Elettromagnetismo - Legge di Coulomb

Elettrizzazione

Strofinio 353f54d 353f54d 353f54d 353f54d    Contatto

Vetrosa + Resinosa - 353f54d 353f54d 353f54d    avvicino un corpo carico

353f54d 353f54d 353f54d 353f54d 353f54d   Ad un conduttore.

tutti con precauzioni, 353f54d 353f54d 353f54d si misura con elettroscopio

ma meglio gli isolanti

353f54d 353f54d    Induzione con i conduttori

si avvicina un corpo carico ad un

conduttore scarico, lo si divide in 2 parti,

POI si allontana il primo.

Elettroforo di Volta 353f54d    con i conduttori vince la forza attrattiva   . . 353f54d     353f54d 353f54d 353f54d    perché la zona attratta è

353f54d 353f54d 353f54d 353f54d 353f54d   più vicina al corpo carico

Polarizzazione:    gli orbitali di un isolante, in prossimità di un corpo carico, si orientano,

353f54d sebbene gli elettroni non siano liberi di muoversi come nei conduttori.

353f54d 353f54d 353f54d 353f54d 353f54d   con gli isolanti

L'unità di misura dell'elettricità è il Coulomb (C). Un elettrone ha carica negativa pari a:

-e = -1,6022 ∙ 10^-19 Di conseguenza in un Coulomb gli elettroni sono:

_{e = -1,6 ∙ 10 C = 1____ = 6 x 10 un'enorme carica negativa!}

^{C 353f54d 353f54d   e}

Legge di Coulomb:

F₀ = k₀ Q₁Q₂ La forza di attrazione (negativa) o di repulsione (positiva) che si esercita fra

r² due corpi puntiformi elettrizzati, è direttamente proporzionale al prodotto delle quantità di elettricità possedute dai due corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

k₀, che ricaviamo essere uguale a k₀ = F₀ r²__ corrisponde a 8,99 x 10⁹ N ∙ m²

Q₁Q_{2 353f54d 353f54d}    C²

Oppure a k₀ = 1__ . e è la costante dielettrica assoluta del vuoto e si può ricavare:

4pe

e = 1__ = 1 _ = 1 _ =

4p k₀  12,56 ∙ 8,99 x 10⁹ N ∙ m² 112,9 x 10⁹ N ∙ m²

C^{2 353f54d   353f54d}    C²

0,008854. x 10^-9 N ∙ m² e = 8,854 x 10^-12  C²_

C² 353f54d   N ∙ m²

Nell'esperimento con la bilancia di torsione, 2 palline conduttrici cariche si respingono. La sfera B (fissa) respinge la sfera A, posta su un braccio mobile b. Al movimento di torsione M se ne contrappone uno di resistenza Mr, sicchè si avrà l'equilibrio quando M=Mr.
Il modulo della torsione M è dato dal prodotto della forza elettrica repulsiva F per la lunghezza del braccio b: M=Fb. La resistenza Mr dipende da una costante c (lunghezza del filo) e dall'angolo a compiuto dal braccio: Mr=ca.
Dunque la condizione di equilibrio è che Fb=ca cioè che F= c a

353f54d 353f54d 353f54d 353f54d 353f54d   b

Ruotava il filo fino al punto di equilibrio e da a risaliva all'intensità della forza.

In un materiale isolante la forza Fm è minore della forza nel vuoto F₀ perché c'è l'interazione con altre cariche presenti nel mezzo (nel vuoto Fm=F₀):

costante dielettrica relativa e_r = _F₀_ forza nel vuoto

353f54d 353f54d   Fm forza nella materia

Nel vuoto tale costante vale 1, altrimenti è sempre e_r>1.

Poiché Nella materia Fm = F₀ la legge di Coulomb diventa: Fm = k_{0_} ∙ Q₁Q₂

e_{r 353f54d 353f54d 353f54d 353f54d}   e_r r²

cioè: Fm = 1__ ∙ Q₁Q₂ tuttavia, per semplificare le cose, è stata introdotta la costante

pe e_r r² dielettrica assoluta del mezzo, definita e=e e_r.

Campo elettrico:

come si fa' a sentire una carica nel vuoto?

Come può trasmettersi a velocità infinita?

Caricando un corpo, modifico lo spazio circostante, che diventa campo elettrico.

Un campo elettrico è un campo vettoriale perché ad ogni punto si associa 1 ed un solo vettore.

Tale campo può essere rilevato da una sonda (o corpo di prova), così piccola da essere considerata puntiforme e da non alterare il campo, che esiste indipendentemente da lei.

La sonda e la carica che genera il campo esercitano l'una sull'altra forze di pari intensità

Le proprietà di un campo elettrico sono descritte in relazione ai vettori campo elettrico (Ē), corrispondenti ai singoli punti dello spazio: Ē = F_ (forza che subisce q) N

353f54d 353f54d 353f54d 353f54d   +q (carica di q) 353f54d    C

Il fatto che si calcoli in Newton su Coulomb significa che i vettori non dipendono dalla carica di prova; infatti se aumenta la carica, aumenta la forza: il rapporto è costante!!!

Un campo elettrico dipende solo dalle cariche che lo generano e dal punto in cui è misurato.

La nuova formula del campo elettrico modifica la legge di coulomb:

Ē = _F_ Ē = 1__ ∙ Q₁q_ Ē = 1__ ∙ Q_

q 4pe r^{2 353f54d}     4pe r²

353f54d    q

Nel vuoto, poiché e=e , la formula diventa   Ē = 1__ ∙ Q_

353f54d 353f54d 353f54d    4pe r²

In un campo elettrico generato da più cariche Q₁, Q₂, Q₃. La forza esercitata sulla sonda q è pari alla somma delle singole forze Ē = F_ = F₁ + F₂ + F₃ = F₁ + F₂ + F₃

q q q q q

Se Ē = F_, allora sappiamo che F = q ∙ Ē cioè che se conosciamo il campo Ē in un

q

qualunque punto p, lo conosciamo per una qualunque carica q in quel punto p.

F ed Ē hanno sempre la stessa direzione; i versi sono uguali se +q, opposti se -q.

Le linee di campo sono curve orientate: sposto la sonda di piccoli Ds nella direzione e verso della forza che vi agisce volta per volta, poi la oriento. Ogni tangente ad un punto indica la direzione di Ē in quel punto.

Quantità: ne esiste 1 per ogni punto ma se ne disegnano in densità proporzionale all'intensità.

Lunghezza: proporzionale all'intensità

Verso: positiva uscente, negativa entrante

Direzione: del campo

Quando ho 2 cariche puntiformi eguali ed opposte ho un dipolo elettrico.

Posso costruirle con la regola de parallelogrammo (fra le forze da esercitate da Q₁ e Q₂).

Flusso di un campo:

353f54d 353f54d 353f54d 353f54d   _{__}

La portata di un flusso d'acqua è definita come q = Dv, cioè come il rapporto fra il volume

Dt

di liquido che traversa in un Dt una superficie immersa, e lo stesso intervallo di tempo

(un metro al secondo per 20 secondi.). Tale superficie S è piana e ┴ alla velocità v.

Il flusso di un campo, invece, si definisce mediante il vettore superficie:

modulo = proporzionale all'area della superficie

direzione alla superficie

verso = arbitrario (ma se è una superficie chiusa si considera uscente)

Il vettore non ci dice nulla circa il contorno della superficie

S

353f54d    c è parallelo alla velocità e non molto grande, cosicché v sia costante.

a H c è uguale a v Dt.

S Il liquido che all'istante t sta su S , all'istante t + Dt traversa S.

353f54d     Il volume del liquido Dv è pari all'area di base per l'altezza, area di base che

D equivale ad a ∙ c, che è uguale ad avDt.

A

L'area di base (avDt) va moltiplicata per l'altezza, definita HD.

Ma HD = HA ∙ cos AĤD;

questo angolo corrisponde a quello formato dai vettori S e V, detto a

DV = Ab ∙ h = (avDt) (b∙cos AĤD)    DV = vabDt ∙cosa

353f54d 353f54d    _{_}

Ma a ∙ b = S, perciò il flusso è: q = DV = vS Dt ∙ cosa = vS ∙ cosa = v ∙ S

353f54d 353f54d    Dt Dt

q = v ∙ S

Più precisamente il flusso del vettore velocità attraverso la superficie S si indica con:

F_S(v) = v ∙ S o più semplicemente F(v).

Flusso di un campo elettrico:

Consideriamo una superficie: o è piana e presenta un campo elettrico costante, oppure la dividiamo in parti tanto piccole da essere considerabili tali, e

sommiamo i risultati: F_S(E) = E ∙ S

Prendiamo una superficie chiusa nel flusso:

q=0 se entra tanto liquido quanto ne esce

flusso q>0 se ne esce più di quanto ne entri

q<0 se ne entra più di quanto ne esca

Teorema di Gauss:

Considero una sfera con la carica nel suo centro. Divido la superficie in tante più piccole, cosicché ogni DS sia piana ed uguale alle altre:

_ _

DF_i = E_i ∙ DS_i = E_i ∙ DS_i

Il flusso totale è la somma di tutti i flussi parziale attraverso le singole DS:

FS(E) = E₁ ∙ DS₁ + E₂ ∙ DS₂ + E₃ ∙ DS₃ ecc..

_n _ _

cioè    S E_i ∙ DS_i , che esprime il fatto che tendono all'infinito!

ⁱ⁼¹

Il flusso è la somma di tutte le aree per l'intensità di E nei vari punti,

ma la superficie della sfera l'intensità del campo è costante

FS(E) = E ∙ S

1__ Q 353f54d   4p r² (superficie sfera)

4pe r²

Il flusso attraverso una sfera è dunque FS(E) = Q proporzionale alla carica

353f54d 353f54d 353f54d     e e non al raggio

Parlando più in generale:

FS(E) = S_i ∙ Q_{i 353f54d}    somma delle cariche contenute nella superficie chiusa

e costante dielettrica del mezzo

Forza gravitazionale 353f54d 353f54d   Forza elettrica

sempre attrattiva 353f54d attrattiva o repulsiva

fra tutti i corpi 353f54d    solo fra corpi carichi

piccola 353f54d 353f54d 10³⁹ volte + grande

forze che agiscono a distanza

decrescono in proporzione a r2

sono forze conservative

353f54d hanno un Energia Potenziale

Chiamiamo p il punto in cui ci troviamo ed R il punto di riferimento (lo zero):

U_P = -W_RP = W_PR

Partendo dall'energia potenziale gravitazionale

U_N = -G mM + k

r

Ricaviamo l'energia potenziale elettrica di un sistema di 2 cariche:

U = 1_ qQ + k

4pe r

Dove k è nulla in quanto scegliamo come livello 0 una distanza infinita:

U_(r) = 1_ qQ

4pe r

Se il campo è generato da più cariche, l'energia potenziale del sistema è data dalla somma delle energie potenziali di tutte le combinazioni di coppie possibili:

W = W₁ + W₂ + W₃ = U₁ + U₂ +U₃.

"L'energia potenziale di un sistema di cariche è pari al lavoro fatto da una forza esterna, che si oppone alla forza elettrica, per costruire il sistema di cariche, portando le singole cariche, dall'infinito, nella loro posizione finale"

(U_P = -W_RP = W_PR)

Il potenziale elettrico

L'energia potenziale è scomoda perché dipende dalla carica di prova q:

DU = U_B - U_A

introduciamo così il potenziale elettrico, che dipende solo dalle cariche che generano il campo e dal punto in cui questo viene misurato:

DV = DU

q

cioè DV = V_B - V_A = - W_AB = W_BA

q q

Se W_AB è positivo W_BA è negativo e vice versa: dunque le cariche positive vanno tendenzialmente da potenziale maggiore verso potenziale minore,

le negative verso potenziale maggiore

Se chiamiamo R il livello 0 e P il punto in cui ci troviamo, il potenziale elettrico risulta essere:

V_P - V_R = V_P - 0 = V_P V_P = - W_RP = W_PR V_P = U_P

353f54d q q q

Si misura in volt: 1volt = 1 J_

Il potenziale di una carica puntiforme

L'energia potenziale di una carica puntiforme Q, in un punto p, fissato come livello 0 una distanza infinita, è:

U_P = 1_ qQ poiché abbiamo detto Vp = Up, avremo:

4pe r 353f54d 353f54d   q

Vp = qQ = 1_ Q_

4pe r_ 4pe r

Q

Se prendessimo un altro livello 0, bisognerebbe aggiungere una costante.

(Energia potenziale sono le potenziali dei campi delle cariche Q prese da sole).

Le superfici equipotenziali

Il potenziale elettrico è rappresentato dalla superficie equipotenziale, luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettrico assume un dato valore kostante.

1_ Q_ in un campo di carica puntiforme, vediamo tali punti essere equidistanti

4pe r da r, cioè delle sfere con centro in Q.

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di campo (e quindi alla forza elettrica); perciò se sposto la carica prova da un punto A ad un punto B lungo una superficie equipotenziale, il lavoro della forza elettrica è nullo!!

La deduzione del campo elettrico dal potenziale

Prendiamo una piccola superficie di campo, considerabile perpendicolare alle linee di campo e con campo uniforme; la direzione del campo è quella perpendicolare alla superficie equipotenziale, il verso è nel senso in cui il potenziale diminuisce.

L'intensità è più complicata: si tratta del lavoro compiuto dalla forza elettrica per spostare q da P a Q (detto S_PQ), appartenente ad una superficie con differenza di potenziale infinitesimamente più piccolo. Tale lavoro è:

W = qEDs