricava la velocità come derivata prima, che sarà

che indica una velocità costante secondo la definizione di moto rettilineo uniforme.

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Andamento grafico della funzione

Nell'equazione del moto rettilineo uniforme c sarà la posizione iniziale e b sarà uguale alla tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse del tempo, in pratica la pendenza della stessa retta.

Formule

In pratica, facendo riferimento alla simbologia utilizzata per la velocità e la legge oraria del moto, le formule si possono riscrivere come:

se si misura lo spazio a partire da un'origine O, tale che il punto materiale per tempo t=0 sia già a distanza s₀, lo spostamento è s-s₀.

Nel caso di moto rettilineo uniforme con s=0 per t=0 la formula diventerà: